Уравнение расхода несжимаемой жидкости

Рассмотрим установившееся напорное движение несжимаемой жидкости в трубопроводе. В этом случае основное направление движения всех частиц жидкости будет определяться направлением движения объема жидкости, находящейся в трубопроводе в данный момент времени. Пусть трубопровод будет расположен горизонтально и жидкость движется в направлении оси x (см. рис. 2.10). Тогда для одномерного потока уравнение (2.27) можно записать в следующем виде:

(2.29)

Умножая уравнение (2.29) на Sdx, т. е. на объем, и интегрируя, получаем

Q = (2.30)

где интеграл дает постоянную в потоке среднюю скорость v, т. е. уравнение (2.30) представляет собой уравнение постоянства объемного расхода несжимаемой жидкости через трубопровод с площадью поперечного сечения S. Изменение площади живого сечения потока вызывает изменение величины средней скорости, но в обратном направлении. Действительно, расход установившегося потока постоянен, т. е. если через начальное сечение потока прошел расход Q (м³/с), то через все промежуточные и конечное сечения пройдет тот же самый объем жидкости. Он будет одинаковым для любого живого сечения, так как движение характеризуется сплошностью и в потоке отсутствуют области, отличающиеся переуплотнением жидкости или пустотами. Следовательно, расход и в первом и во втором сечениях будет одинаковым, но в обоих случаях он равен произведению средней скорости на площадь живого сечения:

, отсюда

или

(2.31)

Таким образом, получаем очень важное положение, утверждающее, что изменение площади живого сечения вызывает обратное изменение средней скорости, или отношение площадей живых сечений обратно пропорционально отношению средних скоростей. Если в потоке площадь живого сечения уменьшается, то средняя скорость движения жидкости в этом сечении возрастает.

ГИДРОДИНАМИКА

Дифференциальные уравнения движения

идеальной жидкости

(уравнения гидродинамики Л. Эйлера)

При рассмотрении движения жидкости мы убеждаемся, что скорость частиц и гидравлическое давление взаимно связаны между собой. Одна из задач гидродинамики – установить эту зависимость. Так как эта задача с учетом всех сил, действующих в жидкости, очень сложна, то для упрощения ее решения обычно рассматривают движение идеальной жидкости. Таким образом, мы исключаем из рассмотрения действие сил внутреннего трения.

Один из методов решения этой задачи связан с составлением дифференциального уравнения движения и интегрированием его в определенных граничных условиях. Интеграл дифференциального уравнения, или система дифференциальных уравнений, дает зависимость давления от скорости в потоке.

Рассмотрим движение идеальной жидкости, не ограничивая его видом. Выделим в потоке элементарную частицу в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 2.12) с центром тяжести в точке А и зафиксируем ее в декартовой системе координат.

Пусть в данный момент времени скорость движения частицы и (м/с) и давление в ее центре p (н/м²). Так как изменение единичного гидростатического давления в объеме потока неизвестно, допустим, что изменение р происходит в направлении увеличения значений координат x, y и z. Частица находится под действием сил, проявляющихся в потоке. Это силы массовые и поверхностные. Поверхностные силы, или силы давления, определяются тем же методом, что и в гидростатике [1]. Так, для левой грани abdс эта сила

F_x = (2.32)

а для правой грани a΄b΄d΄c΄

= (2.33)

Рис. 2.12. Расчетная схема к выводу уравнений Эйлера

Из массовых сил мы должны учесть силу тяжести и силу инерции. Сила инерции G_i всегда направлена в сторону, противоположную движению. Если масса частицы ρdxdydz, то сила инерции определяется изменением скорости движения частицы по времени, т. е. ее ускорением , и будет равна , где ρdxdydz – масса жидкости в объеме параллелепипеда.

Тогда проекция вектора силы инерции на ось x может быть записана в виде

. (2.34)

Массовая сила – сила тяжести G = ρadxdydz, где а – ускорение этой силы. Так как мы рассматриваем общую задачу, то направление действия силы G нам неизвестно. Покажем произвольно ее направление на рис. 2.12. Проекция этой силы на ось х

ρa_xdxdydz, (2.35)

где a_x – ускорение проекции равнодействующей силы тяжести на ось x.

Составим уравнение баланса сил, действующих в направлении оси х:

. (2.36)

Подставим найденные значения сил в уравнение (2.36):

(2.37)

Выполнив алгебраические преобразования, получим

. (2.38)

Разделим левую и правую части уравнения (2.38) на получим

. (2.39)

Это и есть уравнение равновесия движения идеальной жидкости относительно оси х. Рассуждая аналогичным образом, составим для направлений у и z еще два уравнения баланса сил, действующих в каждом из этих направлений. В результате получим систему, состоящую из трех уравнений:

(2.40)

Данные уравнения были выведены членом Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером в 1755 г. и опубликованы им в ХIV томе «Известий Петербургской Академии Наук» в 1769 г. Поэтому система уравнений движения идеальной жидкости (2.40) называется уравнениями Эйлера.

Уравнения Эйлера устанавливают связь между проекциями сил, действующих в потоке идеальной жидкости, и указывают на наличие зависимости между скоростью движения и давлением.

Число полученных уравнений недостаточно для определения локальной скорости и давления в потоке, так как эти уравнения включают четыре неизвестные величины: и p. В качестве четвертого уравнения, замыкающего систему, используется уравнение неразрывности потока в дифференциальной форме для несжимаемой жидкости (2.27):