3.3. Методика изучения дробных чисел

Основным источником получения дробных чисел является практическая деятельность (дробь, как результат измерения, результат деления целого на равные части, как частное от деления целого числа на другое натуральное число). В учебнике Н.Я. Виленкина приводятся все три способа получения дробных чисел.

Первое знакомство учащихся с обыкновенными дробями происходит в 3 классе параллельно с изучением натуральных чисел. В 5 классе начинается систематическое изучение дробей. Десятичные дроби для учащихся не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000, так как в математических расчетах и при проведении практических работ наиболее удобны десятичные числа.

В методике математики существует проблема порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей.

Возможные подходы к ее решению:

- сначала изучаются десятичные дроби, а потом – обыкновенные;

- сначала изучаются обыкновенные дроби;

- смешанный вариант изучения дробей.

В существующих учебниках придерживаются третьего варианта.

Порядок изучения дробей

5 класс	6 класс
Обыкновенные дроби	Обыкновенные дроби
Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями	Сравнение дробей
Десятичные дроби	Арифметические действия с дробями
Четыре действия с десятичными дробями	Процент (по сути, изучение дес. дробей)

Важным элементом методики изучения дробных чисел является убеждение учащихся в целесообразности их введения.

Возможность записи «доли» с помощью обыкновенных дробей является одним из приемов убеждения учащихся в полезности таких дробей.

Вторым приемом является тот факт, что с их помощью операция деления натуральных чисел делается всегда выполнимой.

Третий прием связан с измерением величин.

Тенденция на усиление роли теоретического обоснования имеет место и при изучении темы «Дроби».

3.3.1. Обыкновенные дроби

Методика введения обыкновенных дробей

В соответствии с программой по математике в начальной школе у учащихся должно быть сформировано понятие «доля». С помощью этого понятия у учащихся формируется понятие «обыкновенная дробь». Понятие «дробь» в учебнике Н.Я. Виленкина вводится на примере разрезания арбуза и деления отрезка на части, а в учебнике Дорофеева на примере разрезания торта. Оговаривается, что 1/2 это - половина,1/3 это - треть, 1/4 это - четверть.

В учебнике 3 класса записано: «Говорят, на первой тарелке лежит четвертая часть пирога, и пишут ¼ пирога; ¾ пирога. Такие числа, как 1/4, ¾ называются обыкновенными дробями. В дроби ¾ число 3 называют числителем дроби, а 4 – знаменателем дроби.»

Характеристика дроби всегда начинается со знаменателя. «Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделен предмет, а числитель показывает, сколько таких частей надо взять».

Дается четкое определение дробных чисел. Обращается внимание на тот факт, что «две равные дроби – это различные обозначения одного и того же дробного числа, например, ½ = 2/4».

В 5 классе происходит лишь знакомство учащихся с обыкновенными дробями, их изучение продолжается в 6 классе.

Основное содержание учебников «Математика - 5»

Н.Я. Виленкин Определение Записи вида 5/8 называют обыкновенными дробями. В дроби 5/8 число 5 называют числителем дроби, число 8 знаменателем дроби.	Г.В. Дорофеев Определение Специальную “двухэтажную запись” 2/3 называют дробью, где 2 - числитель, а 3 – знаменатель.
Знаменатель показывает, на сколько долей делят, числитель сколько таких долей взято. Числитель дроби пишут над чертой знаменатель под чертой.	Вводится определение правильных и неправильных дробей, но учащихся не знакомят с алгоритмом перевода смешанного числа в неправильную дробь и алгоритмом выделения целой части.
Дроби можно изображать на координатном луче.	Дроби можно изображать на координатном луче.

В учебниках много заданий типа: Какая часть фигуры закрашена?	Закрасьте 5/6 фигуры, 3/5
Сколько сантиметров в 2/5метра? Сколько минут в 1/5 часа? Какаю часть составляют 10гр от килограмма? Какие числа на координатной прямой соответствуют точкам …? Отметьте точки … … … на координатном луче

Из 30 дней 2/5 были дождливыми, сколько было солнечных дней …?

Восстановите запись */4=2/8.

Приведите дроби 2/7 , 3/28, 1/14 к знаменателю 56.

Выразите в метрах 30 см, 10мм, 140см …

Какая из точек лежит левее на координатном луче?

Сравните дроби … и т.д.

Приводятся образцы правильного чтения дробей и алгоритма правильного решения задачи (например, 876 на стр197)	Чем больше частей, тем меньше доля.
Равные дроби 2/4 = 1/2	Равные дроби 2/4 = 1/2
На координатном луче равные дроби соответствуют одной точке. Две равные дроби обозначают одно и тоже дробное число.
Нет основного свойства дроби. Дробные числа с одинаковыми знаменателями можно сравнивать, складывать, вычитать и делить. - Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель и больше та у которой числитель больше. - Точка на координатном луче, имеющая меньшую координату лежит слева от точки имеющей большую координату. (Есть упражнение на правильное чтение неравенств.) Правильные и неправильные дроби. Объясняется, что если числитель равен знаменателю, число равно 1(8/8=1) Пример с пирогом ( 2 пирога разрезаны на 8 частей каждый. Взяли целый пирог и еще 3 части получили 11/8) С учащимися отрабатывается тот факт, что правильная дробь <1, а неправильная1.	Основное свойство дроби: - Если числитель и знаменатель умножить на одно и тоже число отличное от нуля, то получится дробь равная данной. (Есть запись правила с помощью букв.) - На координатном луче равные дроби соответствуют одной точке. Приводя дробь к новому знаменателю, говорят о дополнительном множителе. Вводится правило сокращения дроби. Вводится определение несократимой дроби. Сравнение дробей. - Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель и больше та у которой числитель больше. - Если дроби с разными знаменателями их приводят к общему (наименьшему) знаменателю и потом сравнивают.

Вводится определение Сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. (Учащимся объясняется, что если знаменатели разные, доли тоже разные, поэтому складывать и вычитать их мы не можем.) Не вводится правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Учащихся знакомят с буквенной записью правил a/b+c/b=a+c/d. Деление и дроби. (Знак деления можно заменить дробной чертой.) Смешанные числа. Сложение смешанных чисел.

Натуральные числа и дроби. Дробное число. (Знак деления можно заменить дробной чертой.) Сложение вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. - Если дроби с разными знаменателями их приводят к общему (наименьшему) знаменателю и потом складывают. Смешанные числа. Сложение смешанных чисел

Методическая схема введения понятия «обыкновенная дробь»

-Выполнить материализованные действия по делению предмета на 4 равные части.

- Сообщить термины: «одна четвертая», «три четвертых»…

- Ввести запись: ¾, ¼…

- Ввести термины «обыкновенная дробь», «числитель, знаменатель дроби».

- Дать содержательную характеристику дроби (что показывает знаменатель дроби, числитель дроби).

- Привести примеры дробей.

Особую трудность технического характера представляют собой операции сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями, так как при сложении или вычитании дробей ребенок должен выполнить следующие логических операции:

-проанализировать знаменатели;

-если они неравные, то найти наименьший общий знаменатель;

-найти дополнительные множители;

-привести дроби к общему знаменателю;

-сложить или вычесть числители;

-сократить, если возможно; выделить целую часть.

В учебнике Н.Я. Виленкина эти трудности распределяются на два года. В 5 классе рассматривается сожжение и вычитание дробей только с одинаковыми знаменателями, а в 6 классе - с разными знаменателями.

Наиболее сложным в методическом плане является введение понятия «умножение дробей» в 6 классе. Наиболее удачное его рассмотрение дано в учебнике Н.Я. Виленкина. На данном этапе обучения учитель имеет возможность обосновать законы умножения и их справедливость на множестве дробей.

Пример Почему переместительный закон умножения справедлив на множестве дробей? а/в * с/к = ас/вк = са/кв = с/к а/в.В основе доказательства лежит правило умножения натуральных чисел.