OTIP

с погрешностью 2 % при kΣ ≥1,9 ; 4 % при 1,8 ≤ k <1,9; 10 % при 1,5 ≤ k <1,8 и 15 % при 1,11 ≤ k <1,8 описываются соотношением

kΣ = kн − p1,4(5,7−k ) [0,14 + 0,4(kн − k)2 ],

где p – вес составляющей с энтропийным коэффициентом k.

8.3.Методика расчета результирующей погрешности

спроизвольным значением доверительной вероятности

Всоответствии с рассматриваемой методикой следует выполнить действия:

1.Для каждой из суммируемых составляющих найти оценки СКО σ(x) , σ( y)

иоценки эксцессов ε(x), ε( y) .

2.Вычислить

σΣ = σ2 (x) + σ2 ( y) .

3.Определить вес дисперсии одной из составляющих

p = σ2 (x)(σ2 (x) + σ2 ( y)). 4. Найти оценку εΣ суммарной погрешности

εΣ = ε(x) p2 + 6 p(1 − p) + ε( y)(1 − p)2 .

(8.2)

5. Если суммируемых составляющих больше двух, то суммирование СКО и определение εΣ производится последовательно – первой со второй, затем

полученной с третьей, вновь полученной с четвертой и т. д. Таким образом могут быть определены расчетные значения σΣ и εΣ при суммировании любого числа

составляющих.

6.Определить к какому классу относится распределение результирующей погрешности.

7.Рассчитать значение квантильного множителя tΣ для заданной

доверительной вероятности Pд, используя следующие аппроксимирующие

формулы:

– для экспоненциальных, трапецеидальных распределений и распределений Стьюдента при n > 8

t =1,62[3,8(ε −1,6)2 3 ]lg lg[1 (1−Pд )] ,

(8.3)

погрешность вычислений не превосходит 4 % для 0,9 ≤ Pд ≤ 0,99 и 8 % для

0,99 ≤ Pд ≤ 0,999 ;

– для кругловершинных двухмодальных распределений, представляющих собой композицию нормального и двузначного дискретного распределений,

t =1,6{3,6[1 + lg(ε −1)]}lg lg[1(1−Pд )] ,

погрешность вычислений не превосходит 10 % для 0,9 ≤ Pд ≤ 0,999 и 1,3 ≤ ε ≤ 3;

101

– для островершинных двухмодальных распределений, образующихся как композиция распределения Лапласа и дискретного двузначного распределения,

	t =1,23	1 +	ε −1 lg	0,175		,
				1 − P
			2,5
				д

погрешность вычислений не превосходит 5 % для 0,9 ≤ Pд ≤ 0,999 и 1,8 ≤ ε ≤ 6 ;

– для распределений класса шапо, образующихся как композиция экспоненциального распределения с α = 0,5 и равномерного распределения,

t =1,56[1,12 + (ε −1,8)0,58 10]lg[0,1(1−Pд )] ,

погрешность вычислений не превосходит 8 % при 1,8 ≤ ε ≤ 6 .

Замечание. Для выбора нужной формулы для вычисления квантильного множителя t необходимо знать вид класса распределения погрешности. Однако полученное расчетом значение эксцесса εΣ не определяет однозначно вид закона

распределения.

8. Вычислить значение результирующей погрешности, соответствующее заданному значению доверительной вероятности

д = tΣσΣ .

Возможные упрощения методики суммирования погрешности. Наиболее трудными моментами методики суммирования погрешностей являются нахождение СКО всех составляющих по известным их интервальным оценкам и определение интервальной оценки результирующей погрешности по полученному в результате расчета ее СКО, так как для этого необходимо знание формы закона распределения. Поэтому упрощение методики сводится к использованию упрощенных методов перехода от СКО результирующей погрешности к интервальной оценке результирующей погрешности.

• Один из возможных методов такого упрощения основывается на том, что при суммировании большого числа составляющих закон распределения результирующей погрешности все более и более приближается к нормальному.

Методика такого суммирования до момента расчета оценок в начале и в конце диапазона измерений не отличается от описанной выше, однако переход от σΣ к д будет выполняться по формуле

д = tнσΣ,

где tн – квантильный множитель, определяемый по приведенным в

учебниках по теории вероятностей таблицам квантилей нормального распределения или по приближенной формуле (8.3), полагая ε = 3.

Такой прием существенно уменьшает трудоемкость расчетного суммирования погрешностей, но может вносить существенные ошибки, если фактическое распределение погрешности далеко от нормального.

102

• В качестве другого пути упрощения перехода σΣ к д следует указать возможность использования для результирующей погрешности значения

доверительной вероятности		Pд = 0,9 , при котором для большой группы
классов различных распределений сохраняется постоянным соотношение
		0,9	σ =1,6 .
Если суммируемые составляющие заданы своими значениями					0,9i , то
σi = 0,9i	n	0,9Σ =1,6σΣ или просто
	1,6 ; σΣ = ∑σi2 и
	i=1
		0,9Σ =	n
			∑ 20,9i .
			i=1
Итак, предпочтительным значением доверительной вероятности при
нормировании случайных погрешностей является Pд = 0,9 , тем более, что
оценка	0,9 определяется	по экспериментальным		данным с	гораздо
большей точностью, чем, например,			0,97 или 0,99 .
Используя доверительные границы ±			д погрешности,	необходимо иметь в

виду следующее. Эти границы располагаются симметрично лишь при отсутствии у прибора или измерительного канала систематической составляющей погрешности θ. Если θ ≠ 0 , то границы погрешности оказываются несимметричными. Например, если д = ±0,4 % , а θ = +0,1 %, то одна граница оказывается равной

0,1 – 0,4 = –0,3 %, а другая 0,1 + 0,4 = +0,5 %. Знак погрешности θ чаще всего неизвестен, поэтому ввести поправку невозможно. Пользоваться при расчетах несимметричными границами погрешностей крайне неудобно. Поэтому на практике вместо использования несимметричных границ переходят к указанию симметричных границ, равных по модулю большей из несимметричных, т. е. вместо указания «погрешность находится в пределах от –0,3 % до +0,5 %» переходят к указанию «погрешность находится в пределах ± 0,5 % ».

Дальнейшее упрощение методики суммирования: пренебрежение делением погрешности на коррелированные и некоррелированные или подразделением на аддитивные и мультипликативные, недопустимы, так как они могут привести к существенно ошибочным результатам.

8.4. Пример расчета погрешности измерительного канала

Пусть требуется рассчитать результирующую погрешность измерительного канала, состоящего из трех узлов: реостатного датчика Д, усилителя У и регистратора (рис.8.2).

Постановка задачи. Погрешность реостатного датчика с сопротивлением Rд = 200 Ом нормирована в его паспорте максимальным значением приведенной

103

Блок

погрешности 0,15 %, пре-

Перфоратор

дполагается,

что погреш-

питания

ность аддитивна.

Датчик

питается

напряжением

Стабилизатор

Транскриптор

200 мВ через стабилизатор

напряжения

напряжения

с

коэффи-

циентом

стабилизации

Д

9 ЦВ

K = 25 от общего с усили-

У

9

9

телем стандартного неста-

Цех

АР

билизированного

блока

питания.

Усилитель У,

выпол-

Лаборатория

неный в виде эмиттерного

Рис. 8.2. Схема измерительного канала

повторителя, предназначен

для обеспечения

линей-

ности характеристики всего канала, поэтому имеет входное сопротивление, много большее сопротивления датчика. Коэффициент влияния напряжения U его питания на коэффициент усиления равен

ψU у = +0,3 %(10 % U U ) ,

влияние температуры приводит к смещению его нуля на

ψΘу = +0,2 %10 K .

Вкачестве регистратора использован электронный самопишущий автоматический потенциометр класса точности 0,5 с записью регистрируемого процесса на бумажную ленту. Время прохода регистратором всей шкалы составляет 0,5 с. Изменение температуры вызывает смещение нуля регистратора на

ψΘрег = −0,1 %10 K .

Параллельно с аналоговым регистратором (АР) (для последующей обработки данных эксперимента на компьютере) включен цифровой вольтметр (ЦВ) класса точности 0,20,1 с отсчетом трех десятичных знаков, к которому через

транскриптор подключен перфоратор, регистрирующий данные измерений с частотой 5 отсчетов в секунду.

Установка питается от сети 220 В, 50 Гц с нестабильностью напряжения

±15 % . Объект испытаний, на котором установлен датчик, находится в цехе, где

обычно поддерживается температурный режим ≈20 оС, но летом может достигать 35 оС, а зимой при открывании въездных ворот может падать до 5 оС, т. е. может изменяться в пределах ( 20 ±15) оС.

Усилитель и регистрирующая аппаратура установлены в лаборатории, где температура колеблется от 18 до 24 оС.

В качестве линии связи с датчиком используется стационарно проложенная в траншеях цеха проводка, каждая жила которой имеет сопротивление около 2 Ом. Напряжение наводки частотой 50 Гц, измеренное между заземленным проводом

104

линии и одной из изолированных жил с помощью электронного вольтметра с входным сопротивлением 1 МОм составляет 1,6 В.

При расчете результирующей погрешности канала прежде всего каждой из составляющих погрешности следует приписать соответствующий закон распределения, найти СКО и разделить погрешности на аддитивные и мультипликативные.

Условимся все расчеты как максимальных погрешностей, так и СКО вести в относительных приведенных значениях.

Погрешности датчика.

1. Основная погрешность датчика. Эта погрешность нормирована по паспорту максимальным значением

γдmax = 0,15 % .

Для того чтобы от этого значения перейти к СКО, необходимо знание вида закона распределения погрешности. Одной из составляющих погрешности датчика является погрешность дискретности, обусловленная конечным числом витков его обмотки, по которым скользит подвижный контакт. Эта погрешность имеет

равномерное распределение. Тогда	γдmax = 0,15 % является половиной ширины
этого распределения и СКО определяется как
σд = γдmax	3 = 0,15 3 = 0,087 % .
Для равномерного распределения	k =1,73, контрэксцесс κ = 0,745, эксцесс

ε=1,8.

2.Погрешность датчика от колебаний напряжения питания является мультипликативной и распределена по тому же закону, что и отклонения

напряжения сети от своего номинального значения 220 В. Распределение напряжения сети близко к треугольному с пределами ±15 % . Стабилизатор

снижает размах колебаний напряжения в K = 25 раз, т. е. на выходе стабилизатора распределение также треугольное, но с размахом 15 %25 = 0,6 % .

Поэтому максимальное значение этой погрешности

γU дmax = 0,6 % .

Среднее квадратическое отклонение для треугольного распределения

σ = γ 6 ,

поэтому

σU д = γU дmax 6 = 0,6 6 = 0,245 %.

Параметры этого распределения: k = 2,02 , κ = 0,65 , ε = 2,4.

3. Температурная погрешность датчика. В паспорте датчика температурная погрешность не указана, так как у датчика ее нет (коэффициент деления напряжения не зависит от температуры при одинаковых температурных

105

коэффициентах обоих сопротивлений делителя). Но в рассматриваемом случае датчик с Rд = 200 Ом включен последовательно с двумя жилами медной линии

сопротивлением в 2 Ом каждая. При изменении температуры в цехе, где проложена линия связи, в диапазоне ( 20 ±15) оС и температурном коэффициенте меди αΘ = + 4 %10 K изменение сопротивления каждой из жил составит

R = ΔΘαΘ R =15 010,04 2 =120 10−3 = 0,12 Ом.

что по отношению к Rд = 200 Ом составляет 0,06 %, т. е. величину, соизмеримую

с другими погрешностями.

Для перехода от вычисленного максимального значения этой погрешности

γΘдmax = 0,06 % ,

возникающего при предельных отклонениях температуры до 5 или 35 оС, к СКО необходимо знать закон распределения температуры в испытательном цехе. Известно, что в большинстве случаев температура в цехе близка к 20 оС и крайне редко достигает значений 5 и 35 оС. Примем совершенно эвристическое предположение, что она распределена нормально и 4 дня в году бывает ниже 5 оС и 4 дня в году – выше 35 оС, а остальные 365 – 8 = 357 дней, т. е. 357365 = 0,98

случаев, не выходит за эти пределы. Для нормального распределения вероятности P = 0,98 соответствуют границы в ± 2,3σ. Отсюда искомое значение СКО

σΘд = γΘдmax 2,3 = 0,062,3 = 0,026 % ,

а параметры закона распределения: k = 2,066, κ = 0,577 , ε = 3.

Погрешности усилителя.

4. Погрешность от наводки на линию связи – погрешность на входе усилителя.

При присоединении к линии электронного вольтметра с входным сопротивлением 1 МОм на его входе возникало падение напряжения 1,6 В, т. е. через него проходил ток

I =1,6106 =16 10−7 А.

При замыкании линии на датчик сопротивлением Rд = 200 Ом падение напряжения на нем от этого тока составит

U =16 10−7 200 = 3,2 10−4 = 0,32 мВ.

Таким образом, приведенная погрешность от наводки при максимальном сигнале с датчика, равном 200 мВ, будет

γнав = 0,32200 = 0,16 % .

Так как исходное значение наводки в 1,6 В было отсчитано по шкале вольтметра, т. е. являлось действующим (средним квадратическим) значением, то полученная оценка погрешности от наводки и есть ее СКО, т. е.

σнав = 0,16 % .

106

Ее максимальное значение

γнавmax = σ 2 = 0,16 2 = 0,225 % ,

а закон распределения – арксинусоидальный. Следовательно, энтропийный коэффициент этого распределения k =1,11, контрэксцесс κ = 0,816, эксцесс

ε =1,5.

Погрешность, возникающая от наводки посторонних напряжений на вход измерительного канала, как правило, является аддитивной, так как не зависит от величины измеряемого сигнала. Но данный конкретный случай является исключением. Здесь, как видно из схемы рис. 8.2, сопротивление, на которое замкнут вход измерительного усилителя, есть сопротивление нижней части реостатного датчика. При входной измеряемой величине, равной нулю, это сопротивление также равно нулю. Поэтому напряжение наводки возрастает линейно с ростом входного сигнала, т. е. в данном случае погрешность от наводки оказывается мультипликативной.

5. Погрешность коэффициента усиления усилителя является мультипликативной и распределена по треугольному закону, так как вызывается колебаниями напряжения питания. Ее максимальное значение при ψU у = +0,3 %(10 % U U ) составляет

γU уmax = ψU у 15 % = 0,03 15 % = 0,45 % ,

а СКО

σU у = 0,45 6 = 0,184 % .

Параметры распределения: k = 2,02 , κ = 0,65 , ε = 2,4.

6. Погрешность смещения нуля усилителя при колебании температуры

является аддитивной, закон ее распределения повторяет закон распределения температуры в лаборатории, где установлен усилитель и регистраторы. Закон распределения температуры в лаборатории в пределах от 18 до 24 оС можно считать равномерным со средним значением 21 оС и размахом ±3 оС (±3 K). Максимальное значение этой погрешности при ψΘу = + 0,2 %10 K составляет

γΘуmax = ψΘу 3 K = 0,02 3 K = 0,06 % ,

а СКО

σΘу = 0,06 3 = 0,034 % .

Параметры распределения: k =1,73, κ = 0,745, ε =1,8.

Погрешности аналогового регистратора.

7. Основная погрешность аналогового регистратора определяется его классом точности. Однако в отличие от датчиков, погрешность которых нормируется без запаса на старение, погрешность всех электроизмерительных приборов согласно стандарту нормируется с 25%-ным запасом на старение, т. е.

107

фактическая погрешность нового прибора составляет не больше чем 0,8γкл. Если прибор уже ремонтировался, то его погрешность 0,4γкл. Благодаря этому приборам обеспечивается большой межремонтный срок службы, пока их погрешность возрастает от 0,4γкл до γкл. В среднем погрешность находящихся в эксплуатации приборов составляет 0,7γкл.

Предположим, что в рассматриваемом случае используется новый регистратор, и при классе точности 0,5 его погрешность составляет не более

γрегmax = 0,8 0,5 = 0,4 % .

Погрешность потенциометра определяется прежде всего погрешностью реохорда, поэтому она аддитивна, а закон ее распределения, как и у реостатного датчика, равномерный с шириной ±0,4 %. Тогда СКО этой погрешности

σрег = 0,4 3 = 0,23 % .

Параметры распределения: k =1,73, κ = 0,745, ε =1,8.

8. Температурная погрешность регистратора является аддитивной и проявляется в виде смещения нуля на ψΘрег = − 0,1 %10 K . Максимальное

значение погрешности при принятом выше равномерном законе распределения температуры шириной ±3 оС (±3 K) составляет

γΘрегmax = ψΘрег 3 K = 0,01 3 K = 0,03 % ,

ее СКО

σΘрег = 0,03 3 = 0,017 % .

Параметры распределения: k =1,73, κ = 0,745, ε =1,8.

Погрешности цифрового вольтметра.

9. Погрешность цифрового вольтметра (ЦВ) нормирована двучленной формулой. Ее приведенное значение равно 0,1 % при x = 0 и линейно возрастает до 0,2 % в конце шкалы. При использовании в канале измерения ЦВ часто возникает следующая ситуация. Максимальный сигнал датчика в данном случае равен 200 мВ. При номинальном коэффициенте усиления усилителя, равном единице, выходное напряжение также равно 200 мВ. Пределы измерений цифровых приборов, как правило, кратны 10 и имеют значения: 100, 10 и 1 В. В рассматриваемом канале измерений используется прибор с пределом измерения 1 В. Он обеспечивает удобный отсчет измерений величины непосредственно в милливольтах, но расчет его погрешности в этом случае имеет некоторые особенности.

Особенность расчета погрешности состоит в том, что приведенное значение погрешности должно рассчитываться для предела измерений именно 200 мВ, в то время как приведенная погрешность ЦВ дана для предела измерений 1000 мВ. Для этого должна быть вычислена абсолютная погрешность ЦВ в точках начала и конца нового диапазона и отнесена к его концу.

108

Абсолютная погрешность при x = 0 ЦВ класса cd

	0 =		d	X к ЦВ =		0,1	1000 =1 мВ,
		100			100

а ее приведенное значение к пределу измерений X к кан данного канала

γн ЦВ =1 мВ200 мВ= 0,5 % .

Абсолютная погрешность ЦВ при x = 200 мВ

200	= 0	+	с − d x =1 +	0,2 − 0,1	200 =1,2 мВ,
			100	100

а ее приведенное значение к пределу измерений канала

	γк ЦВ =	200	=	1,2 мВ	= 0,6 % .
		X к кан		200 мВ

Таким образом, неполное использование диапазона ЦВ приводит к существенному возрастанию приведенной погрешности измерений с 0,2/0,1 до 0,6/0,5.

Распределение данной погрешности является композицией равномерного и

экспоненциального с показателем степени α = 0,5 ( p(x) = 0,25e− x ) законов

распределения.

У высокоточных ЦВ с большим числом разрядов экспоненциальное распределение преобладает над равномерным, а у низкоточных – наоборот. Так, например, у ЦВ типа Ф203 дисперсия экспоненциальной составляющей равна от 2 до 13 % общей дисперсии. Поэтому при грубой оценке погрешности этой составляющей можно пренебречь и считать распределение близким к равномерному. Для более точного расчета погрешности дисперсию этой составляющей можно в среднем принять равной 8 % или 1/13 общей дисперсии.

Таким образом, если полагать распределение погрешности ЦВ равномерным, то СКО будет

σн ЦВ = 0,5 3 = 0,289 % ; σк ЦВ = 0,6 3 = 0,346 % .

При учете экспоненциальной составляющей погрешности ЦВ следует считать состоящей из двух частей: при x = 0

σ1н ЦВ = 0,2892 1213 = 0,278 % ,

σ2 н ЦВ = 0,2892 131 = 0,080 % ;

вконце диапазона измерений канала при x = 200 мВ

σ1к ЦВ = 0,3462 1213 = 0,332 % , σ2 к ЦВ = 0,3462 131 = 0,096 % .

109

Равномерное распределение ( σ1 ЦВ) имеет параметры k =1,73, κ = 0,745, ε =1,8. Параметры экспоненциального с α = 0,5 распределения ( σ2 ЦВ): k =1,35, κ = 0,2,

ε = 25,2 .

Итак, все составляющие погрешности разделены на аддитивные и мультипликативные, им приписаны законы распределения и вычислены СКО. Этот результат представлен на рис. 8.3, где буквами А и М в кружках отмечены соответственно аддитивные и мультипликативные погрешности.

Суммирование погрешностей.

Расчет результирующей погрешности канала сводится к вычислению приведенной погрешности при x = 0, которая складывается только из аддитивных составляющих, и в конце диапазона при x = 200 мВ, которая складывается из всех составляющих. Эти операции проделаем дважды: один раз – для канала с аналоговым регистратором, а другой раз – для канала с цифровым регистратором.

Сначала выделим коррелированные погрешности и просуммируем их алгебраически. Коррелированными являются те погрешности, которые вызываются одной и той же общей причиной, поэтому имеют одинаковую форму закона распределения, которая остается справедливой и для их алгебраической суммы.

Коррелированными являются погрешности 2 – датчика и 5 – усилителя от колебаний напряжения питания U, имеющие треугольный закон распределения. Установим их знаки. Коэффициент влияния на погрешность коэффициента

усилителя от колебаний	напряжения питания	является	положительным
(ψU у = +0,3 % (10 % U U ) ),	т. е. коэффициент	усиления	с увеличением

напряжения питания возрастает. Также положительным является коэффициент влияния на погрешность от колебаний напряжения питания датчика. Поэтому результирующее значение этих погрешностей равно их сумме

σ	= σ	+ σ	= 0,245	+ 0,184 = 0,429 ≈ 0,43 % ,
U д+у	U д	U у		( )

а закон распределения этой суммарной погрешности сохраняется треугольным. Погрешности от колебания температуры 3 – датчика и 6 – усилителя – это

некоррелированные погрешности, так как их вызывает не одна и та же температура, а разные – температура в цехе и температура в лаборатории.

Погрешности от колебания температуры 6 – усилителя и 8 – аналогового регистратора являются коррелированными погрешностями, так как их вызывает одна и та же температура в лаборатории. Температурная погрешность эмиттерного повторителя положительна ( ψΘу = + 0,2 %10 K ). Температурная

погрешность аналогового регистратора указана как отрицательная: ψΘрег = − 0,1 %10 K . Следовательно,

σΘ(у+рег) = σΘу − σΘрег = 0,034 − 0,017 = 0,017 % .

Итак, после учета корреляционных связей все полученные погрешности можно суммировать как независимые.

110