Понятие о теории подобия

Практическое использование уравнения Бернулли требует знания числовых значений безразмерных коэффициентов, характеризующих поток (например, α, ξ_тр, λ и т. п.). Определить их аналитически, как правило, невозможно из-за сложности структуры потока и физической природы потерь напора на трение. В этих случаях упомянутые величины определяют экспериментально. Эксперименты ставят на моделях, имитирующих реальную ситуацию. Прежде чем поставить эксперимент, необходимо ответить на следующие воп-росы:

1. Каким условиям должен удовлетворять модельный поток, чтобы по модельным испытаниям можно было установить свойства натурного (воспроизводимого) потока?

2. Какие величины необходимо измерять в модельном потоке и как обрабатывать экспериментальный материал, чтобы по результатам модельных испытаний можно было определять величины, характеризующие натурный поток?

Ответы на эти вопросы дает теория подобия моделируемых объектов, основное положение которой сводится к тому, что для возможности переноса результатов качественных и количественных наблюдений модельного потока на поток натурный необходимо создать модельный поток, физически подобный натурному.

Установившиеся потоки называются подобными, если подобны их границы и поля одноименных гидродинамических величин, определяющих кинематику и динамику потоков (поля сил, поля скоростей, поля давлений и др.).

При подобии потоков числовые значения гидродинамических параметров одного потока могут быть получены умножением значений одноименных параметров другого потока на постоянные безразмерные множители, называемые масштабами подобия.

В гидравлике в основном рассматривают подобие установившихся потоков однородных несжимаемых жидкостей.

В теории моделируемых объектов различают:

– геометрическое подобие объектов;

– кинематическое подобие;

– динамическое подобие.

Рассмотрим каждое из них более подробно.

Геометрическое подобие потоков. Потоки будут геометрически подобны, если сходственные (соответственные) размеры моделируемого (натурного) потока пропорциональны сходственным размерам модельного потока (модели).

Допустим, мы имеем натурный трубопровод, поток в котором необходимо исследовать. Создание натурного трубопровода в реальных размерах очень трудоемко и дорого. В этом случае можно смоделировать трубопровод в лабораторных условиях, но в значительно меньших размерах. Для того чтобы получить поток в модельном трубопроводе, геометрически подобный реальному, необходимо разделить все сходственные линейные размеры натурного трубопровода на некоторое число α_l и полученные результаты принять за соответствующие линейные размеры модельного трубопровода. Число α_l вы-

бирают, исходя из практических изображений, которые обусловлены производственными возможностями лаборатории.

Таким образом, получают связь между геометрическими параметрами натурного и модельного объектов. При этом сходственные линейные размеры, сходственные площади и сходственные объемы модельного и натурного потоков связаны соотношениями

;

;

,

где индексы «н» и «м» обозначают отношение к натурному или модельному потоку.

Отношение сходственных сторон называется масштабом геометрического подобия, или множителем преобразования α_l.

Масштаб геометрического подобия α_l можно выразить отношением некоторых характерных для рассматриваемых потоков сходственных линейных размеров и (рис. 2.22):

.

Так как

, то .

Отношение длины отрезка l к длине L, выбранной в качестве характерной, называется безразмерной длиной отрезка.

Следствием геометрического подобия потоков является одинаковость (idem) безразмерных величин сходственных отрезков:

L'_н

а

Рис. 2.22. Геометрическое подобие каналов:

а – натурный трубопровод;

б – модельный трубопровод

При геометрическом подобии потоков отношения сходственных площадей S_н/S_м постоянны, т. е.

.

Отсюда следует

Аналогичные соотношения можно привести и для объемов подобных потоков:

,

или

т. е. безразмерные сходственные площади и объемы одинаковы.

Для потоков в трубопроводах в качестве характерных линейных размеров рекомендуется выбирать радиусы или диаметры сходственных сечений и длину трубопроводов.

При геометрическом подобии приращения сходственных сторон должны быть также подобны, следовательно, отношение этих приращений будет равняться масштабу геометрического подобия, т. е.

.

Отсюда следует вывод, если натурный и модельный потоки геометрически подобны, то масштаб геометрического подобия для них одинаков. Иначе можно сказать, что два потока будут геометрически подобными, если любой линейный размер одного может быть получен из линейного размера другого путем умножения на постоянный множитель.

Кинематическое подобие заключается в подобии полей скоростей и ускорений потоков: оно может существовать только при наличии геометрического подобия каналов, ограничивающих натурный и модельный потоки. Если потоки кинематически подобны, то отношение характерных скоростей движения частиц, находящихся во всех сходственных точках, должно быть одинаковым, т. е.

,

где α_u – масштаб кинематического подобия.

В таких потоках одинаковым должно быть и отношение ускорений частиц, находящихся в сходственных точках:

.

Траектории движения частиц в кинематически подобных потоках должны быть подобны между собой. Очевидно, отношение приращения скорости движения частиц и отношение самих скоростей должны быть одинаковыми:

;

отношение промежутков времени, в течение которых частицы прошли подобные отрезки пути, тоже должно быть одинаковым:

Таким образом, масштаб подобия скорости можно выразить через отношение масштабов пути и времени и :

Динамическое подобие возможно при наличии кинематического подобия и при условии, что в потоках действуют силы одинаковой физической природы. Если потоки динамически подобны, то отношение сил, действующих на частицы, находящиеся в сходственных точках, должно быть одинаковым, т. е.

В потоках жидкости могут действовать несколько сил: сила тяжести, сила внутреннего трения, сила давления, сила инерции и т. д. Установим, каково будет соотношение между силой инерции и силой внутреннего трения. Сила инерции G_i, равная произведению массы на ускорение, может быть представлена в таком виде:

Сила внутреннего трения (см. рис. 1.1 [1]) в соответствии с уравнением (1.8) [1]

тогда

где п – направление нормали к направлению движения;

~

Отсюда следует отношение силы инерции к силе внутреннего трения:

Полученное безразмерное соотношение называется критерием режима движения, или критерием Рейнольдса, и обозначается Re. Если потоки подобны, то критерий Re в сходственных сечениях потоков должен быть одинаковым:

При движении жидкости в трубах круглого сечения характерным геометрическим размером, определяющим геометрию русла, будет диаметр, поэтому для труб

(2.85)

Теперь должно быть понятно, почему при смене режимов критерий Re для всех жидкостей в круглых трубах одинаков и ра- вен 2320. Объясняется это гидродинамическим подобием потоков. При смене режимов и сила инерции, и сила внутреннего трения, действующие на частицу, играют равнозначную роль; устанавливающиеся между ними соотношение 2320 для всех жидкостей имеет одинаковое значение. Если в потоке начинает преобладать сила инерции, устанавливается турбулентный (инерционный) режим движения, для которого Re > Re_кр. Если в потоке начинают преобладать силы внутреннего трения, устанавливается ламинарный (вязкостный) режим движения и число Re < Re_кр.

Таким образом, по величине числа Re можно судить о режиме движения жидкости.

Установим соотношение между силой давления F и силой инерции G_i. Сила давления, действующая в потоке на частицу, может быть представлена произведением разности гидродинамического давления , действующего на противоположные стороны частицы, на площадь ее сечения, т. е.

Отношение силы давления F к силе инерции G_i

Полученное выражение называется критерием Эйлера (Euler) и обозначается Eu. Если потоки подобны, то значения критерия Eu в сходственных сечениях должны быть одинаковыми, т. е.

(2.86)

Оказывается, между критерием Eu и коэффициентом потерь ξ существует определенная связь. Действительно, согласно (2.67), потери напора ; с другой стороны, , следовательно,

(2.87)

т. е. коэффициент потерь напора в два раза больше критерия Eu.

Таким образом, для гидродинамически подобных потоков значения коэффициента потерь должны быть одинаковыми. Это действительно наблюдается; например, коэффициент потерь при входе жидкости из резервуара в трубопровод круглого сечения, нормально расположенный к стенке, для труб различных диаметров равен 0,5, что имеет место в результате гидродинамического подобия явлений.

Теория подобия широко используется в практической деятельности для изучения гидродинамических явлений на моделях. Она применяется для решения математически очень сложных дифференциальных уравнений движения жидкости.

Для подобных потоков дифференциальные уравнения одни и те же. Оказывается, решения дифференциальных уравнений можно представить в виде зависимости между критериями подобия, но вид функциональной зависимости при этом устанавливается опытным путем в результате испытания модели. Так, из уравнений движения можно получить критерии Eu и Re. Зависимость Eu = f(Re), определяющая решение уравнений, устанавливается опытом и будет справедлива для всех потоков, гидродинамически подобных между собой.