4.4. Доказательство тождеств

В процессе обучения у учащихся должны быть сформированы навыки до­казательства тождеств следующими способами.

Если надо доказать, что А=В, то можно

1. доказать, что А - В = О,

2.доказать, что А/В = 1,

3. преобразовать А к виду В,

4. преобразовать В к виду А,

5. преобразовать А и В к одному виду С.

В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, исполь­зуются свойства арифметических операций. Иногда в доказательстве привлека­ются геометрические понятия и методы. Геометрические доказательства не только поучительны и наглядны, но и способствуют усилению межпредметных связей.

Доказательства тождеств можно разделить на три типа в зависимости от того, насколько они удовлетворяют требованиям строгости:

а) Не полностью строгие рассуждения, требующие использования метода математической индукции для придания им полной строгости. Эти доказательства применяются для вывода правила действий с многочленами, свойств степе­ней с натуральными показателями. Например,

а^ка^р = (а ·а·······а) (а ·а········а) = а ·а········а = а^к+р

к раз р раз к+р раз

б) Полностью строгие рассуждения, опирающиеся на основные свойства арифметических действий и не использующие других свойств числовой системы. Основная область применения таких доказательств - тождества сокращенного ум­ножения. Многие из утверждений, выражаемых формулами сокращенного умно­жжения, допускают наглядно-геометрическую иллюстрацию.

Пример Для тождества учитель может предложить следующую иллюстрацию:

	a	b	c
a	a^2	ab	ac
b	ab	b^2	bc
c	ac	bc	c^2

в) Полностью строгие рассуждения, использующие условия разрешимости уравнений вида Ψ(х) = а, где Ψ - изучаемая элементарная функция. Такие доказа­тельства характерны для вывода свойств степени с рациональным показателем и логарифмической функции. Например, при доказательстве свойства арифметиче­ского корня

(1)

будем опираться на переформулировку определения арифметического квадратного корня: для неотрицательных чисел х и у равенства у = и

у² = х равносильны, поэтому (1) равносильно ()² = ()² (2). Откуда следует, а в = ()²()² = а в.

Прием доказательства, который здесь использовался, применяется довольно редко, тем не менее, необходимо подчеркнуть, что основная идея доказательства состоит в сопоставлении двух операций (или функций) - прямой и обратной к ней, что найдет применение уже в старшей школе.

Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов

тождественных преобразований выражений в основной школе

Линия	Алгоритм и приемы вычислений
Целые выражения Виды целых выражений (одночлен, многочлен), их степень, стандартный вид, частные случаи, формулы сокращенного умножения. Действия с целыми выражениями: разложение многочлена на множители; выделение полного квадрата в трехчлене.	1. Алгоритмы выполнения основных действий с целыми выражениями. 2. Приемы разложения многочлена на множители. 3. Специальный прием выделения полного квадрата в трехчлене. 4. Обобщенный прием упрощения целого выражения. 5. Приемы доказательства тождества.
Рациональные выражения Основное свойство дробного выражения и следствия из него. Сокращение дробных выражений. Действия с рациональными выражениями.	6. Приемы записи преобразований рациональных выражений. 7. Приемы использования аналогии с действиями над рациональными числами в общих и частных случаях. 8. Обобщение приемов 4 и 5.
Иррациональные выражения Основное свойство корня, простейшие преобразования корней. Действия с корнями, возведение выражения в степень с дробным показателем.	9. Специальные приемы основных преобразований арифметических корней. 10.Приемы преобразования выражений со степенями с рациональным показателем. 11.Прием доказательства неравенств. 12.Обобщение приемов 2, 4, 5 и 11.

Задание к лекции

Проанализировав школьные учебники составить таблицу тождественных равенств с указанием множества, на котором оно выполняется.

Пример, М₁– те х , для которых имеет смыслf(x).