Тема 5. Методика изучения уравнений в основной школе

При изучении линии уравнений с учащимися рассматриваются следующие вопросы:

-формирование понятий;

-взаимосвязь изучаемых понятий с другими линиями курса;

-общие и частные методы решения уравнений.

В процессе обучения раскрываются:

- прикладная направленность линии уравнений (при решении текстовых за­дач; в геометрии - при использовании метода координат; при построении моделей различных процессов и т. д.);

- теоретическая направленность (при изучении наиболее важных классов уравнений, изучении обобщенных понятий и методов и т. д.);

- направленность на установление связей с основными темами курса. Ли­ния уравнений тесно связана с числовой и функциональной линиями. Они до­полняют и обогащают друг друга. Так, например, потребность в решении нового клас­са уравнений способствовала введению нового числового множества и наоборот.

5.1. Различные трактовки общего понятия «уравнение»

В школьных учебниках встречаются следующие определения понятия «уравнение»:

1) Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

2) Равенство с переменной называется уравнением, если надо найти значе­ния переменной, при которых оно верно.

3) Равенство с переменной называется уравнением.

4) Равенство двух функций, g(x) = f(x), заданных на общей области их оп­ределения, называется уравнением.

5) Уравнение - это высказывательная форма (предикат) вида

а(х) = в(х)

Методические замечания

1 Правомерно говорить не о правильности или неправильности той или иной трактовки понятия «уравнение», а о педагогической целесооб­разности использования в данном классе той или иной трактовки.

2. В различных определениях используется переменная или неизвестное число. Переменная величина пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них. Неизвестное число представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому удобно в текстовых задачах).

3. Родовое понятие для всех этих определений -равенство. Но известно еще одно понятие, которое определяется как особый вид равенства - это тождество, школьное определение которого – равенство, верное при всех допусти­мых значениях переменной.

В связи с этим, в методической литературе встречаются различные точки зрения на связь между двумя понятиями.

1-я точка зрения: уравнение – частный случай тождества (Тождество – это равенство, верное при всех …, а уравнение – это равенство, верное не при всех …)

2-я точка зрения: тождество - частный случай уравнения (Тождество – это уравнение, множество решений которого все допустимые значения переменной; тогда линейное уравнение ах = в при а = 0 и в = 0 становится тождеством)

3-я точка зрения: уравнение и тождество - независимые понятия.

Правомерна лишь третья точка зрения, что обосновывается правильным, с позиции математической логики, пониманием знака равенства. В тождестве равенство - это синоним отношения эквивалентности со всеми его свойствами: рефлексивности, симметричностью и транзитивностью. В силу последнего свойства в тождественных преобразованиях мы пишем цепочку равенств, поэтому для обозначения тождества иногда используют специальный знак: «»

В уравнении равенство - это синтаксическое образование, которое может быть либо истинным, либо ложным, то есть можно говорить об условном равенстве, так как уравнение - это суждение о равенстве 2-х функций, а суждение может быть либо истинным, либо ложным. Поэтому в уравнениях запрещаются преобразования цепочкой и недопустима запись х_1,2 = (-в± )/2а.