5.2. Теорема о приведении системы силы к центру

Рассмотрим твёрдое тело, на которое действует

произвольная пространственная система сил
r	r	r
{F1	, F2	..., Fn }.

Рис. 36

94

Выберем произвольную точку тела О и перенесём в неё все силы, применяя теорему о параллельном пере- носе силы.

Рис. 37

95

В результате в точке О будут приложены две группы векторов:

1) векторы сил F1' , F2'...,,Fn' , которые соответственно равны

F1' = F1, F2' = F2 ,..., Fn' = Fn ;

2) векторы-моменты пар силM1,M2 ,...Mn , которые

соответственно равны			r	r	r	r	r
r	r	r r
M1	=mO (F1), M2		=mO (F2 ),...,Mn =mO (Fn ).

Сложим силы	'	'	В'	результате получим силу,
	F1	, F2..., Fn.
равную главному вектору системы сил
	r	n	r	n	r
	R =å		Fk' =å		Fk .	96
		1		1

Сложим пары силы M1, M2 ,..., Mn.В результате полу- чим пару сил, момент которой равен главному моменту системы сил

r =ån r ( r )

MO mO Fk .

1

Таким образом: любую произвольную систему сил, действующую на твёрдое тело, можно заменить одной силой, равной главному вектору системы сил, и парой, момент которой равен главному моменту сил относительно центра приведения (рис. 38).

97

Рис. 38

98

5.3. Условия равновесия произвольной системы сил

Рассмотрим твёрдое тело, которое находится в

равновесии под действием произвольной системы
сил:	r	r	r	} : 0.
	{F1	, F2	..., Fn

В соответствие с теоремой о приведении сил к центру эта система сил эквивалентна главному вектору

системы сил и главному моменту этой системы сил
относительно центра приведения сил.
r	r	r	r r
{F1	, F2	..., Fn } :	{R, MO }.

99

		r		r	r
r	{F1		, F2		..., Fn } :		0.
		r			r	r	r
{F1		, F2		...,	Fn } :	{R, MO }.

Из приведенных равенств следует:

{R, MO } : 0 Þ R =0; MO =0.

Таким образом, для того чтобы тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил относительно центра приведения сил равнялись нулю.

100

5.4. Уравнения равновесия произвольной системы сил

Запишем условия равновесия произвольной

системы сил.

R =0; MO =0.

Главный вектор и главный момент равны

векторным суммам:
r	n	r r	n	r	r
R =å		Fk ; MO =å mO (Fk ).
	k=1		k=1
Следовательно, для уравновешенной системы сил
эти суммы раны нулю:
n	r		n r	r
å	Fk =0;		å mO (Fk ) =0.
k=1			k=1		101

Таким образом, если тело под действием приложенной к нему системы сил находится в равновесии, то векторная сумма сил и сумма векторных моментов сил относительно центра приведения сил равны нулю.

n	r	n	r	r
å	Fk =0;	å mO (Fk ) =0.
k=1		k=1

102

Построим декартова координатные оси с началом в центре приведения сил.

Спроецируем на эти оси векторные равенства:

n	r	n	r	r
å	Fk =0;	å mO (Fk ) =0.
k=1		k=1

103