2.2 K(p1;p2) функционал.

тогда

1

X

nj

p1

nj

p2

K

;p2)(

t; x l

p1 (

a

; l

b

inf

( y

a

t z

b

)

(p1

;

n)

p2 ( n)) =

x=y+z

j n

+ j

n

n=1

2.2.2 Упражнения для закрепления материала

Упражнение 2.5 Проведите подробное доказательство следствия 2.1.

2.2.3 K(p1;p2) функционал

Определение 2.6 K(p1;p2) функционалом элемента f(x) 2 A+B;

где

A = Lp1a(X; ) и B = Lp2b(X; )

банахова пара, называется:

K(p1;p2)(t; f(x)) = K(p1;p2)(t; f(x); A; B) =

Z

=min (jf(x)a(x)jp1 ; tjf(x)b(x)jp2 ) d ; t > 0

X

Определение 2.7 K(p1;p2) функционалом элемента x 2 A + B;

где

A = lp1 (an) и B = lp2 (bn)

банахова пара, называется:

1

X

K(p1;p2)(t; x; A; B) = min (jxnanjp1 ; tjxnbnjp2 ) ; t > 0

n=1

29

2 Учебный модуль: K функционалы.

2.2.4 Равносильности K(p1;p2) и K(p1;p2) функционалов

Лемма 2.5 (см. [3])(Лемма о равносильности K(p1;p2) и K(p1;p2)

функционалов.) Пусть

A = Lp1a(X; ); B = Lp2b(X; );

тогда

{(p1;p2)K(p1;p2)(t; f(x)) 6 K(p1;p2)(t; f(x)) 6 K(p1;p2)(t; f(x)); t > 0;

где

{(p1;p2) = inf (xp1 + yp2 ) :

x+y=1

Если

0 < p1; p2 6 1;

то

K(p1;p2)(t; f(x)) = K(p1;p2)(t; f(x):)

Доказательство. Очевидно что

inf	(jf1(x)a(x)jp1 + tjf2(x)b(x)jp2 ) 6

f(x)=f1(x)+f2(x)

6 min (jf(x)a(x)jp1 ; tjf(x)b(x)jp2 ) ;

так как

jf(x)a(x)jp1

соответствует

(jf1(x)a(x)jp1 + tjf2(x)b(x)jp2 )

при f1(x) = f(x) и f2(x) = 0; а

tjf(x)b(x)jp2

30

2.2 K(p1;p2) функционал.

соответствует

(jf1(x)a(x)jp1 + tjf2(x)b(x)jp2 )

при f1(x) = 0 и f2(x) = f(x): Что означает

K(p1;p2)(t; f(x)) 6 K(p1;p2)(t; f(x)):

Докажем вторую часть неравенства.

				jf1(x)a(x)jp1 + tjf2(x)b(x)jp2 =
=		f x		p1		f x		p2	>
	f1((x))			jf(x)a(x)jp1 + t	f2((x))			jf(x)b(x)jp2

>		f x			p1		f x		p2	min (jf(x)a(x)jp1 ; tjf(x)b(x)jp2 ) ;
	f1((x))				+	f2((x))
тогда
					inf		(jf1(x)a(x)jp1 + tjf2(x)b(x)jp2 ) >

f(x)=f1(x)+f2(x)

> {(p1;p2) min (jf(x)a(x)jp1 ; tjf(x)b(x)jp2 ) :

Для доказательства последнего утверждения леммы, достаточно показать, что при 0 < p1; p2 6 1

{(p1;p2) = 1:

Ясно что

{(p1;p2) 6 1;

для этого в

{(p1;p2) = inf (xp1 + yp2 )

x+y=1

31

2 Учебный модуль: K функционалы.

достаточно положить x = 1; y = 0: Пусть p = max(p1; p2); тогда

(xp1 + yp2 ) > (xp + yp) = (xp + (1 x)p) :

Найдём минимум функции

h(x) = (xp + (1 x)p)

на отрезке [0; 1]:

h0(x) = px1 p p(1 x)1 p

h0(x) = 0 ) x = 12

h(0) = 1; h(1) = 1; h(12) = 21 p > 1;

то есть

min (xp + (1 x)p) = 1:

x2[0;1]

В результате получаем

{(p1;p2) = 1:

Что и требовалось доказать.

Следствие 2.2 Пусть

A = lp1 (an); B = lp2 (bn);

тогда

{(p1;p2)K(p1;p2)(t; x; A; B) 6 K(p1;p2)(t; x; A; B) 6

6 K(p1;p2)(t; x; A; B); t > 0;

32

2.2 K(p1;p2) функционал.

где

{(p1;p2) = inf (xp1 + yp2 ) :

x+y=1

Если

0 < p1; p2 6 1;

то

K(p1;p2)(t; x; A; B) = K(p1;p2)(t; x; A; B)

Следствие 2.3

sup K(p1;p2)(t; f(x); Lp1a(X; ); Lp2b(X; )) < +1 , t>0 K(p3;p4)(t; g(y); Lp3c(Y; ); Lp4d(Y; ))

sup K(p1;p2)(t; f(x); Lp1a(X; ); Lp2b(X; )) < +1 t>0 K(p3;p4)(t; g(y); Lp3c(Y; ); Lp4d(Y; ))

Доказательство. Из леммы 2.5 получаем

{(p1;p2)K(p1;p2)(t; f(x); Lp1a(X; ); Lp2b(X; )) 6

K(p3;p4)(t; g(y); Lp3c(Y; ); Lp4d(Y; ))

6K(p1;p2)(t; f(x); Lp1a(X; ); Lp2b(X; )) 6 K(p3;p4)(t; g(y); Lp3c(Y; ); Lp4d(Y; ))

K(p1;p2)(t; f(x); Lp1a(X; ); Lp2b(X; ))

6 {(p1;p2)K(p3;p4)(t; g(y); Lp3c(Y; ); Lp4d(Y; )):

Что равносильно требуемому утверждению.

Следствие 2.4

sup K(p1;p2)(t; x; lp1 (an); lp2 (bn)) < +1 ,

t>0 K(p3;p4)(t; y; lp3 (cn); lp4 (dn))

sup K(p1;p2)(t; x; lp1 (an); lp2 (bn)) < +1

t>0 K(p3;p4)(t; y; lp3 (cn); lp4 (dn))

33

2 Учебный модуль: K функционалы.

2.2.5 Совпадении экстремальных множеств K(p1;p2) и K функционалов

Лемма 2.6 (см. [3])(Лемма о совпадении экстремальных множеств K(p1;p2) и K функционалов.) Пусть A1; A2 и B1; B2 две пары банаховых пространств, тогда для любых 0 < p1; p2 < +1

выполняется

K(p1;p2)(t; x; A1; A2)			K(t; x; A1; A2)
supt>0		< +1 , supt>0		< +1
	K(p1;p2)(t; y; B1; B2)		K(t; y; B1; B2)

Доказательство. Введём функционал

E(s; x) = inffkx x1kB : kx1kA 6 sg

и тогда

) = x=x1+x2fk

1kA

k

2kBg

K

(

;

A; B

=

t; x

inf

x

+ t x

= x1

fk

1kA

k

x

x

1kBg

s>0f

g

:

inf

x

+ t

= inf

s + tE(s; x)

Аналогично

K

(p1;p2)(

t; x A; B

inf

x

p1

+

t x

p2

;

) = x=x1+x2fk

1kA

k

2kB g =

inf

x

p1 + t

x

x

p2

= inf

s + tEp2 (s

1

; x)

;

p1

= x1 fk

1kA

k

1kB g

s>0f

g

или если положить

1

E(p1;p2)(s; x) = Ep2 (sp1 ; x);

то

K(p1;p2)(t; x; A; B) = inffs + tE(p1;p2)(s; x)g:

s>0

34

2.3 J функционал.

Следовательно,

) = t>0

t

(

t

E

s; x

sup

K(t; x; A; B)

s

(p1;p2)( ) = t>0

t

t

K(p1;p2)(t; x; A; B)

s

E

s; x

sup

:

Тогда справедлива следующая цепочка равносильных неравенств

K(t; x; A1; A2) 6 K(t; a; B1; B2); t > 0 ,

E(s; x) 6 E(s; a); s > 0 ,

E(p1;p2)(s; x) 6 E(p1;p2)(s; a); s > 0 ,

K(p1;p2)(t; x; A1; A2) 6 K(p1;p2)(t; a; B1; B2); t > 0

то есть
K(p1;p2)(t; x; A1; A2)			K(t; x; A1; A2)
supt>0		< +1 , supt>0			< +1:
	K(p1;p2)(t; y; B1; B2)		K(t; y; B1; B2)
Что и требовалось доказать.
2.3 J функционал.
Определение 2.8 J функционалом элемента x 2 A					B; где A;
B банахова пара, называется:			T

J(t; x; A; B) = maxfkxkA; tkxkBg; t > 0

Замечание 2.3 Далее наряду с J(t; x; A; B) будем использовать более краткую запись J(t; x):

35

2 Учебный модуль: K функционалы.

2.3.1 Свойства J функционала

Лемма 2.7 (см. [2])(Лемма о свойствах J функционала.) Для

T

любого a 2 A B; где A; B банахова пара, величина J(t; a) является положительной возрастающей выпуклой функцией от t;

удовлетворяющей условиям:

1.

J(t; a) 6 max(1; t=s)J(s; a)

2.

K(t; a) 6 min(1; t=s)J(s; a)

Доказательство. Очевидно что функция положительная и воз-

растающая, докажем выпуклость.														2 kxkB
	J			1	2			2	= max kxkA;			1	2			=
			t		+ t							t	+ t
				=		1	max (2kxkA; (t1 + t2)kxkB) 6
						2
6	1	(max (kxkA; t1kxkB) + max (kxkA; t2kxkB)) =
	2
									1		(J(t1) + J(t2)) ;
										2

что и означает выпуклость. Докажем теперь первое условие леммы. Рассмотрим два случая, в первом пусть t > s; тогда

t t

sJ(s; a) = s max(kakA; skakB) =

t

max(skakA; tkakB) > max(kakA; tkakB) = J(t; a):

36

2.3 J функционал.

Во втором случае t 6 s и тогда

J(s; a) = max(kakA; skakB) > max(kakA; tkakB) = J(t; a):

Следовательно, объединяя оба случая, получаем первое условие. Заметим, что для a 2 A \ B выполняется

K(t; a) 6 min(kakA; tkakB);

так как в этом случае возможны разложения a = a + 0; a 2 A; 0 2 B

и

a = 0 + a; 0 2 A; a 2 B:

Тогда для доказательства последнего условия леммы достаточно показать, что

min(kakA; tkakB) 6 min(1; t=s)J(s; a);

которое обозначим K (t; a) 6 min(kakA; tkakB): Разобъём доказательство условия на несколько случаев.

1. t 6 s; очевидно что тогда

min(1; st ) = st :

a)

kakA 6 tkakB 6 skakB;

тогда

K (t; a) = kakA; J(t; a) = tkakB; J(s; a) = skakB:

37

2 Учебный модуль: K функционалы.

K (t; a) = kakA 6 tkakB =

t t

= sskakB = min(1; s)J(s; a)

b)

tkakB 6 kakA 6 skakB;

тогда

K (t; a) = tkakB; J(t; a) = kakA; J(s; a) = skakB:

	K (t; a) = tkakB =
t	t

sskakB = min(1; s)J(s; a)

c)

tkakB 6 skakB 6 kakA;

тогда

K (t; a) = tkakB; J(t; a) = tkakA; J(s; a) = kakA:

	K (t; a) = tkakB =
t	t	t

sskakB 6 skakA = min(1; s)J(s; a)

38

2.3 J функционал.

2. t > s; очевидно что тогда

min(1; st ) = 1: a) kakA 6 skakB 6 tkakB, тогда

K (t; a) = kakA; J(t; a) = tkakB; J(s; a) = skakB:

K (t; a) = kakA 6

t

6 skakB = min(1; s)J(s; a) b) skakB 6 kakA 6 tkakB, тогда

K (t; a) = kakA; J(t; a) = tkakB; J(s; a) = kakA:

K (t; a) = kakA = min(1; st )J(s; a) c) skakB 6 tkakB 6 kakA, тогда

K (t; a) = tkakB; J(t; a) = kakA; J(s; a) = kakA:

K (t; a) = tkakB 6

t

6 kakA = min(1; s)J(s; a)

Объединяя все случаи получим

K (t; a) 6 min(1; st )J(s; a);

что завершает доказательство.

39