OTIP

Такая же зависимость часто наблюдается на низких частотах при переносе заряда в полупроводниках. В подобных случаях говорят об 1/f-шуме или о фликкер-шуме. (В технической литературе частота ν обозначается также f).

Генерационно-рекомбинационный шум. В полупроводниках возникает специфический вариант дробового шума – генерационно-рекомбинационный шум. Его часто называют токовым шумом. Принципиальное отличие полупроводников от вакуумного диода с этой точки зрения состоит в том, что среднее время жизни носителей заряда (электронов и дырок) в полупроводниках, как правило, очень мало по сравнению с временем, необходимым для переноса носителя заряда от одного конца образца до другого. Поэтому дробовой шум в полупроводниках определяется скоростями генерации и рекомбинации носителей заряда. Частотные спектры шума для различных процессов генерации и рекомбинации носителей в полупроводниках описываются однотипными выражениями

2		Io2
IGR, эфф ≈ const				ν.
		+ ν2
1			ν2g

Ниже пороговой частоты νg мощность шума не зависит от ν (белый шум), а выше νg она падает как 1ν2 . Пороговая частота νg определяется средним временем жизни τ носителей заряда ( νg =1(2πτ) ).

Квантовый шум. Квантование электромагнитного излучения приводит к флуктуациям потока фотонов. Пусть имеется идеальный детектор с квантовым выходом η=1 (например, фотоячейка, с катода которой каждый фотон выбивает один электрон). В таком детекторе распределение падающих фотонов может в принципе преобразовываться в соответствующее распределение импульсов тока. Таким образом, можно экспериментально регистрировать флуктуации электромагнитного излучения.

Рассмотрим бесконечно длинную монохроматическую волну, так называемую когерентную волну. С классической точки зрения ее амплитуда и фаза не меняются со временем и не испытывают никаких флуктуаций. При измерениях в течение одинаковых промежутков времени t можно ожидать при фиксированной мощности излучения Po одного и того же среднего числа фотонов

N = Po thν,

где h – постоянная Больцмана; ν – частота когерентной электромагнитной волны. Наблюдаемое число фотонов флуктуирует в соответствии с распределением Пуассона. При этом предполагается, что фотоны представляют собой классические, не взаимодействующие друг с другом частицы. Стандартное отклонение числа фотонов равно

σN =		=	Po t .
	N
			hν

31

Ток фотоэлектронов в идеальном детекторе также подчиняется распределению Пуассона. Поэтому усредненные флуктуации тока описываются уравнением Шотки для дробового шума. Средний фототок равен

Io = e N t = ePo hν.

Квадрат эффективного шумового тока определяется по аналогии с (3.3) или (3.4):

IR2	, эфф = 2eIo	ν =	2e2Po	ν.
			hν

Отношение сигнал–шум S/N находят через отношение соответствующих мощностей:

SN = Io2 IR2, эфф .

Для фототока это соотношение принимает вид

S		Po
	=		.
N		2hν ν

Если считать, что в идеальном детекторе не возникают собственные шумы, то независимо от постоянной мощности падающего излучения Po эквивалентная

мощность шума PR, эфф на детекторе составляет

PR, эфф = 2hν ν .

(3.5)

Это выражение описывает случай непосредственного приема сигнала.

В отличие от теплового шума, уровень которого понижается при высоких частотах, квантовый шум линейно возрастает с частотой. В области hνkT >>1

(здесь k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура) он начинает преобладать над тепловым шумом. При комнатной температуре это соответствует оптической и инфракрасной областям спектра.

Для описания шумов вводят понятие шумовой температуры TR . При этой

температуре мощность теплового шума в проводнике равна мощности квантового шума в излучателе. Приравнивая выражения (3.2) и (3.5), получим в явном виде формулу для TR :

T	=	hν	.
R		k ln(3 2)

Например, в оптической области квантовый шум при λ = 500 нм соответствует шумовой температуре TR = 70 000 К.

Минимальная мощность излучения, которую можно зафиксировать, соответствует S/N = 1. Таким образом, для непосредственного приема с помощью идеального детектора справедливо соотношение

Po, min = PR, эфф = 2hν ν.

Это означает, что за время t ≈1(2 ν) должен быть зарегистрирован в среднем один фотон.

32

В радио- и микроволновом диапазонах когерентное излучение получают с помощью специальных передатчиков, в оптическом и инфракрасном диапазонах источниками когерентного излучения служат лазеры. Обычные источники света испускают так называемое тепловое излучение. Такое излучение некогерентно, и фотоны в каждой моде подчиняются распределению Бозе–Эйнштейна. В этом случае флуктуации существенно выше, чем у когерентных источников. Квадрат отклонения числа фотонов равен

σ2N = N 2 + N .

Эти флуктуации вызывают более значительные шумы в детекторе. Если фотоны, зафиксированные детектором, разделяются на z независимых мод, то сильные флуктуации распределения Бозе–Эйнштейна выравниваются и среднеквадратическое отклонение нового распределения имеет вид

σ2 = Nz2z + N z .

В предельном случае очень большого числа мод снова получается распределение Пуассона. (Мода – вид колебаний, возбуждающихся в сложных колебательных системах; характеризуется пространственной конфигурацией колеблющейся системы, определяемой положением ее узловых точек (линий или поверхностей), и собственной частотой.)

33

4.РАСЧЕТ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

4.1.Погрешности показаний, вызванные методическими погрешностями измерительных приборов

Методические погрешности имеются у измерительных приборов, основанных на косвенных измерениях, например, у термоэлектрических термометров, расходомеров, акселерометров, датчиков угловой скорости. Эти погрешности возникают тогда, когда изменяются параметры, входящие в уравнение метода измерений или в алгоритм функционирования. Методические погрешности не зависят от качества изготовления прибора, они одинаковы для всех образцов данного типа.

Для определения методической погрешности (погрешности приближения) наиболее приемлемым является аналитический метод, согласно которому погрешность находят как разность между номинальной расчетной и заданной характеристиками. В основе аналитического метода расчета погрешности находится математическое описание прибора.

Пусть имеет место зависимость

X = f (Z, q1, q2 , ..., qn ) ,

где X – измеряемая величина; Z – величина, на которую реагирует

чувствительный элемент прибора; qi ,					i =			– параметры. Пусть прибор
						1, n
проградуирован при		qi = qi o , а в	процессе			измерения параметры принимают
значения qi	= qi o +	qi . Тогда	методическая					погрешность определяется
выражением
			n	∂ f
		X = ∑				q ,		(4.1)
				∂q		i
				i o
где (∂ f ∂qi )o			i=1
	– значение частной производной ∂ f							∂qi при qi = qi o , i =		.
									1, n

Методические погрешности можно скомпенсировать полностью или частично, если в измерительный прибор ввести дополнительные чувствительные элементы, реагирующие на изменения параметров qi . И если с помощью таких

чувствительных элементов образовать сигнал

n

∑ki i

i=1

ивычесть этот сигнал из выражения (4.1), то получимq

	n			∂ f
	X = ∑					−k		q .
				∂q
	i=1					i		i
				i		o

Если теперь потребовать, чтобы коэффициенты ki удовлетворяли условиям

ki − (∂ f ∂qi )o = 0, i =		→ ki = (∂ f ∂qi )o ,	(4.2)
	1, n

34

то методические погрешности будут скомпенсированы с		точностью до 1) величин
второго порядка малости по сравнению с	qi ;	2) инструментальных

погрешностей дополнительных чувствительных элементов, реагирующих на изменения параметров qi . Точное удовлетворение условий (4.2) невозможно еще

и по той причине, что параметры qi , вообще говоря, являются случайными

величинами, а значит условия (4.2) следует рассматривать только как уравнения, в которые входят математические ожидания параметров.

4.2. Примеры расчета методических погрешностей механических измерительных приборов

Пример 4.1. Рычажно-зубчатый индикатор.

В рычажно-зубчатом индикаторе (боковом) жестко связанные элементы 1 и 2 образуют первичный преобразователь – синусный рычаг (рис. 4.1). Элементы 2–5 представляют собой масштабный преобразователь. Элементы 3 и 4 соединены жестко.

y

5	4	3	α

2

0

1

x

Рис. 4.1. Схема измерительной цепи рычажно-зубчатого индикатора: 0 – корпус прибора;

1 – измерительный рычаг; 2–5 – зубчатая передача

Значения параметров: −0,4 ≤ x ≤ 0,4 мм – диапазон измерения; с = 0,01 мм– цена деления

шкалы; q1 = 10,58 мм –		длина измерительного
рычага 1;	Zш = 80 –	число делений шкалы;
Θ = 2π –	угол шкалы; параметры зубчатой

передачи: для зубчатых колес 2, 3 с числом зубцов z2 = 410 (расчетное) и z3 = 30 модуль зацепления m = 0,199; зацепление зубчатых колес 4, 5 лобовое с модулем зацепления m = 0,18 и числом зубцов z4 = 72 и z5 = 12.

Требуется вычислить погрешность показаний прибора, обусловленную методической погрешностью (погрешностью схемы), при x = 0,4 мм.

Функциональная связь между входом x и выходом y рассматриваемого индикатора

выражается равенством
y = α i Zш Θ [делений шкалы],	(4.3)

где α – угол поворота рычага 1, 2; i – передаточное отношение масштабного преобразова-

теля 2–5. Угол поворота α согласно рис. 4.1 определяется по формуле

α = arcsin(x q1 ).

(4.4)

Передаточное отношение i равно	R2		R4		z2			z
i =				=					4	,	(4.5)
								z
	R		R		z	3			5
	3		5

35

где R2, R3, R4, R5 – радиусы соответствующих колес зубчатой передачи 2–5. Подставим (4.4), (4.5) в (4.3) и получим расчетную характеристику прибора

		y(x) = arcsin					x			z2 z4							Zш		[делений шкалы].
																	Θ
						q				z	3	z	5
							1
	Значение y при x = 0,4 мм равно
	y(0,4)		0,4				410 72									80			= 39,49 [делений шкалы].
		= arcsin
			10,58				30 12							2 3,14

Заданная характеристика при равномерной шкале прибора имеет вид yо(x) = cx [делений шкалы]

и соответственно при x = 0,4 мм показание прибора должно быть yо(0,4) = 00,,014 = 40 [делений шкалы].

Найдем погрешность показаний yсх, обусловленную схемой прибора,

y

(x) = y(x) − y

(x) = arcsin

x

z2 z4

Zш

−

x

[делений шкалы].

c

сх

o

q

z

3

z

5

Θ

1

При заданном значении x = 0,4 мм имеем

yсх (0,4) = 39,49 − 40 = −0,51 [делений шкалы],

что составляет yсх (0,4) с = −0,51 0,01 = −0,0051 мм или – 5,1 мкм.

Пример 4.2. Рычажно-зубчатая многооборотная измерительная головка. Схема измерительной цепи рычажно-зубчатой многооборотной измерительной

головки, содержащая синусно-кулисную и зубчатую передачи, представлена на рис. 4.2. Звенья 4 и 5 жестко связаны между собой.

											y							7
																		6
8																	γ γ	5
											2
																		4
			x													b
1											α							Рис. 4.2. Схема измерительной цепи рычажно-
																3
0																		зубчатой многооборотной измерительной головки:
																		0 – корпус прибора; 1 – измерительный стержень;
	x																	2–4 – звенья синусно-кулисной передачи;
																		5–8 – зубчатая передача

36

Значения параметров: −0,5 ≤ x ≤ 0,5 мм – диапазон измерения; с = 0,001 мм –

цена деления шкалы; b = 13,895 мм; q2 = 4,3542 мм – длина кривошипа 2; q4 = 7,0 мм – длина кривошипа 4; Zш = 200 – число делений шкалы; Θ = 2π – угол шкалы; n = 5 – число оборотов стрелки; параметры зубчатой передачи: модуль зацепления m = 0,15; число зубьев z5 = 228 (расчетное), z6 = 25, z7 = 80 и z8 = 16 для зубчатых колес 5, 6, 7, 8 соответственно.

Необходимо определить погрешность показаний прибора, обусловленную погрешностью схемы, при x = 0,5 мм.

Показание прибора y определяется согласно схеме (см. рис. 4.2) по формуле

	y = γ i	Zшn	[делений шкалы].	(4.6)
		Θn

где γ – внешний угол синусно-кулисной передачи; i – передаточное отношение масштабного преобразователя 5–8.

Для нахождения значения угла γ более подробно рассмотрим кинематическую схему синусно-кулисной передачи (рис. 4.3). Пунктиром на схеме изображено начальное положение синусно-кулисного механизма (x = 0).

D

B

γ C

2

x

α

γ

4

D A α

π−γ −α

Рис. 4.3. Кинематическая схема синусно-кулисной передачи

Из треугольника ABC (см. рис. 4.3) согласно теореме синусов имеем

	q4	=	b	,
	sin α		sin(π − γ* − α)

где π − γ* = γ . Тогда

sin(γ − α) = b sin α q4

откуда

		b		+ α.
	γ = arcsin		sin α
	q4

Значения угла α и sin(α) определим из треугольника ADD* (см. рис. 4.3): sin α = xq2 .

Следовательно,

α = arcsin(xq2 ).

Передаточное отношение i равно

(4.7)

(4.8)

(4.9)

37

i =

R5

R7

= z5

z7

,

(4.10)

R

R

z

6

z

8

6

8

где R5, R6, R7, R8 – радиусы соответствующих колес зубчатой передачи 5–8 (см.

рис.4.2).

После подстановки (4.10) и (4.7) с учетом (4.8) и (4.9) в (4.6) получим

функциональную зависимость выходного значения y от входной величины x

y(x) =

b x

x

z

5

z

7

Z

ш [делений шкалы].

(4.11)

arcsin

+ arcsin

q2

z6 z8

Θ

q4

q2

Выражение (4.11) представляет собой расчетную характеристику прибора.

Показание y при x = 0,5 мм равно

13,895 0,5

0,5

228 80 200

=

y(0,5) = arcsin

7 4,3542

+ arcsin

4,3542

25 16

2π

= 500,83

[делений шкалы].

Заданная характеристика при равномерной шкале прибора имеет вид

yо(x) = x

[делений шкалы]

c

и соответственно при x = 0,5 мм показание прибора должно быть

yо(0,5) =

0,5

= 500 [делений шкалы].

0,001

Выражение для погрешности показаний

yсх имеет вид

y

(x) = y(x) − y

(x) =

b x

+ arcsin

x

z

5

z

7

Z

ш −

x

[дел. шкалы].

сх

o

arcsin

z6

z8 Θ

c

q4

q2

q2

При заданном значении x = 0,5 мм получим

yсх (0,5) = 500,83 − 500 = 0,83 [делений шкалы],

или

yсх (0,5) с = +0,83 0,001 = +0,00083 мм= + 0,83 мкм .

y

, мкм

Размер q2 = 4,3542 мм подобран исходя

0,83

из условия равномерного приближе-

ния, при котором наибольшие по

- 0,5

0

0,25

x, мм

ζ(Δy

)

абсолютному

значению

положитель-

ные

и

отрицательные

погрешности

- 0,25

0,5

равны. На рис. 4.4

представлен график

- 0,83

функции

yсх(x).

Ширина

зоны

погрешностей

ζ( yсх )

составляет

Рис. 4.4. График функции

yсх(x)

1,66 мкм.

38

4.3. Примеры расчета методических погрешностей
	электрических измерительных приборов
Пример 4.3. Линейно нагруженный потенциометр.
Рассмотрим схему линейно нагруженного потенциометра, предназначенного
для деления напряжения (рис. 4.5).								U0	должно
U			Точное выходное			напряжение
			изменяться		пропорционально			длине		x
Rн		iн
			устанавливаемого сопротивления Rx. Но действие
			сопротивления нагрузки Rн нарушает эту
x			пропорциональность.			Поэтому	действительное
K	R0		выходное напряжение U отличается от						U0,	в
		i	результате		чего	возникает		методическая
i - iн
Rx	R0- Rx		погрешность		Uсх	=U −Uo .			(4.12)
L			Найдем значение этой погрешности. В точке
E			контакта	К	ток i разветвляется:		часть тока			iн
			пойдет по сопротивлению Rн, другая часть i − iн
Рис. 4.5. Схема линейно			потечет по сопротивлению Rx. На основании
нагруженного			второго закона Кирхгофа
потенциометра				E = i(R0 − Rx )+ (i − iн )Rx ,					(4.13)
			где R0 – постоянное сопротивление.
Выходное напряжение U соответствует, с одной стороны, падению
напряжения на сопротивлении Rн, с другой – на сопротивлении Rx:
			U = iнRн = (i − iн )Rx ,
отсюда
			iн =U Rн ,						(4.14)
			i − iн =U	Rx ,
следовательно,
			i = iн +	U
			Rx
или с учетом (4.14)

i =	U		+	U		=U	Rx + Rн	.	(4.15)
	R			R
		н			x		R R
							x н

Подставим (4.15) в формулу (4.13)

E =U (Rx + Rн)(R0 − Rx )+U Rx Rн

39

и получим выражение для выходного напряжения

U = E

Rx Rн

.

(4.16)

R

(R

x

+ R

н

)− R2

0

x

В (4.16) разделим числитель и знаменатель на R0 Rн

и запишем U в иной форме

Rx

U = E

R0

.

(4.17)

Rx

2

+1

−

Rx

R

R R

н

0 н

Если нагрузка снята, то Rн → ∞ ,

lim U = E

Rx

=U

0

.

(4.18)

R

Rн →∞

0

С учетом обозначений

Rx

= γ;

R0

= α

R

R

0

н

получим

R

x

R

x

R

R2

= αγ2 .

=

0

= αγ;

x

(4.19)

R

R

R

R R

н

н

н

0

0

Подставим (4.19) в (4.17), (4.18) и запишем

U =

E

γ

;

(4.20)

1 + αγ(1 − γ)

U0 = E γ .

(4.21)

Таким образом, выражение (4.12) для

погрешности

Uсх , обусловленной

схемой, с учетом (4.20) и (4.21) имеет вид

Uсх =U −Uo = −E

αγ2 (1 − γ)

.

1 + αγ(1 − γ)

Точность нагруженного потенциометра можно повысить уменьшением γ (уменьшением рабочего диапазона), или введением добавочного сопротивления.

Пример 4.4. Проволочный потенциометр.

Примером методической погрешности может служить также витковая погрешность проволочного потенциометра. Известно, что его характеристика имеет вид лесенки, хотя в расчетах обычно принимают непрерывную функциональную зависимость. Для линейного потенциометра статическую характеристику принимают в виде прямой линии (рис. 4.6).

40