OTIP

Условие равновесия моста при отсутствии внешнего воздействия ( Rx = 0 , rx = 0 )

R1(R4 + r) = R2 R3 .

(5.15)

После появления внешнего воздействия: Rx ≠ 0 , rx ≠ 0 , условие равновесия

приобретает вид
R1(R4 + Rx + r − rx ) = R2 (R3 + rx ).	(5.16)

Вычитаем выражение (5.15) из (5.16) и после преобразований получаем расчетную характеристику

r

= R

R1

Zшк

[делений шкалы],

x R

x

+ R

L

1

2

шк

где Zш –

число делений шкалы в диапазоне измерений; Lш – длина шкалы,

соответствующая Zш.

Влияние инструментальных погрешностей

R1 и

R2 на выходную величину

rx определяем по формуле (5.13):

∂rx

R2

Zшк

R [делений шкалы],

r

(

R ) =

R

=

R

x

2

x

1

∂ R1

1

(R

+ R

Lшк

1

R1O

)

1

2

∂r

− R

Z

r (

R

2

) =

x

R

=

1

R

x

шк R [делений шкалы].

2

x

2

(R

+ R

Lшк

2

∂ R2

R2O

)

1

2

5.3.2. Метод преобразованных схем

Во многих задачах величина у (показание измерительного прибора) выражается в зависимости от измеряемой величины х и параметров qs схемы

прибора довольно сложной функцией. Отыскание частной производной является иногда трудоемкой операцией.

В некоторых случаях функция преобразования y(x,q) не содержит тех параметров, для которых даны инструментальные погрешности. Например, эксцентриситет оси звена не входит в выражение для y(x,q) , если номинальное значение эксцентриситета равно нулю. Тогда вычисление частной производной становится невозможным. Для определения погрешности в подобных задачах предложен метод преобразованных схем. Академик Н.Г. Бруевич предложил

метод преобразованных механизмов, профессор М.Л. Быховский – метод преобразованных электрических цепей.

Метод преобразованных механизмов. В преобразованной схеме прибора первичная погрешность моделируется с помощью дополнительных звеньев в схеме механизма.

Алгоритм метода преобразованных механизмов:

1. Заменить исследуемое звено номер s на группу звеньев так, чтобы размер qs можно было изменять, т. е. моделировать погрешность qs . Для

51

преобразования механизмов используют элементы широко применяемых кинематических пар: обычные и сдвоенные ползуны, кулисы и др. Полагают, что размеры прочих звеньев не имеют погрешностей.

2.Закрепить ведущее звено механизма в заданном положении.

3.Построить в масштабе план малых перемещений для преобразованного механизма.

4.По плану малых перемещений определить значение частной погрешности

положения выходного звена yqS .

Пример 5.4. Кривошипно-шатунный механизм.

В кривошипно-шатунном механизме (рис. 5.7) входная величина φ – угол поворота кривошипа 2, выходная величина y – координата, определяющая положение точки В ползуна 4. Пусть заданы первичные погрешности: q1 – смещение направляющих ползуна 4 нормально к оси Оу, q2 – погрешность длины кривошипа, q3 – погрешность длины шатуна. Требуется найти результат отдельного действия каждой из указанных первичных погрешностей на положение ползуна и совместного действия.

A

2

3

4

O

ϕ

β

y

B

1

Рис. 5.7. Схема кривошипно-шатунного механизма

Функция преобразования механизма определяется выражением

yр = q2 cosϕ +

q32 − (q2 sin ϕ)2 ,

(5.17)

где q2 – длина кривошипа ОА; q3 – длина шатуна АВ.

Воспользуемся методом преобразованных механизмов, т. к. параметра q1 нет в формуле связи (5.17); частные производные от yр по q2 и q3 удобнее найти

графически, чем аналитически.

1. Определим погрешность yq1 положения ползуна в зависимости от

первичной погрешности q1.

Для создания возможности смещения ползуна 4 нормально к оси Оу вводим кулису. Закрепляем звено ОА. Тем самым получаем преобразованный механизм, в котором моделируется погрешность q1 (рис. 5.8).

Для построения плана малых перемещений рассмотрим движение точки В преобразованного механизма как сложное

SBa = SBr + SBe .

Здесь SBa – абсолютное малое перемещение точки В во вращательном движении шатуна АВ относительно точки А, направлено перпендикулярно отрезку [АВ];

52

SrBr – относительное перемещение точки В, направлено параллельно направляющей ползуна – вдоль оси Оу, соответствует искомой частной погрешности yq1 ; SrBe – перемещение точки В в переносном поступательном

движении кулисы, направлено вертикально вниз, соответствует моделируемой погрешности q1.

A

p

yq1

AB

q1

O

ϕ

β

B

y

β

q1

b

b*

yq1

а)

yq1

б)

Рис. 5.8. Схема моделирования погрешности

:

а – преобразованный механизм; б – план малых перемещений

При построении плана малых перемещений из полюса р откладываем вертикально вниз погрешность q1 в виде отрезка [рb*] в выбранном масштабе (см. рис. 5.8б), затем из точки b строим прямую, параллельную оси Оу (направление движения ползуна), а из точки р проводим прямую, перпендикулярную к отрезку [АВ]. На пересечении этих прямых получим точку b.

Длина отрезка [b*b] с учетом масштаба соответствует величине	yq1	. Из плана
малых перемещений получаем
yq1 = − q1 tgβ.
Знак «–» следует из того, что рассматриваемая погрешность	q1	смещения
направляющих ползуна уменьшает выходное значение у.

2. Определим погрешность yq2 положения ползуна в зависимости от

первичной погрешности q2.

Преобразованный механизм получим, закрепив кривошип ОА в заданном положении угла φ, и установив на звено ОА ползун, с помощью которого будем моделировать инструментальную погрешность q2 (рис. 5.9).

В преобразованном механизме звено АВ совершает плоскопараллельное движение, которое можно представить в виде совокупности поступательного движения вместе с полюсом А и вращательного движения звена относительно

этого полюса. Тогда малое перемещение точки В		SB	равно геометрической
сумме малого перемещения точки	А, выбранной	за	полюс, SrA и малого
перемещения точки В вокруг точки А	SBA при вращении звена АВ относительно
полюса:

53

SB = SA +

SBA .

Здесь малое перемещение

SB , соответствующее искомой частной погрешности

yq2 , направлено параллельно оси Oy; вектор

SA соответствует моделируемой

погрешности

rq2 и направлен параллельно

закрепленному звену ОА; малое

перемещение

SBA направлено перпендикулярно отрезку [АВ].

q2

aπ

ϕ β

A

q2

2

AB

ϕ

O

ϕ

β

B

y

π

p

y b

2

β

yq

q2

2

а)

б)

Рис. 5.9. Схема моделирования погрешности

yq2

:

а – преобразованный механизм; б – план малых перемещений

План малых перемещений будем строить их точки р (см. рис. 5.9б). Параллельно отрезку [ОА] откладываем в масштабе отрезок [ра], отображающий погрешность q2. Из точки а проводим прямую, перпендикулярную [АВ] и из точки р – прямую, параллельную оси Оу. Прямые пересекаются в точке b. Длина

отрезка рb с учетом масштаба соответствует погрешности

yq2

. Из плана малых

перемещений согласно теореме синусов запишем:

π

yq 2

sin

− ϕ −β

cos(ϕ +β)

=

2

=

q

π

cosβ

2

sin

2

+β

Откуда

cos(ϕ+β).

y

=

q

q 2

2

cosβ

3. Определим погрешность

yq3

положения ползуна

в

зависимости от

первичной погрешности q3.

Погрешность q3 будем моделировать с помощью сдвоенного ползуна в точке В, предварительно закрепив звено ОА. Преобразованный механизм изображен на рис. 5.10.

Для построения плана малых перемещений рассмотрим движение точки В преобразованного механизма как сложное

54

	SBa =	SBr + SBe ,	(5.18)
где	SrBa – абсолютное малое перемещение точки В, направлено параллельно оси
Oy,	соответствует искомой частной	погрешности	yq3 ; SBr – относительное

перемещение точки В, направлено параллельно отрезку [АВ], соответствует моделируемой погрешности q3; SBe – перемещение точки В в переносном

вращательном движении шатуна АВ относительно точки А, направлено перпендикулярно отрезку [АВ]. На основе формулы (5.18) построим план малых перемещений (см. рис. 5.10б).

	A
		yq	yq3
		3			b
ϕ		p	β
	β	y			AB
			q3
O		B
					b*
		а)	б)
	Рис. 5.10. Схема моделирования погрешности		yq3	:

а – преобразованный механизм; б – план малых перемещений

Из плана малых перемещений получим

yq3 = cosq3β .

На планах малых перемещений построены детерминированные независимые частные погрешности yqi (i =1, 3). Общая (суммарная) инструментальная

погрешность механизма в этом случае равна:

y

q

= y

q

+ y

q

+ y

q

= − q

tgβ +

q

cos(ϕ +β)

+

q3

.

1

2

cosβ

∑

1

2

3

cosβ

Метод преобразованных электрических цепей. В преобразованной схеме прибора первичная погрешность моделируется с помощью дополнительного генератора в электрической цепи, при этом входные параметры прекращают действие: питающее напряжение электрической цепи выключается. К первичным погрешностям электрических цепей относятся погрешности сопротивлений, силы тока, индуктивности, емкости и других параметров.

Метод преобразованной электрической цепи дает возможность определить результат действия инструментальной производственно-технологической погрешности на выходное напряжение. Представим электрическую цепь в виде блока с напряжением Е на входе и напряжением U AB на выходе. Выделим из

блока исследуемый элемент, например сопротивление Rs с погрешностью Rs

(рис. 5.11а).

55

G

E

F

G

F

A

A

Rs

UAB

Rs

Rs

UAB*

C

Г UГ

B

B

а)

б)

D

Рис. 5.11. Блок электрической цепи (а) и преобразованная электрическая схема (б)

Влияние этой погрешности на выходное напряжение определяется формулой

				∂f				,	(5.19)
	U	s	= E			R	s
				∂Rs
	где f – функция параметров электрической цепи. Задача о влиянии								Rs на U s

решается приближенно в рамках линейной теории точности. Для решения поставленной задачи необходимо определить коэффициент влияния первичной погрешности.

При построении преобразованной электрической цепи (рис. 5.11б) моделируем погрешность Rs с помощью дополнительного генератора с ЭДС

U Г = μ es ,

где μ – масштабный коэффициент; es – падение напряжения на участке CD:

es = −(is + is ) Rs ≈ −is	Rs .
Следовательно,
U Г = −μis Rs .	(5.20)

Знак «–» означает, что дополнительный источник питания создает между полюсами CD ток, противоположный основному току.

Закоротим полюса на входе цепи и включим дополнительный генератор.

Тогда на выходе преобразованной схемы формируется напряжение	U *AB ,
представляющее собой результат влияния инструментальной погрешности	Rs в
масштабе μ:
U *AB = μ U s ,	(5.21)

где Us – искомая погрешность выходного напряжения. Из (5.21) выразим Us и запишем с учетом масштабного множителя μ, найденного из выражения (5.20):

U *

Us = − AB is Rs . (5.22)

UГ

Приравняем правые части выражений (5.19) и (5.22)

56

∂f

*

E

R

s

= −

U AB

i

s

R

s

UГ

∂Rs

и найдем значение частной производной:

∂f

is

*

= −

U AB

.

(5.23)

E UГ

∂Rs

Следовательно, частная погрешность

Us

определяется согласно (5.19) с учетом

(5.23):

*

i

s

U

U

s

= E

R

−

AB

.

(5.24)

s

E UГ

В выражении (5.24) отношение (is E )

определяют из заданной цепи; отношение

(U *AB UГ )– из преобразованной цепи.

Пример 5.5. Делитель напряжения.

Основная схема делителя напряжения содержит три постоянных

сопротивления (рис.5.12а). Найти погрешность выходного

напряжения U1 ,

вызванную первичной погрешностью

R1.

C

R1

G

R1

G

Г

UГ

E

A

D

A

F

F

R3 UAB

R2

R2

R3 UAB*

B

B

а)

б)

Рис. 5.12. Делитель напряжения:

а – основная схема; б – преобразованная электрическая схема

Из основной цепи находим (i1

E). Согласно закону Ома имеем E = i1 RΣ . Отсюда

i1

=

1

=

1

=

R2 + R3

.

(5.25)

R2 R3

R

(R

+ R )+ R R

E R

R1

+

Σ

1

2

3

2 3

R2 + R3

При построении преобразованной электрической схемы закорачиваем полюса на входе и включаем на участке СD дополнительный генератор Г. Для

определения отношения (U *AB U Г ) находим вначале напряжение U *AB на входе

57

преобразованной цепи, рассматривая контур A R2 R3 B и применяя второй закон Кирхгофа:

U

*

= i

1

= i

R2 R3

.

AB

1

1

1

+

1 R2 + R3

R

R

2

3

Напряжение генератора

UГ

аналогично

определяется из другого

контура

C R1 R2 R3 D :

1

R1 (R2 + R3 )+ R2 R3

U

= i

R +

= i

.

1

Г

1

1

1

1

R2 + R3

R

+

R

2

3

Тогда

U

*

R

2

R

AB

=

3

.

(5.26)

R

(R

+ R )+ R

R

U

Г

2

1

3

2 3

После подстановки полученных выражений (5.25), (5.26) в (5.24) и преобразования получим погрешность выходного напряжения U1 , вызванную

первичной погрешностью R1:		(R2 + R3 )R2 R3
U1 = −E							R1 .
	[R	(R	+ R )+ R R			]2
1		2	3	2	3

5.3.3.Геометрический метод

Вряде случаев при определении частных погрешностей в механизмах наиболее эффективным является геометрический метод. Суть метода заключается

втом, что измерительный механизм строят в двух, наложенных друг на друга положениях, причем первое положение строится без первичной погрешности, а второе – с первичной погрешностью в сильно увеличенном масштабе. Из геометрических соотношений, получаемых при таких построениях, находят аналитические выражения, связывающие первичную и частную погрешности.

При реализации геометрического метода вводят ряд упрощений и допущений,

сущность которых заключается в исключении ошибок второго и высшего порядков малости: для малых углов sin α ≈ tgα ≈ α, cosα ≈1, дуга и ее хорда

равны и т. д. Под малым углом понимают угол порядка 10–3–10–4 радиан.

Пример 5.6. Тангенсный механизм.

Определим погрешность от несоответствия параметра q номинальному значению на величину q.

На рис. 5.13 представлена схема тангенсного механизма в двух положениях. Положение 1 соответствует механизму без погрешности параметра q, а положение 2 – механизму с первичной погрешностью q. В треугольнике АА*B отрезок [АB]

58

соответствует первичной погрешности q, а отрезок [А*B] – частной погрешности

yq . yq =

O

Из треугольника АА*B q tg ϕ.

y

2

1

A*

A

ϕ

B

q

q

получим A*B = AB tg ϕ. Следовательно,

yq

Рис. 5.13. Тангенсный механизм в двух положениях

Существует целый ряд других методов расчета частных погрешностей. В основном они реализуются для механических цепей (метод относительных ошибок, метод плеча). В данном пособии рассмотрение этих методов не представлено.

5.4. Определение частных погрешностей для векторных первичных погрешностей

К числу векторных первичных погрешностей относят отклонения от номинальных значений параметров, характеризующиеся не только значением, но и направлением действия. Среди векторных погрешностей существенное место занимают погрешности параметров, номинальные значения которых равны нулю (зазоры, перекосы, отклонения от правильной геометрической формы и расположения поверхностей, эксцентриситеты). Сложность учета векторных погрешностей обусловлена тем, что наряду со значением первичной погрешности необходимо учитывать и ее направление.

Для расчета частных погрешностей в случае детерминированных векторных первичных погрешностей рекомендуется следующее правило: результат действия векторной первичной погрешности на выходную величину определяется путем проектирования вектора на нормаль к поверхностям в точке касания элементов кинематических пар.

Пример 5.7. Передача от кулачка к толкателю.

В передаче от кулачка к толкателю входная величина α – угол поворота кулачка; y – выходная величина – координата, определяющая положение толкателя на оси Оу.

1. Найти ye – частную погрешность выходного перемещения толкателя в

зависимости от эксцентриситета кулачка e . Заданы модуль эксцентриситета e и угол φ, определяющий направление вектора эксцентриситета er в начальном положении (рис. 5.14).

59

	Согласно		правилу		частная погрешность
	ye	определяется		как проекция вектора
	эксцентриситета			er	на	нормаль	nn к
	поверхностям кулачка и толкателя в точке
	их касания		ye	=	e cosϕ.
	Если	ввести входное воздействие					α, то
	выражение для функции частной погрешно-
Рис. 5.14. Передача	сти будет иметь вид:
от кулачка к толкателю			ye (α)=		e cos(ϕ + α).
2. Найти частную погрешность	выходного		перемещения			толкателя	yγ в
зависимости от перекоса оси кулачка	γ .

Рассмотрим перекос оси кулачка (рис. 5.15а). Пусть положение кулачка в корпусе определяется точкой О, взятой в центре среднего сечения кулачка на высоте b2 . Пунктиром показано идеальное положение кулачка. Плоскость

среднего сечения π расположена горизонтально (рис.5.15б). Ось Оу лежит в плоскости π. Перекос оси кулачка относительно оси вала, на который он насажен, определяем как поворот на угол γ оси кулачка вокруг прямой АА, лежащей в

плоскости π среднего сечения кулачка. Прямая АА образует с осью Оy угол ψγ .

Точка С верхнего торца займет после перекоса оси положение С*. Проекция дуги СС* на плоскость среднего сечения π дает отрезок ОD, расположенный перпендикулярно прямой АА. Считая пренебрежимо малой разность между дугой СС* и отрезком СС*, принимаем:

			OD ≈ CC*	= OC*	γ = b	γ .			(5.27)
					2
		yγ					C	C*
							Δγ
b	C	C*	y		A			D	y
	b	O
	2					O	π	E	ψγ
								ψ
		α		π			2	γ	A*

а) б)

Рис. 5.15. Схема перекоса оси кулачка: а – плоская; б – пространственная

С достаточным приближением перекос оси кулачка можно рассматривать как эксцентриситеты торцов кулачка, направленные в противоположные стороны.

60