- •Мехатронные и робототехнические системы
- •Введение
- •Глава 1. Предпосылки развития, основные понятия и принципы построения мехатронных устройств
- •Предпосылки развития мехатроники
- •Основные понятия и определения мехатроники
- •Принципы построения, признаки и состав мехатронных систем
- •Глава 2. Применение мехатронных машин
- •2.1. Мобильные мехатронные роботы для инспекции и ремонта подземных трубопроводов
- •2.2. Лазерный робототехнический комплекс
- •2.3. Робототехнический комплекс механообработки
- •2.4. Технологические машины – гексаподы
- •2.5. Транспортные мехатронные средства
- •Глава 3. Структура и принципы интеграции мехатронных систем
- •Глава 4. Проблемы и современные методы управления мехатронными модулями и системами
- •4.1. Принципы построения систем интеллектуального управления в мехатронике
- •4.2. Иерархия управления в мехатронных системах
- •4.3. Системы управления исполнительного уровня
- •4.3.1. Адаптивное регулирование по эталонной модели
- •4.3.2. Нечеткие регуляторы исполнительного уровня
- •4.3.3. Системы управления тактического уровня. Система контурного силового управления технологическим роботом
- •4.3.4. Способы программирования траекторий технологических роботов
- •4.3.5. Интеллектуальные системы управления на основе искусственных нейронных сетей
- •Глава 5. Области применения роботов и робототехнических систем. Классификация промышленных роботов и их технические характеристики
- •5.1. Классификация роботов
- •5.2. Техническая характеристика пр (гост 25378 - 82)
- •Глава 6. Структура, классификация и основы кинематики манипуляционных систем промышленных роботов
- •6.1. Структура манипуляторов промышленных роботов
- •6.2. Переносные и ориентирующие степени подвижности манипулятора
- •6.3. Основы кинематики манипуляторов роботов
- •Положение I-го звена относительно предыдущего (I-1)-го устанавливается с помощью обобщенной координаты qi (рис. 6.6):
- •6.4. Однородные координаты. Матрица перехода 4×4 кинематической пары
- •6.5. Определение ориентации звеньев манипуляторов с использованием углов Эйлера
- •Глава 7. Прямая задача кинематики манипуляторов роботов. Абсолютные скорости и ускорения в манипуляционных системах промышленных роботов
- •7.1. Теоретические вопросы решения прямой задачи
- •7.2. Решение прямой задачи кинематики манипуляторов при позиционном (цикловом) управлении
- •7.3. Определение абсолютных скоростей и ускорений точек и звеньев манипулятора
- •Глава 8. Обратная задача кинематики манипуляторов роботов
- •8.1. Обратная задача кинематики манипуляторов роботов при контурном управлении
- •8.2. Решение обратной задачи кинематики манипуляторов на основе линейной зависимости между абсолютными и обобщенными скоростями (управление по скорости)
- •Глава 9. Динамический синтез и анализ манипуляционных систем промышленных роботов
- •Глава 10. Назначение, состав и классификация робототехнических комплексов
- •10.1. Назначение робототехнических комплексов
- •10.2. Состав и классификация робототехнических комплексов
- •Глава 11. Траектории манипуляторов роботов в составе робототехнических комплексов
- •Компоновка ртк и возможные траектории схвата манипулятора
- •11.2. Анализ местных (частных) траекторий манипулятора
- •11.3. Особенности использования нескольких пр в одном ртк
- •11.4. Межстаночные траектории как функции числа схватов и организации производственной сцены
- •Глава 12. Планирование траекторий схвата манипулятора на основе сплайн – функций
- •12.1. Планирование траекторий при ограниченном числе
- •Опорных точек
- •12.2. Общие случаи планирования траекторий в пространстве обобщенных координат
- •Глава 13. Применение робототизированных технологических комплексов в механообрабатывающем производстве
- •13.1. Требования к технологическим процессам, реализуемым в ртк
- •13.2. Требования к деталям, обрабатываемым в ртк
- •13.3. Требования к технологическому оборудованию, используемому в ртк
- •13.4. Требования к промышленным роботам, включаемым в состав ртк
- •13.5. Требования к вспомогательному и транспортно-накопительному оборудованию, включаемому в ртк
- •13.6. Требования к ртк
- •13.7. Общие характеристики и особенности ртк механообработки
- •Библиографический список
- •Оглавление
6.4. Однородные координаты. Матрица перехода 4×4 кинематической пары
При составлении математических моделей манипуляторов наибольшее распространение получило матричное исчисление (матричное исчисление было предложено в 1857 г. английским ученым Кэли). Долгое время для этой цели использовалось сочетание матриц поворота размером 3×3, элементами которых были направляющие косинусы углов между осями (трех осей одной системы координат относительно трех осей другой), и матриц переноса размером 3×1, элементами которых служили координаты по трем осям начала соответствующей системы координат.
Наличие двух матриц разной размерности и разного назначения привело к необходимости использовать операции умножения и сложения матриц, к усложнению алгоритма вычисления, а следовательно, к увеличению машинного времени, что сказывается на отработке управляющих сигналов в реальном времени и на управляемости робота.
В последние десятилетия стали использовать комплексные матрицы перехода размером 4×4, позволяющие осуществлять поворот и перенос (смещение) одних координат по отношению к другим. В этом случае для описания положения точки в пространстве используются однородные координаты, в которых к обычным координатам добавляется четвертая, равная единице, то есть координатами точки будут (xi, yi zi, 1). Если известны однородные координаты (xi, yi, zi, 1) вектора ri некоторой точки Ai в «старой» i-й системе координат, то однородные координаты (xi-1, yi-1, zi-1, 1) вектора ri-1 этой точки Ai в «новой» (i-1)-й системе координат рассчитываются в общем случае по формулам:
|
(6.1) |
где C – символ, обозначающий тригонометрическую функцию «cosines»; – углы, образуемые осями «старой»i-й системы координат с осями «новой» (i-1)-й системы так, что поворот определенной оси (i-1)-й системы до совмещения с соответствующей осью i-й системы должен видеться против часовой стрелки; – координаты начала координат Оi i-й системы в системе координат . Тригонометрические функцииназывают направляющими косинусами осейi-й системы в (i-1)-й.
Взаиморасположение i-й системы координат относительно (i-1)-й представлено на рисунке 6.14: на рисунке 6.14а показаны координаты хi-1, у i-1, z i-1 и хi-1, у i-1, z i-1, а на рисунке 6.14б, углы , определяющие ориентацию i-го звена, относительно (i-1)-го.
а)
б)
Рис. 6.14. Взаиморасположение i-й и (i-1)-й систем координат
Выражение (6.1) можно переписать в матричном виде:
или в векторном , |
(6.2) |
где |
(6.3) |
однородная матрица перехода от системы i к (i-1)-й системе координат.
Матрицу можно представить как блочную матрицу:
|
(6.4) | |
в которой матрица |
(6.5) |
является матрицей поворота i-й системы координат относительно (i-1)-й и содержит соответствующие направляющие косинусы.
Матрица является матрицей переноса начала координатi-й системы до совмещения с началом (i-1)-й системы координат
. |
(6.6) |
Переход от одной системы координат к другой с помощью матричного аппарата оказывается удобным средством описания кинематики манипулятора.
Чтобы использовать матричный аппарат преобразования координат для описания кинематики манипуляторов, свяжем по изложенным ранее правилам с каждым i-м звеном манипулятора специальные системы координат, расположенные определенным образом в i-й кинематической паре.
В этом случае переход от i-й системы координат к (i-1)-й с помощью однородной матрицы перехода можно трактовать как пересчет известных координатточки А некоторогоi-го звена в новую (i-1)-ю систему координат, связанную с (i-1)-м звеном.
При переходе от i-й системы координат к (i-1)-й полагают, что оси i-й системы, «уходя» от (i-1)-й, из положения, когда они полностью совпадали с (i-1)-й системой, в положение, которое они занимают, вращались против часовой стрелки относительно соответствующей оси поворота.
Иногда удобно считать, что до совмещения с i-й системой должна перемещаться (i-1)-я система координат до полного совпадения с i-й системой, как бы повторяя перемещения, которые произвела i-я система, «уходя» от (i-1)-й.
В общем случае, чтобы совместить «новое» (i-1)-е положение со «старым» i-м положением системы, используя движение «новой» системы к «старой», необходимо шесть независимых перемещений относительно трех осей координат.
Однако при использовании специальных систем координат и так называемых преобразований Денавита-Хартенберга достаточно четырех перемещений, осуществленных в следующей последовательности (рис. 6.15):
1. Поворот системы (i-1) вокруг оси Zi-1 против часовой стрелки (если смотреть со стороны оси Zi-1) на угол до тех пор, пока осьXi-1 не станет параллельной и однонаправленной с осью Xi.
2. Сдвиг повернутой (i-1)-й системы вдоль оси Zi-1 на величину Si до совмещения оси Xi-1 с осью Xi .
3. Сдвиг системы (i-1) вдоль оси Xi на величину ai до совпадения начал координат систем (i-1) и i.
4. Поворот (i-1)-й системы вокруг оси Xi против часовой стрелки (если смотреть со стороны оси Xi) на угол до совмещения осиZi-1 с осью Zi.
Покажем перечисленные эволюции (i-1)-й системы координат применительно к звеньям манипулятора (рис. 6.15).
Рис. 6.15. Преобразования Денавита – Хартенберга
Каждое из упомянутых элементарных движений (i-1)-й системы координат описывается соответствующей частной матрицей перехода:
Поворот системы (i-1) вокруг оси Zi-1 на угол :
;
Сдвиг по оси Zi-1 на величину Si:
;
Сдвиг по оси Xi на величину ai:
;
Поворот вокруг оси Xi на угол :
где S есть тригонометрическая функция «sinus».
Результирующая матрица перехода от i-й системы координат к (i-1)-й, то есть матрица, осуществляющая преобразования системы координат i-го звена в систему координат (i-1)-го звена, получается путем перемножения частных матриц перехода:
.
После преобразования результирующая матрица принимает вид:
|
(6.7) |
Заметим, что параметры Θi,Si,,αi,, αi могут принимать и отрицательные значения.
М
По рисунку 6.15 можно убедиться в достоверности формул для расчета координат , и , а также в равенстве углов и .