1.2 Оптимальные интерполяционные пространства.

Определение 1.5 Линейное отображение T , действующее из пространства A + B в пространство C + D, называется ограниченным оператором из пары A; B в пару C; D; если сужение T на пространство A является ограниченным оператором из A в C, а сужение T на пространство B является ограниченным оператором из B в D:

Линейное пространство всех ограниченных операторов из пары

A; B в пару C; D будем обозначать L(AB; CD); которое будет являться банаховым относительно нормы

kT kL(AB; CD) = max (kT kA!C; kT kB!D) :

Определение 1.6 Пусть A; B и C; D две банаховы пары, E и F промежуточные пространства между A и B, C и D соответственно. Тройка (A; B; E) называется интерполяционной относительно тройки (C; D; F ); если для каждого ограниченного оператора из пары A; B в пару C; D его сужение на E является ограниченным из E в F .

Замечание 1.1 Если A совпадает с C, B с D и E с F , то пространство E называется интерполяционным между пространствами банаховой пары A и B.

1.2 Оптимальные интерполяционные пространства.

Теорема 1.1 (см. [1])(Теорема о существовании оптимального интерполяционного пространства.) Пусть E промежуточное пространство для банаховой пары A; B; а C; D другая банахова

9

1 Введение.

пара. Существует промежуточное для пары C; D пространство

F (E); обладающее тем свойством, что тройка A; B; E интерполяционна относительно тройки C; D; F тогда и только тогда, когда F (E) F:

Доказательство. Пусть

T 2 1(AB; CD);

где

1(AB; CD)

единичный шар пространства

L(AB; CD):

Введём

F

T (

E

) =

y

2

(

)

;

k

kFT (E) = x2E: y=T x k

x

kE

(1.1)

T

E

y

inf

Так как

kykC+D = kT xkC+D 6 kT kL(AB;CD)kxkA+B 6 kxkA+B 6 kxkE

( константа вложения пространства E в пространство A + B), то

kykC+D 6 kykFT (E);

а значит банахово пространство FT (E) вложено в C + D: Рассмотрим

[

F (E) = FT (E):

T 2 1(AB;CD)

Из того, что

8T 2 1(AB; CD) FT (E) (C + D)

10

1.2 Оптимальные интерполяционные пространства.

следует

F (E) (C + D):

Покажем теперь, что

C \ D F (E):

Возьмём произвольный элемент y 2 C \ D и покажем, что y 2

F (E): Пусть f некоторый функционал пространства (A + B)0 и

= max

fk

f

k

A0

k

y

k

C;

k

f

k

B0

k

y

k

D

g

;

введём одномерный оператор

T0x =

1

hx; fiy:

(1.2)

k

T

0kA!C

= sup

kT0xkC

= sup

1= jf(x)jkykC

=

x2A

kxkA

x2A

kxkA

k

k

x2A

kxkA

k

k

k

k

=

1

y

C sup

jf(x)j

=

1

f

A0

y

C:

Аналогично,

1

kT0kB!D =

kfkB0kykD:

Поэтому,

kT0kL(AB;CD) = maxfkT0kA!C; kT0kB!Dg =

1

= maxfkfkA0kykC; kfkB0kykDg = 1;

то есть

T0 2 1(AB; CD):

11

1 Введение.

Получаем

8x 2 (A + B)	1
	hx; fiy 2 FT0	(E);

а значит,

y 2 FT0 (E) F (E):

Покажем теперь, что норма k kF (E) мажорируется нормой k kC\D. В силу того, что является константой вложения E в A + B, для любого положительного " можно подобрать элемент x" так, чтобы выполнялось неравенство

1

kx"kA+B > 1= + "kx"kE:

Так как в формуле 1.2 был некоторый произвол в выборе функционала подберём его так, чтобы

f(x) = f"(x);

kf"k(A+B)0 = 1

и

hx"; f"i = kx"kA+B:

Тогда

kx"kA+B

=

kx"kA+B

; f" y = y:

T0

x"

1

x"

Далее из 1.1 вытекает

A+B E

6 (1= + ");

kykFT0 (E) 6

x"

(1.3)

x"

и так как

k k

= max nkfkA0kykC; kfkB0kykDo

6

12

1.2 Оптимальные интерполяционные пространства.

n o

6 max kfkA0kykC; kfkB0kykD; kfkA0kykD; kfkB0kykC =

n o

= max max kfkA0kykC; kfkA0kykD ;

n o

max kfkB0kykC; kfkB0kykD =

= max kfkA0 maxfkykC; kykDg; kfkB0 maxfkykC; kykDg =

n o n o

= max kykC; kykD max kfkA0; kfkB0 = = kykC\Dkfk(A+B)0 = kykC\D;

то из 1.3 получаем

kykF (E) 6 kykFT0 (E) 6 (1= + ")kykC\D:

Следовательно, в силу произвольности "; выполняется kykF (E) 6 1= kykC\D:

Последнее означает, что выполняется топологическое вложение

(C \ D) F (E):

Так как

8T 2 1(AB; CD) FT (E) F (E);

то

8 x 2 E T x 2 F (E):

Значит, тройка (A; B; E) является интерполяционной относительно тройки

(C; D; F (E)): Следовательно, если F (E) F; то тройка (A; B; E)

13

1 Введение.

интерполяционна относительно тройки (C; D; F ): Пусть теперь тройка (A; B; E) является интерполяционной относительно тройки (C; D; F ):

Возьмём произвольный элемент y 2 F (E) и покажем, что y 2 F:

Для элемента y существует счётный или конечный набор операторов

Ti 2 1(AB; CD)

такой, что

XX

y = yi;

kyikFTi(E) < 1:

ii

Кроме того

9xi 2 FTi(E) : yi = Tixi; kxikE 6 kyikFTi(E) +		1	:
		2i
Тогда
Xi	kxikE < 1
и

XX

kykF 6 kyikF = kTixikF 6

ii

X X

6 kTikE!F kxikE 6 kxikE < 1:

i i

Что завершает доказательство теоремы.

Определение 1.7 Пространство F (E) будем называть оптимальным интерполяционным пространством.

14