- •Мехатронные и робототехнические системы
- •Введение
- •Глава 1. Предпосылки развития, основные понятия и принципы построения мехатронных устройств
- •Предпосылки развития мехатроники
- •Основные понятия и определения мехатроники
- •Принципы построения, признаки и состав мехатронных систем
- •Глава 2. Применение мехатронных машин
- •2.1. Мобильные мехатронные роботы для инспекции и ремонта подземных трубопроводов
- •2.2. Лазерный робототехнический комплекс
- •2.3. Робототехнический комплекс механообработки
- •2.4. Технологические машины – гексаподы
- •2.5. Транспортные мехатронные средства
- •Глава 3. Структура и принципы интеграции мехатронных систем
- •Глава 4. Проблемы и современные методы управления мехатронными модулями и системами
- •4.1. Принципы построения систем интеллектуального управления в мехатронике
- •4.2. Иерархия управления в мехатронных системах
- •4.3. Системы управления исполнительного уровня
- •4.3.1. Адаптивное регулирование по эталонной модели
- •4.3.2. Нечеткие регуляторы исполнительного уровня
- •4.3.3. Системы управления тактического уровня. Система контурного силового управления технологическим роботом
- •4.3.4. Способы программирования траекторий технологических роботов
- •4.3.5. Интеллектуальные системы управления на основе искусственных нейронных сетей
- •Глава 5. Области применения роботов и робототехнических систем. Классификация промышленных роботов и их технические характеристики
- •5.1. Классификация роботов
- •5.2. Техническая характеристика пр (гост 25378 - 82)
- •Глава 6. Структура, классификация и основы кинематики манипуляционных систем промышленных роботов
- •6.1. Структура манипуляторов промышленных роботов
- •6.2. Переносные и ориентирующие степени подвижности манипулятора
- •6.3. Основы кинематики манипуляторов роботов
- •Положение I-го звена относительно предыдущего (I-1)-го устанавливается с помощью обобщенной координаты qi (рис. 6.6):
- •6.4. Однородные координаты. Матрица перехода 4×4 кинематической пары
- •6.5. Определение ориентации звеньев манипуляторов с использованием углов Эйлера
- •Глава 7. Прямая задача кинематики манипуляторов роботов. Абсолютные скорости и ускорения в манипуляционных системах промышленных роботов
- •7.1. Теоретические вопросы решения прямой задачи
- •7.2. Решение прямой задачи кинематики манипуляторов при позиционном (цикловом) управлении
- •7.3. Определение абсолютных скоростей и ускорений точек и звеньев манипулятора
- •Глава 8. Обратная задача кинематики манипуляторов роботов
- •8.1. Обратная задача кинематики манипуляторов роботов при контурном управлении
- •8.2. Решение обратной задачи кинематики манипуляторов на основе линейной зависимости между абсолютными и обобщенными скоростями (управление по скорости)
- •Глава 9. Динамический синтез и анализ манипуляционных систем промышленных роботов
- •Глава 10. Назначение, состав и классификация робототехнических комплексов
- •10.1. Назначение робототехнических комплексов
- •10.2. Состав и классификация робототехнических комплексов
- •Глава 11. Траектории манипуляторов роботов в составе робототехнических комплексов
- •Компоновка ртк и возможные траектории схвата манипулятора
- •11.2. Анализ местных (частных) траекторий манипулятора
- •11.3. Особенности использования нескольких пр в одном ртк
- •11.4. Межстаночные траектории как функции числа схватов и организации производственной сцены
- •Глава 12. Планирование траекторий схвата манипулятора на основе сплайн – функций
- •12.1. Планирование траекторий при ограниченном числе
- •Опорных точек
- •12.2. Общие случаи планирования траекторий в пространстве обобщенных координат
- •Глава 13. Применение робототизированных технологических комплексов в механообрабатывающем производстве
- •13.1. Требования к технологическим процессам, реализуемым в ртк
- •13.2. Требования к деталям, обрабатываемым в ртк
- •13.3. Требования к технологическому оборудованию, используемому в ртк
- •13.4. Требования к промышленным роботам, включаемым в состав ртк
- •13.5. Требования к вспомогательному и транспортно-накопительному оборудованию, включаемому в ртк
- •13.6. Требования к ртк
- •13.7. Общие характеристики и особенности ртк механообработки
- •Библиографический список
- •Оглавление
6.5. Определение ориентации звеньев манипуляторов с использованием углов Эйлера
Кроме направляющих косинусов, т. е. углов между осями координат Xi-1, Zi, Yi-1, Zi и Xi-1, Yi при определении ориентации звеньев манипулятора успешно используются углы Эйлера. Существует три системы углов Эйлера (Euler). В кинематике роботов используется система углов Эйлера, которая применяется в теории гироскопов и в астрономии при описании движения космических тел (рис. 6.16а):
поворот на угол прецессии I вокруг оси Zi-1;
поворот на угол нутации i вокруг повернутой оси OiXi;
поворот на угол собственного вращения i вокруг повернутой оси OiZi.
Угол прецессии – угол ометания, движения впереди, преддвижения.
Угол нутации – угол колебания оси собственного вращения.
Угол собственного вращения – угол вращения вокруг собственной оси.
Например, при вращении юлы угол i с уменьшением угловой скорости увеличивается и юла падает (рис. 6.16б).
Рис. 6.16. Углы Эйлера
Перечисленные эволюции i-й системы координат отражаются следующим произведением матриц:
Для определения углов Эйлера можно использовать ранее изложенный алгоритм решения прямой задачи кинематики с той разницей, что на заключительном этапе должны быть вычислены значения углов Эйлера из сопоставления соответствующих элементов матриц Тi-1,i и Еi-1,, а именно:
Рассчитываем матрицу Тi-1,i, в результате становятся известными численные значения ее элементов.
2. Cопоставим те элементы матриц Тi-1,i и Еi-1,i, которые наиболее просто позволяют определить углы Эйлера, а именно:
; ;
; ;
; .
Глава 7. Прямая задача кинематики манипуляторов роботов. Абсолютные скорости и ускорения в манипуляционных системах промышленных роботов
7.1. Теоретические вопросы решения прямой задачи
В принятых нами специальных системах координат ось Zi всегда направлена:
во вращательной кинематической паре по оси вращения;
в поступательной паре параллельно направляющей кинематической паре.
Напомним также, что положение i-го звена относительно (i-1)-го определяется обобщенной координатой qi.
Если два звена соединены вращательной парой (рис 7.1а), то при вращении i-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров i, Si, ai и i переменным будет параметр i, то есть во вращательной кинематической паре:
qi = i, Si = const, ai = const, i = const.
Если два звена соединены поступательной парой (рис. 7.1б), то при перемещенииi-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров i, Si, ai и i переменным будет параметр Si, то есть в поступательной паре:
q= Si, i = const, ai = const, i = const.
Таким образом, из четырех параметров, ориентирующих i-ю систему координат, а следовательно, и i-е звено относительно (i-1)-го при движении i-го звена относительно (i-1)-го переменным будет один параметр i или Si, а три остальных – постоянны.
а) б)
Рис. 7.1
Для описания кинематики манипулятора целесообразно использовать специальную таблицу кинематических пар, в которой для конкретного манипулятора проставляются определенные значения параметров i, Si, ai, i, а переменные параметры, являющиеся обобщенными координатами, отражаются буквой qi.
Таблица кинематических пар манипулятора
Номер (i-1)-й кинематической пары |
Тип (i-1)-й кинематической пары |
Номер i-го подвижного звена |
Параметры кинематической пары | |||
i |
Si |
ai |
i | |||
0 1 . . . n-1 |
вращательная или поступательная |
1 2 . . . n |
|
Рассмотрим пример манипулятора, образованного последовательностью кинематических пар: вращательная – поступательная – вращательная (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Специальные системы координат звеньев манипулятора
Обоснуем выбор систем координат звеньев манипулятора.
Система О0X0Y0Z0 выбрана произвольно при обеспечении направления оси Z0 по оси кинематической пары А0.
В системе О1X1Y1Z1: ось Z1 направлена по направляющей кинематической пары А1 и совмещена с осью Z0. Начало координат О1 может быть выбрано в любой точке оси Z1 – в нашем случае она совмещена с точкой О0. Поэтому S1 = a1 = 0, оси Z0 и Z1 совпадают, значит 1 = 0. Переменным является угол 1, так как звено 1 вращается относительно звена 0, следовательно, q1 = 1.
Система координат О2X2Y2Z2 выбрана по ранее изложенному правилу: так как пара поступательная (звено 2 перемещается относительно звена 1), то расстояниебудет переменным, следовательно, . Величины 2, а2 и 2 найдены по общему правилу: , 0,5,.
Система О3X3Y3Z3 выбрана по правилу для действующего n-го (последнего) звена: начало О3 координат назначено в центре А3 схвата, ось Х3 направлена перпендикулярно оси Z2. Так как пара А2 вращательная, то переменным параметром будет угол , следовательно, . Параметры S3, a3 и 3 определяются по общему правилу: S3 = 0 (так как после поворота оси Х2 на угол осиисовпали),=,3 = - 90o и являются постоянными.
Примечание: и– некоторые фиксированные значения параметрови.
Заполним таблицу кинематических пар для данного манипулятора.
Номер (i-1)-й кинематической пары |
Тип (i-1)-й кинематической пары |
Номер i-го подвижного звена |
Параметры кинематической пары | |||
i |
Si |
ai |
i | |||
0 |
Вращательная |
1 |
q1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Поступательная |
2 |
|
q2 |
|
|
2 |
Вращательная |
3 |
q3 |
0 |
- |
Прямая задача кинематики манипуляторов заключается, как отмечалось, в определении положения его звеньев в неподвижной (инерциальной) системе координат по известным значениям обобщенных координат и при известных значениях кинематических размеров звеньев.
Важным частным видом прямой задачи кинематики манипулятора является определение положения его схвата, закрепленного на последнем n-м звене манипулятора.
Положение схвата в неподвижной системе координат будет определено полностью, если будут известны координаты его центра Аn и ориентация последнего n-го звена в неподвижной системе координат. В нашем случае, когда в центр Аn схвата помещено начало n-й системы координат, для определения положения и ориентации схвата достаточно определить координаты начала n-й системы координат в системе координат, связанной с 0-м звеном.
Запишем формулу (6.2) для n звеньев, как бы «пятясь» от звена n к звену 0.
Подставив в последнее равенство последовательно все предыдущие, получим
или в более общем виде , (7.1)
где (7.2)
Каждый элемент матрицы Т0n содержит информацию о взаиморасположении систем координат ОnXnYnZn и О0X0Y0Z0:
Обратим внимание на важное обстоятельство: начало координат n-го звена совпадает с центром схвата. Отсюда вытекает следующее следствие:
, так как .
Таким образом, первые три элемента 4-го столбца матрицы T0n, а именно элементы представляют собой координаты центра схвата. Это объяснятся еще и тем, что эти элементы, согласно зависимостям (6.3) – (6.6), являются координатами, которые отражают смещение (перенос) начала координат n-й системы относительно 0-й неподвижной системы координат.
В нашем же случае начало координат n-й системы и центр схвата, как отмечалось, совпадают, что и подтверждают равенства:
х = y = z = .
Матрица T0n по структуре полностью аналогична любой матрице Тi-1,i (6.7).
Значит, как и в матрице Тi-1,i, 1-й элемент 2-го столбца и первые два элемента 3-го столбца будут являтьсянаправляющими косинусами осей zn и yn относительно осей х0 и y0, а именно:
; ; .
Теперь можно определить углы между соответствующими осями:
, , .
Именно эти углы применительно к звеньям i-1 и i показаны на рисунке 6.14б.
Перепишем матрицу T0n, опустив верхние индексы
. |
(7.3) |
Заметим, что положение схвата в пространстве (координаты его центра Аn и ориентацию n-го звена) мы определяем шестью наддиагональными элементами матрицы T0n. Таким образом, шесть наддиагональных элементов матрицы T0n дают полную информацию о положении схвата в пространстве.
Следовательно, отпадает необходимость в использовании формулы (7.1), а достаточно использовать выражение (7.3) в виде
|
(7.4) |
и воспользоваться наддиагональными элементами а12, а13, а23 и а14, а24,а34.
Для определения положения любого промежуточного -го звена манипулятора относительно стойки надо перемножить соответствующее число первых слева матриц перехода, то есть воспользоваться выражением
Наддиагональные элементы дадут искомое решение.
Можно также определить положение любого k-го звена относительно m-го звена (km) по формуле
.
Заметим, что в силу закона ассоциативности исходные матрицы – сомножители, записанные в порядке возрастания номеров звеньев и пар манипулятора, можно перемножать как справа налево, так и слева направо.
Перемножение справа налево, видимо, более наглядно, т. к. последовательно координаты схвата пересчитываются в предыдущие системы координат: «счет пятясь». Так удобно умножать, когда определяется положение только схвата.
Перемножение слева направо позволяет попутно определить положения всех промежуточных звеньев. Для этого достаточно лишь обеспечить в ходе вычислительного процесса запоминание наддиагональных элементов матриц, получаемых как промежуточные при расчете.