ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿

А. И. ЕФИМОВ

МЕТОД ОРБИТ В ТЕОРИИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ОПЕРАТОРОВ

(курс лекций)

Ростов–на–Дону

2008

Ефимов А. И.

Метод орбит в теории интерполяции операторов: Курс лекций. Ростов–на– Дону, 2008. 105 с.

Данный специальный курс лекций читается автором студентам V курса специальности 01.01.01. Цель спецкурса в углубленном изучении метода орбит в теории интерполяции операторов и его применение в некоторых вопросах функционального анализа.

Оглавление

1 Введение.

7

1.1Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2Оптимальные интерполяционные пространства. . . . 9 1.2.1 Упражнения для закрепления материала . . . 15

2 Учебный модуль: K функционалы.

17

2.1K функционал Петре. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1Определение и основные свойства. . . . . . . . 17

2.1.2Упражнения для закрепления материала . . . 18

2.1.3Эквивалентность K функционала Петре нор-

ме банахова пространства . . . . . . . . . . . . 19

2.1.4Упражнения для закрепления материала . . . 20

2.1.5Геометрическая интерпретация. . . . . . . . . . 21

2.1.6Упражнения для закрепления материала . . . 24

2.2K(p1;p2) функционал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1Представлении

K(p1;p2) функционала весовых пространств . . 28

2.2.2Упражнения для закрепления материала . . . 29

2.2.3K(p1;p2) функционал . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.4Равносильности K(p1;p2) и K(p1;p2) функционалов 30

3

Оглавление

2.2.5Совпадении экстремальных множеств K(p1;p2)

и K функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 J функционал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1Свойства J функционала . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2Упражнения для закрепления материала . . . 40

2.4K замкнутые подпары, банаховых пар. . . . . . . . . 41

2.4.1Аналог теоремы Хана-Банаха для K замкнутой подпары, банаховой пары . . . . . . . . . . . . 41

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

45

3.1K орбита. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1Упражнения для закрепления материала . . . 46

3.1.2Лемма о структуре экстремального множества

K функционала . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.3Упражнения для закрепления материала . . . 48

3.2Орбиты элементов в банаховых парах. . . . . . . . . . 49

3.2.1Орбита как банахово пространство . . . . . . . 49

3.2.2 Вложение орбит элементов в K орбиты . . . 53

3.2.3Совпадении орбит и K орбит

весовых пространств суммируемых последо-

вательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.4Совпадении орбит и K орбит весовых пространств суммируемых функций . . . . . . . . 58

3.3Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит. . . . . . . . . . . 59

3.3.1Упражнения для закрепления материала . . . 61

3.3.2Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . 61

4

Оглавление

3.3.3Упражнения для закрепления материала . . . 68

4 Учебный модуль: Интерполяция в весовых простран-
ствах.	69

4.1Оптимальное интерполяционное пространство для весовых банаховых пар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Учебный модуль: Приложение метода орбит.

81

5.1Применение метода орбит к доказательству существования базиса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1Определения и вспомогательные утверждения. 81

5.1.2Базис в дополняемых подпространствах пространств Кёте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.3Пространство степенных рядов конечного типа 92

6 Календарно-тематический план.			97
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . .		.	. 101
ЛИТЕPАТУPА . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. .	.	. 104

5

1 Введение.

Данный курс лекций посвящён изучению метода орбит в интерполяции линейных пространств и применению метода орбит для построения оптимального интерполяционного пространства в интерполяционных тройках пространств p суммируемых функций. В свою очередь найденные оптимальные интерполяционные пространства могут быть использованы для исследования вопроса существования базиса в дополняемых подпространствах некоторых классов пространств Кёте.

Курс лекций состоит из четырёх учебных модулей:

1.K функционалы.

2.Орбиты элементов.

3.Интерполяция в весовых пространствах.

4.Приложение метода орбит.

Учебный модуль “K функционалы” содержит необходимые сведения из теории интерполяции линейных пространств для понимания метода орбит. Сам метод орбит изложен в учебном модуле “Орбиты элементов”. Учебный модуль “Интерполяция в весовых пространствах” рассматривает использование метода орбит для построения

7

1 Введение.

оптимального интерполяционного пространства в интерполяционных тройках пространств p суммируемых функций. Курс лекций завершается учебных модулем “Приложение метода орбит” в котором рассматривается использование предшествующего материала для исследования вопроса существования базиса в дополняемых подпространствах некоторых классов пространств Кёте.

1.1 Основные определения.

Определение 1.1 Банаховой парой называется банаховы пространства A и B, алгебраически и топологически вложенные в некоторое отделимое топологическое линейное пространство.

Определение 1.2 Пересечением пространств банаховой пары A

и B назовём пространство состоящее из x 2 A \ B с нормой

kxkx2A\B = max(kxkA; kxkB)

Определение 1.3 Суммой пространств банаховой пары A и B

назовём пространство A + B образованное элементами вида x = u + v; где u 2 A; v 2 B; с нормой

kxkA+B = inffkukA + kvkBg;

где inf берётся по всем разложениям x = u + v; u 2 A; v 2 B:

Определение 1.4 Банахово пространство E называется промежуточным для для банаховой пары A и B, если выполняется:

A \ B E A + B

8