Уравнение неразрывности (сплошности) потока
Уравнение неразрывности, или сплошности, потока является уравнением материального баланса в гидродинамике и выражает собой закон сохранения массы вещества в установившемся потоке жидкости или газа.
Рассмотрим поток сжимаемой жидкости (газа), движущийся в установившемся режиме. Зафиксируем этот поток в декартовой системе координат (рис. 2.11). Выберем произвольно в этом потоке неподвижную точку А (x, y, z).
Рис. 2.11. Расчетная схема к выводу уравнения
неразрывности потока сжимаемой жидкости
Выделим вокруг точки А бесконечно малый объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными соответствующим осям координат. Пусть локальная скорость частицы жидкости, находящейся в точке А (центр тяжести параллелепипеда), будет равна u, а плотность жидкости в данной частице – ρ.
Изменение значений u и ρ в пространстве нам не известно, поэтому для последующих рассуждений и их математической записи введем следующие допущения:
– допустим, что увеличение u и ρ происходит в направлении увеличения значений координат x, y и z;
– считаем, что изменение u и ρ происходит плавно с изменением значений координат рассматриваемых точек в пространстве.
Тогда масса жидкости, прошедшей через левую грань adcb выделенного параллелепипеда за время dt,
(2.17)
где
– массовый расход жидкости через левую
грань площа-
дью dydz,
кг/с;
– массовый расход жидкости через
сечение, проходящее через точку А
параллельно левой грани параллелепипе-да,
кг/с;
– изменение массового расхода жидкости
из-за разницы положений левой грани и
сечения, проходящего через точку А
(расстояние между этими сечениями
),
кг/с.
Так как грань adcb находится слева от центра А, то в соответствии с принятыми допущениями данное выражение берем со знаком минус.
Масса жидкости, прошедшей через правую грань a΄d΄c΄b΄ выделенного параллелепипеда за время dt,
(2.18)
где
– массовый расход жидкости через правую
грань площа-
дью dydz,
кг/с.
В уравнении (2.18) величину изменения массового расхода [второе слагаемое в правой части уравнения (2.18)] в соответствии с принятыми допущениями берем со знаком плюс.
В результате приток или отток массы жидкости в данном объеме в направлении оси x за единицу времени
(2.19)
Далее, рассуждая аналогично, получим выражения изменения массы в интересующем нас объеме в единицу времени, рассматривая потоки массы жидкости по направлениям y и z.
В направлении оси y приток или отток массы dGy будет определяться массовыми потоками через грани cc΄b΄b (задняя грань) и add΄a΄ (передняя грань):
(2.20)
В направлении оси z приток или отток массы dGz будет определяться массовыми потоками через грани abb΄a΄ (нижняя грань) и dcc΄d΄ (верхняя грань):
(2.21)
Полное изменение массы жидкости в единицу времени dG в рассматриваемом объеме по всем трем направлениям
(2.22)
Увеличение или
уменьшение массы жидкости m
в фиксированном объеме V
может происходить лишь за счет изменения
ее плотности ρ, так как
,
но V = const,
поэтому
.
Учитывая последнее, изменение массы жидкости в единицу времени в интересующем нас объеме dxdydz можно записать как
(2.23)
Приравнивая значения dG из уравнений (2.22) и (2.23) полу-чаем
(2.24)
Сократив обе части уравнения (2.24) на dxdydz, получим
(2.25)
Данное выражение представляет собой уравнение неразрывности (сплошности) потока сжимаемой жидкости в дифференциальной форме.
Так как в гидравлике мы рассматриваем практически несжимаемые жидкости, то в уравнении (2.25) ρ = const. Отсюда следует, что ρx = ρy = ρz= ρ и выражение (2.25) можно преобразовать к виду
(2.26)
Произведение плотности на выражение, стоящее в скобках, будет равно нулю только в том случае, если выражение в скобках будет равно нулю. Второй сомножитель, а именно плотность, не может равняться нулю, так как в этом случае потеряется физический смысл рассматриваемого явления. Из сказанного следует, что
(2.27)
Зависимость (2.27) является уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости в дифференциальной форме. В высшей математике она представляет собой дивергенцию вектора скорости и может быть записано более кратко:
div u = 0. (2.28)