3.3 Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит.

выполняется
	K(p1;p2)(t; x; A1; A2)		K(t; x; A1; A2)
supt>0		< +1 , supt>0		< +1
	K(p1;p2)(t; y; B1; B2)		K(t; y; B1; B2)

3.3Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит.

Теорема 3.3 (Теорема о представлении оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит.)

Пусть E промежуточное пространство для банаховой пары

A; B; а C; D другая банахова пара. Тогда пространство

[

F (E) = Orb(a; (A; B) ! (C; D))

a2E

обладает тем свойством, что тройка (A; B; E) интерполяционна относительно тройки (C; D; F ) тогда и только тогда, когда

F (E) F

(т.е. F (E) оптимальное интерполяционное пространство).

Доказательство. Обозначим

Orb(a) := Orb(a; (A; B) ! (C; D)):

Пространство F (E) содержит все элементы вида T x; где x 2 E

и

T 2 L(AB; CD):

Значит, тройка (A; B; E) является интерполяционной относительно тройки

(C; D; F (E)) и, если F (E) F; то тройка (A; B; E) интерполяционна относительно (C; D; F ):

59

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

По построению пространство F (E) состоит из элементов вида

XX

y = yi; kyikOrb(ai) < +1; yi = Tiai; Ti 2 L(AB; CD):

iai2E

При этом будем считать, что kaikE = 1: Этого всегда можно добиться, так как из yi = Ti ai следует yi = Tiai; kaikE = 1; где

ai = 1 ai kai kE

и

Ti = kai kE Ti :

Покажем теперь, что если тройка (A; B; E) интерполяционна относительно тройки (C; D; F ); то F (E) F:

По определению нормы в Orb(ai) найдётся оператор

Ti 2 L(AB; CD)

такой, что

1

kTikL(AB;CD) 6 kyikOrb(ai) + 2i :

Поэтому

X X X

kyikF = kTiaikF 6 kTikE!F kaikE = i i i

XX

=	kTikE!F 6 C kTikL(AB;CD) 6
i	i

6 C Xi	kyikOrb(ai) +		1	=
			2i
= C 1 + Xi		kyikOrb(ai)! < +1

и, следовательно, y 2 F: Таким образом, F (E) F:

60

3.3 Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит.

Замечание 3.3 В качестве нормы F (E) можно взять

kykF (E) = inf fkykOrb : a 2 E; T a = y kakEg :

3.3.1 Упражнения для закрепления материала

Упражнение 3.5 Проверьте что для k kF (E) выполняются все свойства нормы.

3.3.2 Вспомогательные утверждения

Докажем несколько вспомогательных утверждений:

Лемма 3.6 Для любых положительных чисел ; ; ;							спра-
ведливо неравенство		6		6 max	;
min ;			+				(3.4)
			+

Доказательство. Преобразуем выражение

+

; следующим об-

+

разом

1 +

+

=

(3.5)

+

1 +

и

+

+ 1

=

(3.6)

+

+ 1

Рассмотрим три различных случая:

1)

1 +

= 1;

1 +

тогда

)

)

1 +

= 1 +

=

61

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

+ 1

)

=

)

+ 1 =

+ 1 )

= 1:

+ 1

Следовательно, равенства 3.5 и 3.6 примут вид:

+

=

+

и

+

=

+

2)

1 +

> 1;

1 +

тогда

)

)

1 +

> 1 +

>

+ 1

)

<

)

+ 1 <

+ 1 )

< 1:

+ 1

Из 3.5 получаем

+

1 +

=

>

;

+

1 +

а из 3.6 получаем

+

+ 1

=

<

:

+

+ 1

3)

1 +

< 1;

1 +

62

3.3 Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит.

тогда

)

)

1 +

< 1 +

<

+ 1

)

>

)

+ 1 >

+ 1

)

> 1:

+ 1

Из 3.5 получаем

+

1 +

=

<

;

+

1 +

а из 3.6 получаем

+

+ 1

=

>

:

+

+ 1

Объединив все случаи получим требуемое:

;

min

;

6 + 6 max

:

+

Лемма 3.7 Пусть a(x) > 0 8x 2 (0;

+1);

p > 0:3 Для t > 0

введём множества

1

Q1(t) = fx > 0 : ap(x)

>

g

t

и

Q2(t) = (0; +1) n Q1(t):

Тогда, если существуют интегралы

Z

jf(x)jpdx

Q1(t)

63

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

и

Z

jf(x)jpap(x)dx;

Q2(t)

то

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))) =

=

Z

jf(x)jpdx + t

Z

jf(x)jpap(x)dx

Q1(t)

Q2(t)

Доказательство. Непосредственно из определения следует

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))) =

9

= f(x)=f1(x)+f2

(x) 8Z j ( )j

+ Z

j ( )j

( )

<

+1

pdx

+1

pap x dx

=

0

0

inf

f x

t

f x

:

при этом инфимум будет достигаться на сле-

Легко заметить, что:

;

дующем разложении f(x) = f1(x) + f2(x) :

8

> f(x); 8x : ap(x) > 1

> t

<

f1(x) =

>

:

> 0; 8x : ap(x) < 1

t

и

8

> 0; 8x : ap(x) > 1

> t

<

f2(x) =

>

:

> f(x); 8x : ap(x) < 1

t

Тогда

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))) =

+1		+1
= Z0	jf1(x)jpdx + t	Z0	jf2(x)jpap(x)dx =

64

3.3 Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит.

=	Z	jf(x)jpdx + t	Z	jf(x)jpap(x)dx:
	Q1(t)		Q2(t)

Следствие 3.1 Пусть функция a(x) > 0 монотонно убывает

8x 2 (0; +1): Тогда, если для любого положительного значения переменной x выражение t ap(x) принимает значение меньше 1, то

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))) =

	+1
= t	Z0	jf(x)jpap(x)dx = t kf(x)kLp p(a(x); (0; +1))

и

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))) =

	a 1(	1	)	+1
		tp
=	Z		jf(x)jpdx + t	1Z1			jf(x)jpap(x)dx
	0			a (		)
					tp

в противном случае.

Следствие 3.2 Пусть функция a(x) > 0 монотонно возрастает

8x 2 (0; +1): Тогда если для любого положительного значения переменной x выражение t ap(x) принимает значение больше 1, то

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))) =

+1

Z

= jf(x)jpdx = kf(x)kp 1

Lp(0; + )

0

и

K(p;p)(t; f(x); Lp(0; +1); Lp(a(x); (0; +1))) =

65

3 Учебный модуль: Орбиты элементов.

	+1				a 1(	1	)
						tp
=	1Z1			jf(x)jpdx + t	Z		jf(x)jpap(x)dx
	a (		)		0
		tp

в противном случае.

Лемма 3.8 Пусть

8x > 0 f(x) > 0; g(x) > 0; h(x) > 0;

и функции f(x) и g(x) интегрируемы по Лебегу на интервале

(0; v) для любого v > 0; а функция h(x) непрерывная и монотонно убывающая на (0; +1): Если 9D > 0 : 8v > 0

v

v

ZZ

f(x) dx 6 D g(x) dx;

		0	0
то	v	v
	Z0	f(x)h(x) dx 6 D Z0	g(x)h(x) dx 8v > 0:

Доказательство. Обозначим

A+(v) := fx 2 (0; v] : D g(x) f(x) > 0g

и

A (v) := fx 2 (0; v] : D g(x) f(x) < 0g:

Можно представить множества A+(v) и A (v) в виде следующих объединений измеримых множеств

!

[

A+(v) = A+i (v)

[

B+(v)

i

66

3.3 Представление оптимального интерполяционного пространства ввиде объединения орбит.

и

!

	[	[
A (v) =	Ai (v)	B (v);
	i

где

8i sup A+i (v) 6 inf Ai (v)

и

+Z	(D g(x) f(x)) dx > Z	(f(x) D g(x)) dx;
Ai (v)	Ai (v)

а множества B+(v) и B (v) имеют нулевую меру. Тогда

Z

h(sup A+i (v)) (D g(x) f(x)) dx >

				A+(v)
					i
		> h(inf Ai (v))			Z	(f(x) D g(x)) dx )
					Ai (v)
	+Z	(D g(x) f(x))h(x) dx > Z						(f(x) D g(x))h(x) dx )
Ai (v)						Ai (v)
A	+Z	(D g(x) f(x))h(x) dx > Z						(f(x) D g(x))h(x) dx )
	(v)					A (v)
			Z	f(x)h(x) dx +			+Z	f(x)h(x) dx 6
		A (v)				A (v)
		6 Z	D g(x)h(x) dx +				Z	D g(x)h(x) dx )

A+(v)

v

Z

A (v)
v
f(x)h(x) dx 6 D Z	g(x)h(x) dx:

0

0

Что и требовалось доказать.

67