OTIP

R

r /2

r /2

Рис. 4.6. Характеристика линейного проволочного

0

x

потенциометра

Из-за принятого допущеения вносится методическая погрешность измерительного прибора

R = r1 2 ,

где r1 – сопротивление одного витка,

r1 = R0 W ,

R0 – общее сопротивление потенциометра; W – количество витков. Следовательно, приведенная методическая погрешность определяется по

формуле

γ =	R	=	1	.
	R
			2W
	0

41

5.ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

ИМЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА

5.1.Виды инструментальных погрешностей

Инструментальные погрешности можно разделить на погрешности, вызванные внешними возмущениями, материально-структурные, температурные, производ- ственно-технологические. Проведем анализ инструментальных погрешностей на основе математической модели погрешности измерительного прибора (2.4).

Погрешности от внешних возмущений вызываются силами и моментами,

действующими на неуравновешенные части прибора, влиянием электромагнитных и электростатических полей, перегрузок и вибраций. Математическим описанием этих погрешностей является первое слагаемое выражения (2.4)

		∂F		Nвв		∂F
y	вв	=		ξ = ∑				ξ	i	,
			∂ξ ξ=ξo
				i=1		∂ξi		ξi =ξio

где Nвв – количество помех, вызывающих погрешности. Погрешности, вызванные внешними возмущениями, можно уменьшить путем уравновешивания (балансировки), амортизации, экранирования.

Появление материально-структурных погрешностей обусловлено гистерезисом, паразитными ЭДС, наводками, трением в подвижных элементах, нагревом и другими факторами. Эти погрешности оцениваются пятым слагаемым в выражении (2.4)

			∂F	Nмс		∂F
y	мс	=		ν = ∑					ν	,
			∂ν ν=νo	i=1		∂νi ν		=ν	io
							i

где Nмс – количество влияющих факторов.

К основным способам уменьшения таких погрешностей относятся: выбор материалов с учетом их технологической и физической совместимости; уменьшение трения; выбор допустимых напряжений и нагрузок.

Пример 5.1. Исследовать влияние сил сухого трения на точность работы автоматических весов, предназначенных для сортировки изготовленных деталей по весу на несколько весовых категорий (рис. 5.1). Эти весы являются основ-

Рис. 5.1. Схема ным элементом контрольно-измерительного автоматических весов устройства, предназначенного для поднастройки

автоматических металлорежущих станков, изготовляющих детали с заданным весовым допуском. Динамический принцип взвешивания деталей позволяет

42

осуществить высокую производительность и точность работы контрольноизмерительного прибора, состоящего из пружины 1, платформы 2, соленоида 3 и фотоэлектрического элемента 4. Процесс измерения веса детали заключается в следующем: на неподвижную в начальном положении платформу устанавливают измеряемую деталь. Платформа снимается с упора посредством соленоида и совершает свободное колебание в течение одного периода, после чего вновь останавливается упором. Величина амплитуды колебаний, пропорциональная весу детали P, измеряется фотоэлектрическим элементом в виде электрических импульсов, подсчитываемых электронным счетчиком, при помощи которого осуществляется необходимая корректировка рабочих органов металлорежущего станка.

Уравнение движения идеальной системы имеет вид

m &y&o + c yo = P ,

где c – жесткость пружины.

При начальных условиях yo (0) = y&o (0) = 0 решением (5.1) будет

yo = Pc (1−cosωt).

Откуда

y&o = Pcωsin ωt ,

где

ω= cm .

(5.1)

(5.2)

(5.3)

Из (5.2) может быть найдена величина размаха колебаний yo* = 2Pc

итем самым найден путь, пройденный платформой в ее расчетном движении.

Сучетом малой силы сухого трения F уравнение движения системы запишется в виде

m(yo +	y)+ c(yo + y)+	F sign(yo +	y)= P .	(5.4)
&&	&&	&	&

Из (5.4) вычтем (5.1) и получим уравнение для описания дополнительного

движения системы	y + c y + F sign(yo +				y)= 0 .
m
	&&		&		&
С учетом (5.3) получим
&&	+ c y +		P ω	sin ωt +		&	= 0 .	(5.5)
m y		F sign	c			y

Решая уравнение (5.5.) можно найти y = f ( F) и, следовательно, погрешность в измерении веса изготовленной детали.

Температурные погрешности приводят к изменению линейных и угловых размеров, изменению физических свойств элементов измерительной цепи. Температура влияет на плотность рабочих сред в пневматических и

43

гидравлических измерительных приборах. В электромеханических приборах из-за изменения температуры меняются электрические сопротивления. Изменение температуры вызывает, например, коррозию деталей, что в свою очередь вызывает дополнительные погрешности.

Модель температурных погрешностей – четвертое слагаемое выражения (2.4):

	∂F ∂q			n	∂F	∂q	θ,	(5.6)
	yт =	∂q ∂θ		θ = ∑		i
					∂q
			θ=θo			∂θ
				i =1	i	θ=θo

где q – вектор параметров прибора с компонентами qi (i =1, n ); n – количество

параметров; θ – отклонение температуры от номинальной.

Имеет место зависимость, выражающая изменение номинальной величины qi

	параметра номер i от температуры θ:
		qi = (1+ αiθ)qi o ,						(5.7)
	где αi - температурный коэффициент (расширения, сжатия).
	Выражение (5.7) подставим в (5.6):
		n		∂F			α θ.
	y = ∑					q
				∂q
	т					i о	i
		i=1		i θ=θo

Введем обозначение температурного коэффициента прибора σ:

n	∂F
σ = ∑			q	α
	∂q
			i о		i
i =1	i θ=θo

и получим

yт = σ θ.

Таким образом, уменьшение температурных погрешностей достигается уменьшением температурных коэффициентов измерительных приборов.

Производственно-технологические погрешности (первичные погрешности).

Эти погрешности являются существенными, если параметры деталей участвуют в формировании передаточной функции измерительного прибора или определяют его работоспособность. Погрешность параметров деталей приводит к погрешности положения выходного звена измерительного прибора, появлению мертвого хода, изменению динамических характеристик.

Математическим описанием этих погрешностей является второе и третье слагаемые выражения (2.4)

∂F			∂F ∂q
yпт =			q +
	∂q q=qo			∂q ∂η η=ηo

η= ∑n ∂F

i=1 ∂qi qi =qi o

		Nпт	∂qi
	q	+ ∑
	i		∂η
		k =1	k η		=η
						k o
				k

ηk ,

где q – вектор параметров (размеры и параметры элементов и деталей) прибора с компонентами qi (i =1, n ); n – количество параметров; η – вектор технологических операций (термообработка, магнитная и электрическая

44

обработка и др.) с компонентами	ηk ( k =		);	Nпт – количество
		1, Nпт
производственно-технологических	погрешностей.			Производственно-

технологические погрешности возникают из-за неточного изготовления деталей и элементов qi и неточного выдерживания технологических операций ηk .

Уменьшение производственно-технологических погрешностей достигается путем точного выдерживания технологических операций.

5.2. Общие понятия и подходы к расчету погрешностей от несоответствия параметров номинальным значениям

При проектировании измерительных приборов наряду с номинальными значениями назначаются и допускаемые отклонения на все размеры и параметры деталей и элементов. Действительные значения параметров изготовленных деталей и элементов будут отличаться от номинальных и, следовательно, реальная функция преобразования будет отличаться от номинальной расчетной, что приведет к погрешности показаний прибора.

В технической документации на объект проектирования, как правило, оговариваются десятки, сотни, а иногда и тысячи параметров. Однако не все из них оказывают влияние на функцию преобразования. Поэтому прежде всего необходимо выявить те технические параметры, неточность выполнения которых приводит к изменению функции преобразования. Именно эти параметры классифицируются как внутренние и учитываются при расчетах на точность. Каждую отдельную неточность внутреннего параметра, приводящую к погрешности показаний измерительного прибора, называют первичной погрешностью. Будучи отклонением внутреннего параметра первичная погрешность имеет его размерность.

К числу внутренних относят также параметры, номинальные значения которых равны нулю, и их нет в расчетной характеристике (зазоры, отклонения от правильной геометрической формы, перекосы в расположении поверхностей, шероховатость, электрические шумы и др.).

Первичные погрешности могут быть различных видов. Выделяют детерминированные и случайные погрешности: к детерминированным относят погрешности, характеристики которых известны; характеристики случайных погрешностей изменяются случайным образом.

Если погрешность определяется только численным значением, то это скалярная погрешность. Она характеризуется одним параметром (погрешность сопротивления резистора, длины рычага, модуля упругости чувствительного элемента и т. п.).

Погрешность, характеризуемая не только значением, но и направлением действия, называется векторной (эксцентриситет шкалы отсчетного устройства, эксцентриситет вращающихся деталей – зубчатых колес, кулачков, роликов во

45

фрикционных передачах т. п.). Для задания такой погрешности, как и для любого вектора, необходимо, как минимум, два параметра.

На показания измерительного прибора первичные погрешности могут влиять по-разному: одни ведут к увеличению выходного сигнала, другие – к уменьшению. Поэтому итог влияния совокупности первичных погрешностей определяется реальной комбинацией их значений и видом функции преобразования.

Часть суммарной погрешности измерительного прибора, обусловленная первичной погрешностью, называется частной или частичной погрешностью. Частная погрешность, будучи результатом влияния первичной погрешности на точность показаний прибора, имеет размерность выходного сигнала (измеряемой величины). Суммарная погрешность от несоответствия параметров номинальным значениям определяется совокупностью частных погрешностей (рис. 5.2).

q1		q1		yq
				1
q2		q2		yq2
M		M		M
qs		qs		yqs		yq∑
M		M		M		14243
qn		qn		yqn		Погрешность
						от несоответствия
14243		14243		14243		параметров
Внутренние		Первичные		Частные		номинальным
параметры		погрешности		погрешности		значениям

Рис. 5.2. Схема формирования погрешности от несоответствия параметров номинальным значениям

Таким образом, алгоритм определения погрешности от несоответствия параметров номинальным значениям представляет собой последовательность следующих операций:

–анализ конструкторской документации на прибор с целью выявления внутренних параметров и составление математического описания прибора;

–анализ первичных погрешностей, определения их вида, характера изменения, численных значений;

–расчет частных погрешностей в зависимости от вида первичных;

–определение суммарной погрешности по совокупности частных.

5.3.Методы определения частных погрешностей

5.3.1. Аналитический метод

Существует несколько методов расчета частных погрешностей. Выбор метода определяется характеристиками первичных погрешностей, схемой измерительного прибора, его расчетной характеристикой. Одним из самых

46

распространенных методов является аналитический метод, который называют также дифференциальным. Этот метод применяют для оценки погрешности, если 1) имеется аналитическое выражение функции выходного параметра, которая должна быть непрерывной и дифференцируемой; 2) известны инструментальные погрешности входных параметров и диапазон их изменения.

Рассмотрим	случай	определения	частных	погрешностей	для
детерминированной скалярной первичной погрешности				qs .
Номинальная расчетная характеристика прибора имеет вид
		yнр = f (x, qs ).			(5.8)
Пусть параметр	qs имеет первичную погрешность			qs << qs , а остальные

параметры погрешности не имеют. Тогда расчетную функцию преобразования можно записать в виде

yр = f (x, qs +

qs ) .

(5.9)

Так как

qs

много меньше

qs ,

разложим функцию (5.9)

в ряд Тейлора по

степеням

qs

f (x, q

+

q

) =

f (x, q

q

+

s

s

s о

) +

∂ f

s

∂qs qS O

1

∂2 f

q2

1

∂3 f

q3 +...,

+

+

3

(5.10)

2

s

3!

s

2!

∂qs

qS O

∂qs

qS O

где qs о – номинальное значение параметра

qs . Ограничиваясь двумя первыми

членами разложения (5.10) и пренебрегая величинами второго и большего порядков малости, получим:

y

= f (x, q

+

q

) =

f (x, q

∂ f

q

.

(5.11)

р

s

s

s о

) +

s

∂qs qS O

Частная погрешность – это результат влияния первичной погрешности, поэтому выражение для определения частной погрешности будет иметь вид

yqS = yр(x) − yнр

Подставляя (5.8) и (5.11) в (5.12), получим

y			∂ f
	qS	=
			∂qs qS O

(x) .

(5.12)

qs .

(5.13)

Выражение (5.13) является основной формулой линейной теории точности, а значение (∂ f ∂qs )qS O называют коэффициентом влияния.

Таким образом, для нахождения частной погрешности следует детерминированную скалярную первичную погрешность qs умножить на

коэффициент влияния.

47

Аналитический метод определения частных погрешностей является наиболее эффективным. Однако на его применение накладывается ряд ограничений:

1. Первичная погрешность должна быть много меньше (как минимум на порядок) номинального значения параметра, поскольку данный метод является приближенным и степень точности приближения возрастает с уменьшением отношения qs к qs .

2.Метод не может быть применен в случае нулевых номинальных значений параметра, поскольку тогда значение параметра отсутствует в расчетной характеристике, и частную производную вычислить невозможно.

3.При сложных функциях преобразования может быть затруднительным нахождение частной производной.

4.Метод может быть использован в рассмотренном виде для вычисления только независимых первичных погрешностей.

Пример 5.2. Синусный рычажно-зубчатый преобразователь.

Кинематическая схема синусного рычажно-зубчатого преобразователя изображена на рис. 5.3. Звенья 2 и 3 жестко связаны между собой.

2

y

1

x

ϕ

3

4

Рис. 5.3. Схема синусного рычажно-

0

зубчатого преобразователя: 0 – корпус

x

прибора; 1 – измерительный стержень;

2 – рычаг; 3, 4 – зубчатая передача

Определим

частные

погрешности

синусного

рычажно-зубчатого

преобразователя при входном воздействии x = 0,4 мм и следующих исходных

данных: q2	= 3,8248 мм – длина рычага 2; с = 0,01 мм – цена деления шкалы;
Zш = 80 – число делений шкалы; Θ = 2π/3 – угол шкалы; для зубчатой передачи
задано отношение z1		z2 =10 , где z1 – число зубцов зубчатого колеса 3; z2 – число
зубцов зубчатого		колеса 4; погрешность длины рычага	q2 = 0,001 мм;
отклонение	формы	поверхности толкателя (отклонение от	плоскостности)

Ф= 0,001 мм; погрешность начального положения рычага Δα = 1о = 0,0175 рад.

1.Составим математическое описание данного преобразователя. На выходе прибора имеем

yр = ϕ i Zш

Θ [делений шкалы] или

yр = ϕ i с Zш

Θ [мм],

где ϕ = arcsin(x q2 )

– угол поворота рычага

2,

3;

i = z1 z2

– передаточное

отношение зубчатой передачи 3,

4.

Следовательно,

выражение для расчетной

характеристики прибора принимает вид

с Zш

z1

y

р

=

arcsin

x

[мм].

(5.14)

Θ

z2

q2

48

2. Анализ первичных погрешностей показывает, что все они заданы как детерминированные и скалярные.

3. Определим частную погрешность yq2 .

Найдем частную производную расчетной характеристики yр по параметру q2:

∂ yр

с Z

ш

z

x

=

1

−

.

2

2

∂q2

Θ

z2

q2

1 − (x q2 )

С учетом исходных данных получим коэффициент влияния

∂ yр

0,01 80 3

0,4

=

10

−

2

2

≈ −0,105.

2π

∂q2 q2O

3,8248

1 − (0,4 3,8248)

Частная погрешность yq2

равна

yq

= (∂ yр

∂q2 )

q2 = −0,105 0,001 ≈ −0,0001 мм.

2

q2O

4. Определим частную погрешность

yФ .

Влияние погрешности формы поверхности толкателя Ф на расчетную характеристику yр аналогично влиянию погрешности входного воздействия x

(рис. 5.4).

2

Ф

Δϕ

Рис. 5.4. Первичная погрешность синусного преобразователя: погрешность формы

Вычислим коэффициент влияния:

∂ yр

с Z

z

1

=

ш

1

=

∂ x

Θ

z2

q 1

−(x q

)2

x

O

2

2

xO

= 0,01 80 3

1

10

≈1,004 .

2π

3,8248

1 − (0,4 3,8248)2

Следовательно, частная погрешность		yФ равна:
yФ = (∂ yр ∂ x)xO	Ф =1,004 0,001 ≈ 0,001004 мм.
5. Определим частную погрешность		yα .

Номинальное значение угла начального положения рычага равно нулю, поэтому данного параметра нет в функции преобразования. Определение частной погрешности, таким образом, требует либо усложнения расчетной характеристики и введения в нее этого параметра, либо применения другого метода расчета.

49

С учетом представленной на рис. 5.5 схемы усовершенствованную функцию

преобразования можно представить в виде

y

=

с

Z

ш

z

x

[мм].

р

1

arcsin

+ sin α − α

Θ

z2

q2

q2

q2

x

ϕ

ϕ

90о

α

а)

б)

Рис. 5.5. Расчетные схемы синусного преобразователя:

а – при отсутствии погрешности;

б – при наличии погрешности начального положения рычага

Найдем коэффициент влияния

∂ yр

=

с Z

ш

z

cosα

−

=

1

+ sin α)2

1

∂α α

=0

Θ

z2

1 − (x q

2

O

αO =0

= 0,01 80 3

1

10

2

−1 ≈ 0,021

2π

1 − (0,4 3,8248)

и вычислим частную погрешность

yα :

yα = (∂ yр

∂α)αO =0

α = 0,021 0,0175 ≈ 0,00037 мм.

Пример 5.3. Мостовая измерительная электрическая схема.

Рассмотрим мостовую измерительную электросхему

(рис. 5.6), на которой

R1

U

R2

приняты следующие обозначения: R1 , R2 , R3 ,

R4

– постоянные сопротивления; Rx

– измене-

ние сопротивления вследствие внешнего воздей-

ствия; r – сопротивление реохорда; rx

– часть со-

противления реохорда, соответствующая внеш-

rx

нему воздействию. Входной величиной является

R3

R4

Rx

изменение сопротивления

Rx , соответствующий

r

сигнал на выходе выражается величиной rx .

Требуется

определить результаты

действия

Рис. 5.6. Мостовая изме-

погрешностей

сопротивлений

R1

и

R2

на

рительная электросхема

сопротивление rx .

50