Два метода изучения движения жидкости

Изучение движения жидкости можно проводить двумя методами – методом Лагранжа или методом Эйлера.

По методу Лагранжа¹ объектом изучения является сама движущаяся жидкость. Берутся отдельные частицы жидкости, которые рассматриваются как материальные точки, сплошь заполняющие некоторый движущийся объем.

Изучение состоит в исследовании изменений, которые претерпевают различные величины (скорость, плотность и т. д.) в зависимости от времени, и изменений тех же величин при переходе от одной частицы жидкого объема к другой. Иначе говоря, упомянутые величины, характеризующие движение, рассматриваются как функции времени и тех чисел, которыми отмечается индивидуальность рассматриваемой частицы. За такие числа можно принять, например, декартовы координаты а, b, с относительно неподвижных осей в некоторый начальный момент времени t = t₀. Таким образом, за переменные величины в методе Лагранжа можно принять координаты а, b, с и t. Тогда координаты движущейся точки

причем при t = t₀ имеет место совпадение точки с координатами (x, y, z) c точкой (a, b, c), т. е.

Отсюда следует, что, согласно Лагранжу, о движении жидкости мы судим по совокупному рассмотрению траекторий, описываемых частицами жидкости. В этом случае переменными величинами являются и координаты, т. е. они являются текущими координатами жидкостных частиц. Тогда проекции скорости можно записать как

а плотность

Таким образом, по методу Лагранжа берется частица жидкости и исследуется движение этой частицы за некоторый промежуток времени.

Метод Лагранжа не получил широкого распространения в гидродинамике в связи с тем, что уравнения движения, составленные на его основе, сложны, трудно решаемы и практически не поддаются проверке опытным путем.

По методу Эйлера² объектом изучения является не сама жидкость, а неподвижное пространство, заполненное движущейся жидкостью. Обычно изучают изменение различных параметров движения в фиксированной точке (или точках) пространства с течением времени и изменение этих параметров при переходе к другим точкам пространства. Иными словами, величины, характеризующие движение, рассматриваются как функции координат точки (x, y и z) и времени (t). Например,

u_x = f₁(x, y, z, t);

u_y = f₂(x, y, z, t); (2.1)

u_z = f₃(x, y, z, t).

Параметры, приведенные в правой части уравнений (2.1), получили название «переменные Эйлера». С точки зрения Эйлера, в общем случае объектами изучения являются векторные поля, характеризующие движение жидкости (поле скоростей, поле ускорений, поле плотностей и т. д.). Таким образом, согласно Эйлеру, жидкостный поток в целом в данный момент времени может быть представлен векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства. В дальнейшем при рассмотрении движения изотермических потоков несжимаемой жидкости для математического описания их движения будем пользоваться методом Эйлера и интересовать нас будет поле скоростей.

Установившееся и неустановившееся движение

Из гидростатики известно, что движение в жидкости возникает при наличии гидростатического напора Н, т. e. в условиях, при которых потенциальная энергия жидкости имеет возможность частично или полностью перейти в энергию движения. Движение жидкости в пространстве может быть только двух видов: установившимся и неустановившимся. Дадим определение установившегося движения.

Установившимся движением жидкости называется такой вид движения, при котором величины составляющих скорости

рассматриваемой частицы не зависят от времени, а зависят

от местоположения этой частицы.

Иными словами, для установившегося движения составляющие локальной скорости являются только функциями координат и не зависят от времени:

u_x = f₁(x, y, z);

u_y = f₂(x, y, z); (2.2)

u_z = f₃(x, y, z).

В гидравлике поток жидкости рассматривают как движущуюся среду, непрерывно заполняющую пространство и формирующую поток, т. е. в виде неразрывного и не имеющего пустот и переуплотнений вещества.

Установившееся движение может возникнуть только при условии постоянства напора жидкости и гидравлических сопротивлений трубопровода. В этом случае обеспечивается постоянство локальных скоростей движения частиц и давлений в каждой точке потока. Как следствие, перемещение всех частиц установившегося потока с течением времени будет постоянным.

Примером установившегося движения может служить движение жидкости по трубопроводу при постоянных значениях напора и гидравлического сопротивления (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Вариант реализации установившегося

движения жидкости по трубопроводу

Подвод жидкости к резервуару осуществляется таким образом, что при открытом спускном кране, коэффициент сопротивления которого ξ_к, уровень жидкости в резервуаре будет постоянным, т. е. . Если степень открытия спускного крана не изменять (ξ_к = const), т. е. оставить неизменным гидравлическое сопротивление трубы, то жидкость в трубопроводе будет двигаться с постоянной скоростью. Давление жидкости в интересующем нас сечении трубы в этой ситуации будет постоянным во времени и количество вытекающей жидкости также будет постоянным.

Неустановившееся движение возникает при изменяющихся напоре и (или) гидравлическом сопротивлении канала, т. е. в условиях изменения положения свободной поверхности в резервуаре (рис. 2.2), либо при изменении степени открытия спускного крана (ξ_к const). Характерным примером является случай опорожнения резервуара. В данном случае локальная скорость частиц жидкости u и давление р в наблюдаемом сечении канала будут меняться и, следовательно, будет меняться количество частиц жидкости, проходящих через это сечение в единицу времени.

Рис. 2.2. Вариант реализации неустановившегося

движения жидкости по трубопроводу

Таким образом, неустановившимся движением жидкости

называется такой вид движения жидкости, при котором

величины составляющих скорости рассматриваемой частицы

зависят и от местоположения этой частицы, и от времени.

Следовательно, для неустановившегося движения жидкости будем иметь

u_x= f₁(x, y, z, t);

u_y= f₂(x, y, z, t); (2.3)

u_z= f₃(x, y, z, t).

Основные положения струйной

модели потока жидкости

Для того чтобы процесс движения частиц жидкости, образующих поток, мог считаться описанным полностью, необходимо, чтобы в каждой точке области, занятой потоком, были известны не только давление и плотность, но также направление и величины скоростей перемещения частиц жидкости.

В реальных условиях определение р и и в каждой точке потока одновременно, даже в условиях установившегося движения, осуществить опытным путем чрезвычайно сложно. Тем более сложно это выполнить теоретическим путем. Однако если двигаться в изучении данного вопроса от простого к сложному, то появляется вполне реальная возможность получения необходимых математических зависимостей. Таким методическим подходом является струйная модель потока жидкости. Она предполагает следующее. Исходным моментом является рассмотрение идеального потока, в котором частицы жидкости движутся только в одном направлении, обусловленном движущей силой. Обычно рассматривается поток в горизонтальной трубе постоянного диаметра. При этом констатируется, что частицы жидкости, находящиеся на одном и том же расстоянии от твердой стенки, движутся с одной и той же скоростью. Если частицы жидкости движутся на различных расстояниях от твердой стенки, то и скорости их будут различны. Такая ситуация в целом не противоречит опытным данным.

В дальнейшем последовательно вводятся понятия траектории, линии тока и элементарной струйки. В результате с учетом допущений предполагают, что весь поток состоит из элементарных струек (струйная модель потока жидкости), и находят количественную взаимосвязь между элементарными струйками и потоком жидкости в горизонтальной трубе. Рассмотрим эти положения более подробно в той последовательности, которая была указана выше.

Последовательное местоположение отдельно взятой частицы жидкости в пространстве можно охарактеризовать траекторией ее движения.