1.2Оптимальные интерполяционные пространства.

1.2.1Упражнения для закрепления материала

Упражнение 1.1 Показать, что пространство F (E) является интерполяционным между пространствами банаховой пары C и D.

Теорема 1.2 (см. [1]) Пусть A; B банахова пара, а F промежуточное пространство для банаховой пары C; D: Существует промежуточное между A и B пространство E(F ); обладающее тем свойством, что тройка A; B; E является интерполяционной относительно тройки C; D; F тогда и только тогда, когда

E E(F ):

Упражнение 1.2 Доказать теорему 1.2

Упражнение 1.3 Показать, что пространство E(F ) является интерполяционным между пространствами банаховой пары A и B.

15

2 Учебный модуль: K функционалы.

2.1 K функционал Петре.

2.1.1 Определение и основные свойства.

Определение 2.1 K функционалом Петре элемента x 2 A+B;

где A; B банахова пара, называется:

x=x1+x2fk	1kA	k	2kBg	; t > 0
K(t; x; A; B) = inf x		+ t x

Замечание 2.1 Далее наряду с K(t; x; A; B) будем использовать более краткую запись K(t; x):

Лемма 2.1 (см. [2])(Лемма о свойствах K функционала Петре.) Для любого x 2 A + B величина K(t; x; A; B) представляет положительную возрастающую и вогнутую функцию переменной t > 0 и справедливо неравенство:

K(t; x) 6 max(1; t=s)K(s; x):

Доказательство. Положительность и возрастание функции являются очевидными, поэтому перейдём к доказательству остальных утверждений леммы. Для доказательства вогнутости возьмём

t1; t2 > 0 и рассмотрим					k	1kA +	2	k	2kB	=
	2		= x=x1	+x2
K	t1 + t2	; x	inf		x		t1 + t2	x

17

2 Учебный модуль: K функционалы.

= x=x1

+x2

2k

1kA + 2 k

2kB + 2k

1kA + 2 k

2kB

>

inf

1

x

t1

x

1

x

t2

x

> x=x1+x2

2k

1kA +

2 k

2kB

+ x=x1+x2

2k

1kA + 2 k

2kB =

inf

1

x

t1

x

inf

1

x

t2

x

1 1

=2K(t1; x) + 2K(t2; x);

то есть

K	t1 + t2	; x >		1	K(t1; x) +		1	K(t2; x);
	2
			2			2

что и является вогнутостью. Покажем справедливость неравен-

ства:

x=x1+x2fk

1kA +

k

2kBg =

K(t; x) =

inf

x

t x

= x=x1+x2 k

1kA + s k

2kB

6

inf

x

t

s x

6 x=x1

+x2

1

s

k

1kA

+ max 1

s

k

2kB

=

inf

max

;

t

x

;

t

s x

=max 1; st K(s; x):

Что и требовалось доказать.

2.1.2 Упражнения для закрепления материала

Из возрастания и вогнутости функции на полуоси непосредственно

следует её непрерывность. Сформулируем данное утверждение в

качестве упражнения.

18

y=y1+y2

inf

inf

x=x1+x2

2.1 K функционал Петре.

Упражнение 2.1 Доказать, что функция K(t; x) переменной t >

0 непрерывна.

2.1.3Эквивалентность K функционала Петре норме банахова пространства

Лемма 2.2 (см. [2])(Лемма о равносильности K функционала Петре норме банахова пространства.) K функционалом Петре является нормой пространства A + B, эквивалентной норме kxkA+B:

Доказательство. Очевидно, что K(t; x) > 0 и кроме того, если

K(t; x) = 0; то для x = x1 + x2 следует kx1kA = 0 и kx2kB = 0:

Следовательно x1 = 0; x2 = 0 и соответственно x = 0: Рассмотрим

K(t; x) =

x= x1+ x2fk

x

1kA +

t

k

x

2kBg =

inf

= x=x1+x2fj jk

x

1kA

j jk

x

2kBg

=

inf

+ t

= j

j x=x1+x2fk

x

1kA

+

t

k

x

2kBg

:

inf

Пусть инфинум

fkx1kA + tkx2kBg

достигается на разложении x = x01 + x02; а fky1kA + tky2kBg

на разложении y = y10 + y20 ; тогда

K(t; x + y) 6

19