7.5.2.Методические замечания к изучению темы «Квадратичная функция»

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных – 9класс (Г.В. Дорофеев)

Изучение темы начинается с общего знакомства с функцией у = ах² + вх +с. На готовом чертеже выявляются основные особенности ее графика. В небольшом историческом экскурсе «раскрывается» геометрическое «происхождение» параболы и приводятся примеры использования ее свойств в технике. Этот вводный фрагмент, сопровождаемый серией разнообразных заданий, позволяет сделать дальнейшее изучение темы осознанным и целенаправленным.

Далее изложение материала осуществляется следующим образом:

- рассматриваются свойства и график функции у = ах²;

- изучается вопрос о графиках функций у = ах² +q, у = а(х + p)², у = а(х + p)² + q, которые получаются с помощью сдвига вдоль осей координат «стандартной» параболы ах² ;

- доказывается теорема о том, что график любой функции вида у = ах² + вх +с может быть получен путем сдвигов вдоль координатных осей параболы у = ах²;

- по коэффициентам квадратного трехчлена у = ах² + вх + с школьники учатся представлять общий вид соответствующей параболы и вычислять ее вершину.

В системе упражнений значительное место отводится задачам прикладного характера.

Завершается тема рассмотрением вопроса о решении квадратных неравенств. Прием, к которому при этом обращаются, основан на использовании графиков.

Планирование темы

Название пунктов (Г.В.Дорофеев Алгебра - 9)	Число уроков	Дидактические материалы
2.1. Какую функцию называют квадратичной	3	0 -7 – 0 -8, П -18
2.2 График и свойства функции у = ах^2	3	0 -9, П -19
2.3. Сдвиг графика функции у = ах^2вдоль оси координат	4	0 – 10 - 0 – 12, П -20
2.4. График функции у = ах^2 + вх + с	5	0 - 13, П - 21
2.5. Квадратные неравенства	4	0 -14, П – 22
Зачет № 2	1	«Проверь себя сам»

Учитель может организовать с учащимися работу по изучению п.2.1 («Какую функцию называют квадратичной»), пользуясь следующими рекомендациями авторов.

«Изучение пункта «Какую функцию называют квадратичной» преследует две цели:

-создание первоначальных представлений о графике квадратичной функции, знакомство с параболой как геометрической фигурой;

-повторение некоторых общих сведений о функциях, известных учащимся из курса 8 класса.

При работе с теоретической частью и при выполнении заданий учащиеся должны проводить наблюдение, выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, переходить от одной системы терминов к другой.

Теоретический текст пункта разбит на 4 фрагмента.

1. Приводится определение квадратичной функции, которое иллюстрируется примерами зависимостей из геометрии и физики.

2. Цель второго фрагмента – создание общих представлений о графике квадратичной функции. На рис. 2.2. учебника в одной системе координат построены графики функций вида у = ах² + вх + с. Необходимо обсудить с учащимися, что общего у этих графиков и чем они различаются.

3. Рассматривается построение графика функции у = х² – 2х -3, вводится понятие области значений функции. Все рассуждения проводятся сначала с использованием геометрической терминологии и с опорой на график, а затем те же самые факты формулируются на алгебраическом языке. Формирование таких понятий, как наименьшее (наибольшее) значение функции, неограниченность сверху (снизу), происходит с опорой на наглядное представление.

4. Рассматривается график квадратичной функции, описывающей реальный процесс. Теоретическая часть пункта завершается рассказом об особенностях параболических зеркал. Дана авторская характеристика (назначение, дидактическая цель выполнения…) некоторых упражнений.

№181 – 184 – восстановить навыки использования функциональной символики, приемов нахождения значений у по заданному значению х (и наоборот) с использованием формулы и графика.

№185 – 187 – вспомнить термин «нуль функции». Так как учащимся еще не известно о зависимости направления ветвей параболы от знака первого коэффициента квадратного трехчлена, то при выполнении упр №186 ответ о расположении графика должен быть неоднозначным. Учащиеся должны строить график по точкам, а не пользоваться опытом наблюдения, так как верное умозаключение нуждается в доказательстве.

№188 - 191 направлены на овладение учащимися одним из алгоритмов построения квадратичной функции (имея пару симметричных точек параболы, можно построить ее ось симметрии и найти координаты вершины).

№192 – задача исследования (из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат).

Задания к лекции

1. Работа над усвоением определения линейной функции проходит «через задачи». Продумайте систему задач, предназначенных для работы над усвоением определения линейной функции.

Указание.Система может включать в себя:

1.Задачи на доказательство того, что функция, заданная формулой, не имеющей вида

у = кх + в, а) является линейной, б) не является линейной.

2. Задачи на распознавание линейной функции в ее частных видах при различных значениях кив.

3. Задачи на усвоение того факта, что областью определения линейной функции может быть как множество всех чисел, так и любое (непустое) его подмножество.

4. Задачи на распознавание линейной функции в функциях, заданных различными способами (не с помощью формул).

2. Подберите задачи практического содержания, для решения которых использовалась бы формула у = кх + в. Разработайте методику решения таких задач и раскрытия в них конкретного смысла коэффициентов кив.

3. Подберите задачи на усвоение геометрического смысла коэффициентов кив.

4. Составьте беседу для учащихся 9 класса по обоснованию доказательства того факта, что графиком линейной функции является прямая или некоторое подмножество прямой, опираясь на знания учащимися курса геометрии.

Учебное издание

Нина Михайловна Епифанова

Ольга Павловна Шарова

Методика обучения алгебре основной школы

(Материалы к лекционным занятиям)

Учебно-методическое пособие

Редактор М.А. Кротова

Подписано в печать26.02.2006. Форма 60 х92/16.

Объём 4 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №______.

Издательство Ярославского государственного

педагогического университета

имени К.Д. Ушинского (ЯГПУ)