4.3. Процесс формирования навыков тождественных преобразований

Содержание линии тождественных преобразований выделяется в настоящее время достаточно четко. В нее входят: изучение тождеств в числовой системе, их применение к упрощению выражений и решению уравнений, изучение тождеств в классе элементарных функций. Организация изучения отдельных тождеств пред­полагает использование специальных циклов заданий. Цикл заданий на материале конкретной темы характеризуется соединением в последовательность упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. Применительно к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом. Задания связаны с изучением одного тождества, вокруг ко­торого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла, наряду с исполнительными, входят задания, требующие распозна­вания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применя­ется для проведения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества.

Задания в цикле разбиты на две группы.

I группа. Задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождест­вом. Это материал для нескольких идущих подряд уроков. Это этап усвоения тож­дества, запоминания его словесной формулировки, выработки навыка его приме­нения в хорошо видной ситуации.

II группа связывает изучаемое тождество с различными его применениями. Это этап углубленного понимания тождества за счет рассмотрения его в разнооб­разных ситуациях в сочетании с использованием материала, относящегося к дру­гим темам школьного курса.

Рассмотрим систему упражнений для усвоения тождества

а²-в² = (а-в) (а+в)

Задания	Методические указания
1 группа 1.Представить в виде произведения: a) m^2-n^2 в) с^2 - 5^2 с) 196- к^2	Формируется структура изучаемого тождества, уточняются связи между его словесным выражением и символической формой. Идет работа не толь­ко с буквенными, но и буквенно-числовыми выражениями.
2.Проверить справедливость равенства: (10^2-1)(10^2+1) = 10^4-1	Задание направлено на формирование навыка двустороннего преобразования
3. Раскрыть скобки в выражении: (4ху + 5х^2)(4ху - 5х^2)	Идет отработка применения тождества
4.Вычислить: 25^2-24^2; 49*51	Эта группа упражнений углубляет пред­ставление об операции подстановки и развивает навыки ее применения
5.Разложить на множители: х^4-у^4; 16(ав)^2-(а-в)^2	Изучаемое тождество применяется дважды.
6.Упростить: (а+в)^2 - (а-в)^2	Переосмысление изучаемого тождества в терминах отношений между компонентами арифметических действий.
2 группа 1.Разложить на множители: х^2-5 2.Исключить иррациональность в знаменателе дроби: 3.Доказать, что если к - нечетное число, то к - 1 кратно 4 4.Функция задана выражением х^2 + 2| х | + 1 f (х) =------------------ х^2 - 1 Упростить, раскрыв знак мо­дуля.	Идет привлечение новой операции - извлечение корня. Задания предполагают наличие уже сформиро­ванных навыков использования изучае­мого тождества для разности квадратов. Цель предлагаемых заданий - углубить понимание тождества за счет рассмот­рения разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с ис­пользованием материала, относящегося к другим темам курса математики.
5. Решить уравнение: х^3 - 4х = 15 (*)	(*) <=> х^3 - 9х = 15 - 5х <=> х(х-3)(х+3) = 5(3-х) <=> х=3. или х(х+3) = -5. Но уравнение х(х+3) = -5 действительных корней не имеет, поэтому х =3 - единственный корень уравнения. Здесь использование тождества для разности квадратов составляет лишь часть решения уравнения, являясь ведущей идеей проведения преобразований.

В курсе основной школы рассматриваются алгебраические выражения, то есть выражения, которые не содержат над переменными никаких действий, кроме арифметических операций, операций извлечения корня и возведения в степень с рациональным показателем (см. табл. 1). Новому преобразованию начинаем обучать, если у учащихся уже сформирована база для их выполнения (см. табл. 2).

Формирование навыков тождественных преобразований более быстро про­текает, если учитель добивается от учащегося устного выполнения некоторых пре­образований не только при устном счете, но и в процессе решения задач.

Полезно также иметь в виду, что всякий раз, когда возникает необходимость в тождественном преобразовании, мы имеем дело с выражением, область опреде­ления которого задана. При выполнении преобразования она может расширяться или сужаться.

Пример

1. - расширилась

2. - сузилась

Этого можно избежать, если осуществлять преобразования на области оп­ределения исходного выражения: