2 Учебный модуль: K функционалы.
6 inffkx1 + y1kA + tkx2 + y2kB : x + y = x1 + y1 + x2 + y2g 6
6 inffkx1kA + ky1kA + tkx2kB + ky2kB : x + y = x1 + y1 + x2 + y2g 6
6 fkx01kA + ky10 kA + tkx02kB + ky20 kBg =
x=x1+x2fk |
x |
1kA |
k |
2kBg |
y=y1+y2fk |
y |
1kA |
k |
2kBg |
= |
= inf |
|
+ t x |
|
+ inf |
|
+ t y |
|
= K(t; x) + K(t; y):
То есть данный функционал действительно является нормой. Покажем теперь, что он эквивалентен норме kxkA+B: Так как
kxkA+B = K(1; x);
то согласно лемме 2.1
min(1; 1=t)K(1; x) 6 K(t; x) 6 max(1; t)K(1; x);
что и означает эквивалентность норм.
2.1.4 Упражнения для закрепления материала
Определение 2.2 Весовым пространством p суммируемых по-
следовательностей будем называть:
lp(an) = |
8x = (x1; x2; : : : ) : |
x |
k |
= vp |
1 |
xn |
panp |
< |
1 |
; an > 0 |
9 |
: |
|
< |
k |
un=1 j |
|
j |
|
|
= |
|
|||
|
|
|
|
uX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20
2.1 K функционал Петре.
Упражнение 2.2 Покажите, что верно следующие равенство
1
X
K (t; x; l1(an); l1(bn)) = jxnj min(an; tbn); x = (x1; x2; : : : )
n=1
2.1.5 Геометрическая интерпретация.
Определение 2.3 (см. [2]) Каждому элементу a 2 A+B поставим в соответствие множество точек плоскости
(a) = f(x; y) 2 R2 : 9a1 2 A; a2 2 B; a1 + a2 = a;
ka1kA 6 x и ka2kA 6 yg;
которое называется множеством Гальярдо.
Лемма 2.3 (см. [2])(Лемма о множестве Гальярдо.) Множество Гальярдо является выпуклым множеством в R2 и выполняется равенство
K(t; a) = inf(x+ty : M(x; y) 2 (a)) = inf(x+ty : M(x; y) 2 @ (a)):
Доказательство. Возьмём две точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2) принадлежащии множеству Гальярдо и проверим что точки вида
M(x; y) = M( x1 + (1 )x2; y1 + (1 )y2)
тоже принадлежат множеству Гальярдо. Это и будет означать его выпуклость. Так как
M1(x1; y1) 2 (a)
и
M2(x2; y2) 2 (a);
21
2 Учебный модуль: K функционалы.
то существуют разложения
a = a11 + a12;
a = a21 + a22
такие что
ka11kA 6 x1; ka12kB 6 y1; ka21kA 6 x2; ka22kB 6 y2:
Составим новое разложение
a= a + (1 )a =
=( a11 + (1 )a21) + ( a12 + (1 )a22);
тогда
k a11 + (1 )a21kA 6
6 ka11kA + (1 )ka21kA 6 6 x1 + (1 )x2 = x
и
k a12 + (1 )a22kB 6
6 ka12kB + (1 )ka22kB 6 6 y1 + (1 )y2 = y:
Что и означает выпуклость. Далее
K(t; a) = inf fka1kA + tka2kBg =
22
2.1 K функционал Петре.
=inffx + ty : a = a1 + a2; ka1kA = x; ka2kB = yg =
=inffx + ty : a = a1 + a2; ka1kA 6 x; ka2kB 6 yg =
= inf(x + ty : M(x; y) 2 (a));
что завершает доказательство.
Из леммы непосредственно вытекает геометрическая интерпретация. Пусть задано семейство прямых y = 1t x+b; где b параметр. Так как согласно лемме 2.3 множество Гальярдо выпуклое, то только одна прямая из семейства является касательной к кривой @ (a):
При этом точка касания M(x; y) является точкой в которой достигается инфинум из леммы 2.3, а абсцисса точки пересечения этой прямой с осью OX равна значению функционала K(t; a):
Пример 2.1 Пусть A = l1; B = l1(21n ) и en n ый элемент канонического базиса ортов в l1; то есть en = (0; 0; : : : ; 0; 1; 0; : : : )
(единица на n ом месте.) Тогда
1
(en) = (x; y) : x > 0; y > 0; y > 2n (1 x) :
И соответственно
23