Уравнение Бернулли для установившегося движения элементарной струйки вязкой жидкости

В отличие от идеальной жидкости движение реальной жидкости сопровождается потерей энергии, т. е. часть энергии потока тратится на преодоление сил внутреннего трения частиц жидкости друг о друга и стенки трубопровода. В большинстве случаев прямое измерение этой величины практически невозможно. Однако, констатируя наличие этого явления и принимая во внимание уравнение (2.60), можно априори записать

. (2.63)

Уравнение (2.63) – уравнение Д. Бернулли для установившегося движения элементарной струйки вязкой жидкости. В этом уравнении – полная удельная энергия в сечении элементарной струйки, состоящая из удельной потенциальной и удельной кинетической энергии. При движении вязкой жидкости ее полная удельная энергия не остается постоянной, как это имеет место при движении идеальной жидкости, а всегда уменьшается вниз по течению. Так что для вязкой жидкости всегда . Разность представляет собой удельную энергию, израсходованную на преодоление гидравлического сопротивления в виде сил трения, возникающих в движущейся жидкости.

В вязкой жидкости так же, как и в идеальной, изменение удельной кинетической энергии вызывает изменение удельной потенциальной энергии. При уменьшении кинетической энергии потенциальная обязательно возрастает и наоборот.

Таким образом, при всегда положительном значении гидравлического уклона пьезометрический уклон в зависимости от изменения сечения может быть положительным или отрицательным, т. е.

больше или меньше нуля.

Уравнение Бернулли для плавноизменяющегося потока вязкой жидкости

Как нам теперь известно, поток жидкости в соответствии со струйной моделью представляется совокупностью бесчисленного множества элементарных струек. Плавноизменяющийся поток характерен тем, что струйки обладают очень большим радиусом закругления и почти параллельны между собой, т. е. , . В силу таких обстоятельств в живом сечении плавноизменяющегося потока давление изменяется по законам гидростатики, т. е. прямо пропорционально глубине, следовательно, все частицы данного сечения обладают одинаковой потенциальной энергией. Докажем это.

Выделим в потоке частицу жидкости в форме параллелепипеда высотой h, сечением S и составим уравнение равновесия сил, проецируя их на вертикальное направление. Так как силы трения направлены вдоль потока, то в уравнение равновесия войдут только силы давления на верхнюю F₁ и нижнюю F₂ грани частицы, а также сила тяжести:

,

или

где р₁ и р₂ – гидродинамическое давление (нормальное напряжение) на гранях.

Разделив последнее уравнение на площадь S, получим , т. е. основное уравнение гидростатики, из которого следует постоянство удельной потенциальной энергии частиц в живом сечении потока:

.

В живом сечении плавноизменяющегося потока давление изменяется пропорционально глубине расположения рассматриваемых точек. На дне потока оно будет всегда больше, чем на поверхности или в верхних слоях. Изменение скорости движения по сечению определяется, в свою очередь, законом взаимодействия потока с твердыми стенками, формирующими геометрию канала.

Найдем полную энергию потока в живом сечении как сумму энергий элементарных струек:

Энергию элементарной струйки определим по величине полной удельной энергии, умножив последнюю на элементарный массовый расход:

Полученный интеграл представим в виде суммы двух интегралов:

где первый интеграл представляет потенциальную энергию пото- ка , второй – кинетическую энергию .

Очевидно, что потенциальная энергия потока может быть записана следующим образом:

где G – массовый расход потока, т. е. массовое количество жидкости, протекающей через живое сечение в единицу времени.

В общем случае решить второй интеграл нельзя, ибо не известен закон изменения скорости частиц в живом сечении.

Заменить локальную скорость движения частиц на среднюю скорость также нельзя, ибо кинетическая энергия, вычисленная по средней скорости, не равна средней кинетической энергии частиц. Это хорошо видно из следующего примера. Если 1 м/с, 2 м/с, то средняя скорость этих двух частиц м/с. Значения этих скоростей в квадрате, соответственно, и .

Представим кинетическую энергию потока в таком виде, домножив числитель и знаменатель на v³S:

,

где – коэффициент кинетической энергии.

Коэффициент кинетической энергии характеризует неравномерность распределения скорости частиц в живом сечении. Он показывает, во сколько раз кинетическая энергия потока, вычисленная по средней скорости, меньше кинетической энергии, вычисленной по истинным скоростям движения частиц жидкости.

Действительно,

. (2.64)

Численное значение коэффициента α может быть определено по форме эпюры скорости в живом сечении потока.

Итак, полная энергия потока несжимаемой жидкости в любом сечении определяется по уравнению

.

Величина средней удельной энергии потока в живом сечении

. (2.65)

При движении жидкости ее средняя удельная энергия уменьшается вниз по течению ввиду преодоления сопротивлений, поэтому

, (2.66)

где v₁ и v₂ – средние скорости потока в рассматриваемых сечениях; р₁ и р₂ – гидродинамическое давление в центрах тяжести живых сечений; z₁ и z₂ – геометрические высоты центров тяжести живых сечений над плоскостью сравнения; – потеря полной удельной энергии на трение между сечениями I–I и II–II, или потерянный напор.

Полученное уравнение (2.66) для потока жидкости так же, как и для элементарной струйки, представляет собой уравнение сохранения энергии. Этим уравнением устанавливается взаимная связь между удельной кинетической энергией, вычисленной по средней скорости, и удельной потенциальной энергией потока.

Рис. 2.17. Графическая интерпретация уравнения Бернулли на примере

установившегося равномерного движения реальной жидкости

в горизонтальной трубе

Полученным уравнением Бернулли можно пользоваться только применительно к установившемуся движению жидкости и в таких сечениях потока, где соблюдаются условия плавной изменяемости. Обычно это уравнение используется совместно с уравнением неразрывности для нахождения средней скорости потока или гидродинамического давления и может быть решено, если известна величина потерянного напора h_тр.

Два вида гидравлических потерь энергии

Принцип наложения потерь

При установившемся напорном движении потока жидкости по каналам с твердыми стенками (трубопроводам) потери на трение h_тр подразделяют на два вида:

потери по длине h_дл

и местные потери h_м.

Потери напора по длине возникают, главным образом, в результате преодоления сил трения между частицами жидкости и твердыми стенками канала, ограничивающими поток. Наличие этого вида потерь характерно для каналов постоянного поперечного сечения и неизменной формы по всей длине, т. е. в том случае, когда средняя скорость потока не изменяется по величине и по направлению.

В общем случае потери напора по длине определяются по уравнению

, (2.67)

где – коэффициент сопротивления по длине⁵; λ – коэффициент трения по длине; l и d – длина и диаметр трубопровода, м; ν – средняя скорость потока, м/с.

Местные потери возникают при изменении скорости потока по величине или направлению, т. е. в таких местах потока, в которых происходит деформация эпюры скорости, например при изменении живого сечения потока или направления движения: на участке трубопровода, где имеется изменение его диаметра (резкое или плавное); участке трубопровода, на котором установлены запорная арматура (вентили, краны или задвижки); участке трубопровода постоянного диаметра, загнутого под каким-либо углом:

. (2.68)

Движению жидкости присуще наличие так называемого принципа наложения потерь. Потери напора увеличиваются вниз по течению с нарастающим итогом, т. е. как бы накладываются друг на друга. Это позволяет достаточно просто оценивать потери напора при движении жидкости по трубопроводу, имеющему различные виды сопротивления. Для этого весь трубопровод разбивают на характерные участки и оценивают, какой вид сопротивления будет наблюдаться на каждом из них. Для удобства восприятия рассмотрим следующий пример.

Пусть имеется трубопровод, соединяющий резервуары А и Б между собой (рис. 2.18). Движущей силой в данном случае является разность гидростатических напоров в этих резервуарах, т. е.

.

Жидкость из напорного резервуара А под напором, который создается столбом жидкости Н, поступает в трубопровод, по которому движется в направлении к резервуару Б. Как видно из схемы, на трубопроводе размещен кран, трубопровод состоит из труб двух диаметров, имеет повороты на 180° и входной и выходной участки в местах присоединения к резервуарам. Разобьем весь трубопровод сечениями на 13 участков, как показано на рис. 2.18. Рассмотрим каждый участок подробно, определив вид потерь энергии. На первом участке наблюдается вход жидкости в трубопровод из бака А. При входе жидкости в трубопровод профиль локальных скоростей частиц только начинает формироваться.

Рис. 2.18. Схема трубопровода

Перед входом в трубу частицы жидкости имеют разные направления движения и величины скорости, и только на некотором расстоянии от бака, в трубе, профиль локальных скоростей сформируется и перестанет изменяться. Таким образом, на участке I будут происходить местные потери энергии. Обозначим их как h_м1. На прямолинейном участке II (расстояние между сечениями 1–2) изменения средней скорости потока по величине и направлению не происходит, значит, на этом участке будут наблюдаться потери напора по длине. Обозначим эти потери через h_дл2. На участке III, между сечения- ми 2–3, установлен кран. При преодолении проходного сечения крана частицы жидкости, как правило, резко изменяют направление движения и величину скорости, что связано с конструкцией самого крана. Поэтому на данном участке будут наблюдаться местные поте- ри h_м3. За краном располагается прямолинейный участок трубопровода IV, на котором, как мы уже знаем, будут происходить потери энергии по длине. Обозначим эти потери как h_дл4. На участке V происходит поворот трубопровода на 180°. Поток жидкости изменяет свое направление движения, несмотря на то, что средняя скорость потока частиц остается постоянной (диаметр не изменился). Следовательно, на этом участке будут происходить местные потери напора h_м5. На прямолинейном участке VI будем иметь потери по длине h_дл6. На участке VII происходит резкое изменение диаметра трубопровода. Очевидно, что здесь произойдет изменение скорости движения жидкости в соответствии с законом неразрывности потока (диаметр, а следовательно, и площадь проходного сечения трубопровода увеличились, средняя скорость уменьшилась). Таким образом, на этом участке будем иметь местные потери напора h_м7. Далее на прямолинейном участке VIII имеем потери по длине h_дл8. На участке IX вновь происходит изменение диаметра с большего на меньший, следовательно, на этом участке произойдет изменение значения средней скорости движения потока и будут наблюдаться местные потери напора h_м9. На прямолинейных участках X и XII имеем потери по длине, соответственно h_дл10 и h_дл12. На участках XI и XIII, где осуществляются поворот потока на 180° и вход жидкости в резервуар Б, будут происходить местные потери напора h_м11 и h_м13 по указанным выше причинам.

Таким образом, согласно принципу наложения потерь, поте- ри напора при движении потока жидкости от резервуара А к резервуару Б

.

Сгруппировав слагаемые по виду потерь, последнее равенство можно записать в более общем виде:

(2.69)

Тогда, подставляя последнее равенство в уравнение Бернулли, записанное для установившегося потока реальной жидкости, получим

(2.70)

Еще раз отметим, что уравнение (2.70) совместно с уравнением расхода (2.27) является основополагающим при проведении гидравлических расчетов трубопроводов. Однако для их проведения необходимо знать величины потерь напора по длине и местных потерь. Таким образом, далее нас будет интересовать, от чего зависят потери напора в обоих случаях, какие параметры, характеризующие жидкость и геометрию канала, по которому она течет, необходимо принять во внимание. Начнем рассмотрение вопроса с оценки потерь напора по длине.