3Учебный модуль: Орбиты элементов.

3.1 K орбита.

Определение 3.1 K орбитой элемента

		a 2 X1 + X2
в
		Y1 + Y2
называется
	KOrb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2)) =
=	y 2 Y1 + Y2	: supt>0 K(t; a; X1		; X2) < +1	;
			K(t; y; Y1	; Y2)

где X1; X2 и Y1; Y2 две банаховых пары.

При этом можно рассматривать

KOrb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2))

как банахово пространство с нормой

K(t; y; Y1; Y2) kykKOrb(a) = supt>0 K(t; a; X1; X2)

45

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

Замечание 3.1 В частном случае, если X1 = Y1 и X2 = Y2 будем

обозначать

KOrb(a; X1; X2) = KOrb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2))

3.1.1 Упражнения для закрепления материала

Упражнение 3.1 Показать, что

KOrb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2))

действительно банахово пространство с нормой

K(t; y; Y1; Y2) kykKOrb(a) = supt>0 K(t; a; X1; X2)

3.1.2 Лемма о структуре экстремального множества K функционала

Лемма 3.1 (Лемма о структуре экстремального

множества K функционала Петре.) Пусть X1; X2 и Y1; Y2 две банаховых пары и

a 2 X1 + X2; a 6= 0; y 2 Y1 + Y2; y 6= 0;

тогда следующие утверждения равносильны:

1.

sup K(t; y; Y1; Y2) < +1 t>0 K(t; a; X1; X2)

2.

K(t; y; Y1; Y2)

1 и

K(t; y; Y1; Y2)

1

lim

< +

lim

< +

K(t; a; X1; X2)

t!0

t!+1 K(t; a; X1; X2)

46

3.1 K орбита.

Доказательство. Так как K функционал представляет из себя положительную (см. лемму 2.1) и непрерывную (см. упражнение 2.1) функцию переменной t > 0; то функция

f(t) = K(t; y; Y1; Y2) K(t; a; X1; X2)

также будет непрерывна 8 t > 0: Следовательно на любом отрезке

[t1; t2]; 0 < t1 < t2;

функция f(t) является ограниченной.

Пусть выполняется первое утверждение. Предположим что при этом не выполняется второе, не нарушая общности рассуждений можно считать

K(t; y; Y1

; Y2)

1

lim f(t) = lim

= +

:

K(t; a; X1; X2)

t!0

t!0

То есть существует монотонно убывающая последовательность положительных чисел

fung1n=1

такая, что

lim f(un) = +1:

n!1

Поэтому

9n 2 N : f(un) > sup K(t; y; Y1; Y2) ; t>0 K(t; a; X1; X2)

что является невозможным, то есть предположение о несправедливости второго утверждения привело нас к противоречию.

Пусть теперь выполняется второе утверждение, покажем что тогда выполняется и первое. Обозначим

A = lim K(t; y; Y1; Y2) < +1 t!0 K(t; a; X1; X2)

47

	3 Учебный модуль: Орбиты элементов.
	и				K(t; y; Y1; Y2)
	B		lim				< + ;
		= t!+1 K(t; a; X1; X2)					1

тогда для фиксированного " > 0 существует h > 0 такой что 8t 2

(0; h) выполняется

f(t) < A + "

и для того же самого " существует l > 0 такой что 8t 2 (l; +1)

выполняется

f(t) < B + ":

Кроме того, как сказано выше,

9C > 0 : 8t 2 [h; l]; f(t) < C:

Следовательно

sup K(t; y; Y1; Y2) < t>0 K(t; a; X1; X2)

< max (A + "; B + "; C) < +1;

что и завершает доказательство.

Замечание 3.2 Последние утверждение леммы равносильно следующему:

t!0			K(t; a; X1; X2)		t!+1 K(t; a; X1; X2)					1
			K(t; y; Y1; Y2)	;				K(t; y; Y1; Y2)
max lim						lim				< +

3.1.3 Упражнения для закрепления материала

Упражнение 3.2 Проверьте справедливость следующего равенства

KOrb(a; (X1; X2) ! (Y1; Y2)) = KOrb(a; (X2; X1) ! (Y2; Y1))

48