2 Учебный модуль: K функционалы.
Следствие 2.5 Для любого фиксированного t > 0 функционал
T
J(t; x) является нормой в X1 X2:
Доказательство. Очевидно, что J(t; x) > 0 и кроме того, если J(t; x) = 0; то либо kxkX1 = 0 либо kxkX2 = 0 и в том и другом случае x = 0: Рассмотрим
J(t; x) = max(j jkxkX1 ; tj jkxkX2 ) =
= j j max(kxkX1 ; tkxkX2 ) = j jJ(t; x):
Для завершение доказательства осталось показать следующие
J(t; x + y) = max(kx + ykX1 ; tkx + ykX2 ) 6
6 max(kxkX1 + kykX1 ; tkxkX2 + tkykX2 ) 6
6 max(kxkX1 ; tkxkX2 ) + max(kykX1 ; tkykX2 ) = J(t; x) + J(t; y):
То есть данный функционал действительно является нормой.
2.3.2 Упражнения для закрепления материала
Упражнение 2.6 Доказать что J(t; x) является эквивалентной нормой к норме
kxkX1\X2 = max(kxkX1 ; kxkX2 )
в
\
X1 X2:
40
2.4K замкнутые подпары, банаховых пар.
2.4K замкнутые подпары, банаховых пар.
Определение 2.9 Пусть Y1замкнутое подпространство простран-
ства X1,
Y2 замкнутое подпространство пространства X2. Банахова пара
Y1; Y2 называется K замкнутой подпарой банаховой пары X1; X2;
если 9C > 0 :
K(t; x; X1; X2) 6 K(t; x; Y1; Y2) 6 C K(t; x; X1; X2)
8x 2 Y1 + Y2:
2.4.1Аналог теоремы Хана-Банаха для K замкнутой подпары, банаховой пары
Теорема 2.1 (см. [4])(Аналог теоремы Хана-Банаха для
T
K замкнутой подпары, банаховой пары.) Пусть Y1 Y2 всюду
T
плотно в Y1 и Y2, а X1 X2 всюду плотно в X1 и X2, тогда следующие два условия эквивалентны
1.Y1; Y2 K замкнутая подпара пары X1; X2
2.9C > 0 :
\
8g 2 Y1 Y2
можно продолжить до
\
f 2 X1 X2
так, что
kfkXi 6 C kgkYi ; i = 1; 2
41
2 Учебный модуль: K функционалы.
Доказательство. Обозначим
At = A1 \ 1t A2;
тогда
K(t; a; A1; A2) = kakA1+tA2 =
|
|
= |
|
2 |
|
sup |
6 |
|
ja (a)j |
= |
|
|
||||||||
|
|
|
a |
|
t |
|
k |
a |
k |
|
t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A ; a =0 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
||||||||
= |
|
sup |
|
|
|
|
|
|
|
|
ja (a)j |
a |
|
|
||||||
a |
2 |
A ; a =0 max |
k |
a |
k |
A |
; 1 |
k |
A |
|||||||||||
|
t |
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t k |
|
2 |
|||||||
Пусть верно первое условие, |
покажем что тогда выполняется и вто- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
рое. 9C > 0 :
K(t; x; X1; X2) 6 K(t; x; Y1; Y2) 6 C K(t; x; X1; X2)
8x 2 Y1 + Y2: Для
\
g 2 Y1 Y2
выберем
1
t > 0 : kgkY1 = t kgkY2 =
по теореме двойственности
= kgk(Y1+tY2) ;
следовательно g линейный ограниченный функционал на подпространстве Y1 + tY2 пространства X1 + tX2 с нормой
kgk(X1+tX2) =
jg(x)j
= sup 6 x2X1+tX2; x6=0 K(t; x; X1; X2)
42
2.4 K замкнутые подпары, банаховых пар.
jg(x)j
6 sup = x2X1+tX2; x6=0 K(t; x; Y1; Y2)
= C kgk(X1+tX2) = C
по теореме Хана-Банаха продолжим g до f
kfk(X1+tX2) =
= max |
kfkX1 ; t kfkX2 |
6 C ) |
|
|
1 |
|
|
kfkX1 6 C = C kgkY1
kfk1t X2 6 C )
kfkX2 6 t C =
1
= T C t kgkY2 = C kgkY2
Пусть теперь выполняется второе условие, возьмём y 2 Y1 + Y2; t > 0
и " > 0; тогда
|
|
9g 2 Y1 \Y2 |
|
|
|
K(t; y; Y |
; Y ) |
jg(y)j |
|
+ " |
|
6 max kgkY1 ; |
tkgkY2 |
||||
1 |
2 |
|
43
2 Учебный модуль: K функционалы.
так как существует продолжение
\
f 2 X1 X2
|
|
|
K(t; y; Y1; Y2) 6 |
|
|
|
6 |
C |
|
jf(y)j |
+ " |
6 |
|
|
max kfkX1 ; 1t kfkX2 |
|||||
|
|
6C K(t; y; X1; X2) + "
Всилу произвольности "
K(t; y; Y1; Y2) 6 C K(t; y; X1; X2)
и так как
K(t; x; X1; X2) 6 K(t; x; Y1; Y2)
очевидно получаем требуемое.
44