7.2. Проблемы, возникающие при изучении темы «Функция»

1. Определение функциональной зависимости

Необходимо акцентировать внимание учащихся на роли букв у, х, f, то есть на том, что буква f в отличие от букв у и х обозначает не переменную величину, а то правило (закон), по которому устанавливается соответствие между у и х. Символ f называют характеристикой функции. Если функция задана формулой у = х² – 3х, то роль f играет следующие утверждение:

«Чтобы получить значение у, зная значение х, нужно из квадрата числа х вычесть утроенное это число».

Целесообразно рассмотреть следующие упражнения:

1.Объясните смысл букв у , х, f в записи: у = f(x).

2.у = 2х³. Каков закон образования этой функции? Что в ее записи играет роль знака f ?

3.Укажите законы образования функций: у = 5х, у = 3, у = .

2. Способы задания функции

а) Зачастую функция отождествляется учащимися с формулой, которая описывает ее. Следует отметить, что

- не всякая формула задает функцию (например, у = log₂x – log₂(-x)…);

- некоторые функции невозможно задать формулой (например, функцию Дирихле):

у =

- функция может быть задана сразу несколькими формулами:

, 1х2

у = 1 + х, 2<x<10,

sinx, x10.

Учащиеся должны усвоить, что формула – это не сама функция, а лишь один из способов ее задания.

в) В учебнике понятие графика функции вводится после повторения координатной плоскости (С.М. Никольский, Г.В. Дорофеев, А.Г. Мордкович). В учебниках Ш.А. Алимова, С.А. Теляковского – сразу после определения функции.

Определение. Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а координаты – соответствующим значениям функции.

Для правильного усвоения учащимися понятий «функция» и «график функции» полезно рассмотреть так называемые кусочные функции, которые в большинстве случаев являются моделями реальных процессов и способствуют преодолению заблуждения учеников, отождествляющих функцию с ее аналитическим выражением.

Некоторые методические указания по изучению темы

«График функции» (Алгебра – 8 Г.В. Дорофеев)

5.1 Чтение графиков

С графиками реальных процессов учащиеся работали в 6 классе, поэтому рассматриваемый в параграфе материал в какой–то степени им известен. Но учеников необходимо познакомить с некоторыми новыми графическими характеристиками – сравнением скоростей протекающих процессов и вычислением этих скоростей, определением максимальных и минимальных значений. Больше внимания необходимо уделить самостоятельному построению учащимися графиков.

В объяснительном тексте представлены три примера. Первый – график роста ребенка – позволяет повторить известный из курса 6 класса материал и продемонстрировать учащимся, как на графике отражается изменение скорости роста. Разбирая этот пример, учителю следует обратить внимание учащихся на разные масштабы по осям.

Два других примера демонстрируют возможность представления на одном чертеже сразу нескольких графиков: изменения веса двух детей, бега трех спортсменов.

Необходимо научить школьников извлекать из графиков самую разнообразную информацию, причем не только количественную.

5.3 График функции

Теоретический материал разделен на два фрагмента.

Первый – это введение новых обозначений для числовых промежутков, которые уже рассматривались в 6 классе и задавались с помощью неравенств: отрезок, луч, интервал.

Второй фрагмент – это собственно материал, связанный с графиками функций. Рассматриваемые две задачи являются центральными на данном этапе изучения материала.

Первая – это нахождение с помощью графика значения функции, соответствующего заданному значению аргумента, а также значений аргумента, которым соответствует данное значение функции.

Вторая – построение графиков функций по точкам. Пример, рассматриваемый в заключении, помогает учащимся уяснить, что не всякое уравнение или график задают функцию.

В ходе выполнения упражнений школьники учатся по–разному описывать графическую ситуацию, используя геометрический, алгебраический, функциональный языки.

с) Учащиеся зачастую не допускают мысли, что одна и та же функция может быть задана различными способами: аналитически (формулой), графически (когда график строит прибор или человек по наблюдениям), таблично (важно, чтобы были перечислены все соответствующие пары чисел), описательно (например, в учебнике А.Г. Мордковича на это обращается специальное внимание при задании функции у = , а в учебнике С.А. Теляковского – только в задачном материале:«Каждому натуральному числу n ставится в соответствие остаток r от деления этого числа на 4. Найдите область определения и множество значений этих функций.»)

Разные способы задания функции обладают своими недостатками и преимуществами. Так, если функция задана аналитически, удобно находить ее значение при любом значении аргумента из области определения, исследовать ее свойства, но при этом отсутствует наглядность, которую дает графический способ. Последний, в свою очередь, имеет существенный недостаток – приблизительность в нахождении значений функции. Табличный метод избавляет от вычислений, но он тоже не нагляден.

Следует пояснить учащимся, что функцию можно задать и просто описанием: например, каждому числу х поставить в соответствие его целую часть, то есть у = ¹².

d) Учащиеся «не видят» функцию, если она задана неявно, то есть если ее связь с аргументом задана с помощью уравнения (например, 3х – у + 1 = 0, ху = 5…).

е) Необходимо обратить внимание учащихся на различие области определения абстрактной функции и функции, полученной из конкретной задачи. (Например, у = х³,хR – абстрактная функция, у = а³, a 0 – функция из задачи про объем куба.) Для этого целесообразно предлагать учащимся задания на построение графиков на заданной области определения. Задания данного вида присутствуют только в учебнике А.Г. Мордковича. Например.Построить график функции у = f(x), где у = ,…, где х, х…

Полезно не ограничиваться одним типом упражнений «Найти область определения функции», а предложить выполнить творческие задания: «Построить функцию по заданной области определения».

Например. Построить функцию с областью определения Х:

1.х=(-;1)(1;) 2. х= (-; 0) 3.х=. Ответ: 1.; 2.; 3.

3. Область определения и область изменения (значений) функции

Нередко учащиеся не видят разницы между областью определения функции и областью значений х, для которых имеет смысл аналитическое выражение, задающее функцию. Конечно, область определения функции не может быть шире области определения выражения, задающего функцию, но может быть уже.

Например, область определения выражения у = 2х² – 1, есть промежуток D (у) = (), но в упражнении может быть задана функцияу = 2х² – 1 при х. Областью определения такой функции будетD(у) = , а если задан другой промежуток изменениях, то, строго говоря, и функция будет уже другой. Возможно, более логичным было бы, различая эти два понятия, говорить об области существования функции, имея в виду область определения аналитического выражения, задающего функцию.

Что касается области значений функции, то учащиеся хорошо понимают, что это такое, но при нахождении ее сталкиваются со значительными сложностями. Например: Найдите область значений функции

у = , у =

4. Обратная и сложная функции

Понятия обратной и сложной функций целесообразно ввести с определением функции, а не в 9 11 классах, когда учащиеся воспринимают его как нечто очень сложное. Разумеется, целесообразно не вводить строгие определения, а работать следующим образом:

- дать только начальные понятия;

- выработать умение изображать по данной функции функцию, обратную ей;

- сформировать первичный навык построения сложной функции.

а) Желательно составить с учащимися таблицу функций и функций, обратных им, изображая их графики (попутно делая выводы о симметричности графиков относительно прямой у = х.)

Исходная функция	Область определения исходной функции	Обратная функция	Область определения обратной функции	Графики
У = х^2	0 х<	У =	0 х<	……….
…
…

в) Понятие «операция» на множестве функций в учебниках не вводится, хотя и используется: у = х + , у =. Полезно обсудить с учащимися, из каких функций и с помощью каких операций получилась рассматриваемая функция, прежде чем выполнить задание на нахождение области ее определения. В качестве пропедевтики понятия «композиция функции» можно рассмотреть пример у =и показать, «как получилась функция от функции».