2 Учебный модуль: K функционалы.

y

p

p

p

p

p

p

p

p

p

6p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

y =

1x +

1

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

n

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

HH

t

2

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

HH

n

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

(t < 2 )

p

p

p

p

p

p (ep

p)

p

p

HH

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p p

p

np

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

HH

HH

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p p

p

p

p

p p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

1

HXp p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

n

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

2

qp

p

p

p

Hp

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

Hp

p p

p

p p

p

p p

p

Xp

p p

p

-p x

p

Hp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

tp

p

p

p

p

p

Hp

p

p

p

p

p

p

p

1p

p

p

n

2q

H p

p

p

Hqp

K(t; en) =	( 1; t > 2n
	t	; 0 < t < 2n
	n
	2

2.1.6 Упражнения для закрепления материала

Упражнение 2.3 Доказать следующие утверждения:

1. Если a 2 A; то 8x > kakA M(x; 0) 2 (a)

2.Если a 2 B; то 8y > kakB M(0; y) 2 (a)

3.Если (a) не имеет общих точек с осями координат, то a 2= A и a 2= B:

Упражнение 2.4 Найти K функционалы Петре K(t; a; A; B) элемента a банаховой пары A; B по заданным ниже множествам Гальярдо (a).

В каких случаях элемент a не принадлежит ни одному из пространств банаховой пары A; B?

24

2.1 K функционал Петре.

6p

p p

p p

p

p p p p

p

p p

p p

p

p p

p p

p

p p p p

p

p

p p

p

p

p p p p

p

p p p p

p

p

p

p p

5p p

p

p

y

p

p

p

p

p

p

p

p

C

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p p p

p p

p

p

p

p

p p p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p C

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p p

p

p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Cp

p p

p

p

p p p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p p p

p

p p

p

p p

p

p

p p p

p

p

p

p

p

p

p

Cp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

)p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p p

p

p(ap

p

p

p

p

p

p

p p

p

pC

p

p p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

2

Cp

p p p p

p p

p

p

p

p p

p

p p p

p p

p

p

p

p p

p

p p p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p@p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

1p p p p p p p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp p

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

pXp

p

-x

p p p p p p p

p p p p pp

p

p

p

p p

p p

p p

p

p p

p

p p

p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p

p p

1 2

p

p

p

5p

p

p

1.

y =

p

1

p

p

p

p

p

y6

p

p

p

p

p

p

p

xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p(ap

)p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

pp

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

-p

p

p p

p

p

p p

p

p p

p

p p

p

p

p

p pp p

p

p

x

2.

25

2 Учебный модуль: K функционалы.

y6

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

y = 1

2x x2

p

p

p

p

p

p

p(ap

)p

p

p

H

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

HH

p

p

p

pp

p

p

p

pp

p

p

p

p p

p

p

p

pp

p

p

p

p p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Hp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

H

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

-p

p

p

p p

p

p p

p

p p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p pp p

p

p

x

3.

6p

p

p

p p

p

p p p p

p

p

p p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p p

p

p

p

p

p

p

p p p p

p

p

p p p

4p

p

p

p

y

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

C

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Cp

p p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p p p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Cp

p p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p p

p p p p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

pC

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p(ap

)p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pCp

p

p

p

p

p

p

p

p

p p p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pCp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pC

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

1

p

p

Xp p

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

p

p

p

p

p

Xp

p

p

-x

p p p p p p p pp

p

p

p

p

p

p

p p p p

p p p

p

p

p

p p p

p p

p

p

p p

p

p

p

p p

1

p

4p

p

p

p

p

4.

26

2.2 K(p1;p2) функционал.

y =

p

1

p

p

p

p

p

2

y6

p

p

p

p

p

p

p

xp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p(ap

)p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

pp

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p

p

-p

p

p p

p

p

p p

p

p p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

p pp p

p

x

5.

2.2 K(p1;p2) функционал.

Определение 2.4 K(p1;p2) функционалом элемента x 2 A + B;

где A и B банахова пара, называется:

K

;p2)(

t; x

) =

K

;p2)(

t; x

A; B

inf x

p1

+ t x

p2

; t > 0

(p1

(p1

;

) = x=x1+x2fk

1kA

k

2kB g

Замечание 2.2 При pi = 1; i = 1; 2

K(p1;p2)(t; x; A; B) = K(1;1)(t; x; A; B) = K(t; x; A; B)

Определение 2.5 Пусть X пространство с мерой , введём весовое пространство p суммироваемых функций

Lpa = Lpa(X; ) =

=

8f(x) :

f(x)

Lpa =

f(x)a(x) pd

1

1=p

<

9

;

>

k

k

0Z j

j

1>

<

X

A

=

>

@

>

p > 0

:

;

27

2 Учебный модуль: K функционалы.

2.2.1 Представлении

K(p1;p2) функционала весовых пространств

Лемма 2.4 (см. [3])(Лемма о интегральном представлении

K(p1;p2) функционала весовых пространств.) Пусть

A = Lp1a(X; ); B = Lp2b(X; );

тогда

K(p1;p2)(t; f(x)) =

2( ) ( )j

= Z f(x)=f1(x)+f2(x)

(j 1(

)

(

)j

p1

+ j

p2

)

inf

f

x

a

x

t f

x b x

d

X

Доказательство.

K(p1;p2)(t; f(x)) =

)kLpb

= f(x)=f1(x)+f2(x)

k

1(

)kLpa

+

k

2(

=

inf

f

x

p1

t

f

x

p2

= f(x)=f1(x)+f2

(x) 0Z j

1

(

)

(

)j

p1 d + t

Z

j

2

( ) ( )j

p2 d

1

=

inf

@X

f

x

a

x

f

x b x

A

= Z

X

inf

(jf1(x)a(x)jp1 + tjf2(x)b(x)jp2 ) d :

f(x)=f1(x)+f2(x)

X

Что и требовалось доказать.

Следствие 2.1 Пусть

A = lp1 (an); B = lp2b(bn);

28