5Учебный модуль: Приложение метода орбит.

5.1Применение метода орбит к доказательству существования базиса.

5.1.1 Определения и вспомогательные утверждения.

Напомним ряд широко применяемых понятий и результатов (см., напр., [5, 6, 7, 8, 9]).

Определение 5.1 Две нормы, заданные в линейном пространстве E, называются согласованными, если всякая последовательность элементов пространства E, фундаментальная по каждой из этих норм и сходящаяся к некоторому пределу по одной из них, сходится к тому же пределу и по второй норме.

Определение 5.2 Счётно-нормированным пространством называется линейное пространство E, в котором задана счётная система попарно согласованных норм.

Замечание 5.1 Всякое счётно-нормированное пространство, с системой норм fk kng ; становится линейным топологическим,

81

5 Учебный модуль: Приложение метода орбит.

если за определяющую систему окрестностей нуля принять совокупность множеств Ur"; каждое из которых определяется номером r и положительным числом " и состоит из всех тех элементов x 2 E; которые удовлетворяют условиям:

kxk1 < "; :::; kxkr < ":

Определение 5.3 Пространством Фреше называется полное метризуемое линейное топологическое пространство.

Кроме того, топологию пространства Фреше всегда можно определить монотонной системой полунорм.

Пусть N - множество натуральных чисел и Q - любое множество индексов.

Определение 5.4 Матрицей Кёте называется множество чисел aq(n) (q 2 Q; n 2 N); удовлетворяющее условиям:

1)8n 9q : aq(n) > 0;

2)8k; r 9q; C > 0 : max(ak(n); ar(n)) 6 Caq(n); 8n:

Определение 5.5 Пусть k k - норма банахова пространства lp; 1 6 p 6 1. Пространством Кёте lp[aq(n)] называют локально выпуклое пространство всех числовых последовательностей (xn); n 2 N; для которых (xnaq(n)) 2 lp 8q; с топологией задаваемой системой полунорм

j(xn)jq = k(xnaq(n))k; q 2 Q:

82

5.1 Применение метода орбит к доказательству существования базиса.

Теорема 5.1 (см., например, [6]) Пространство Кёте lp[aq(n)]

отделимо, счётно-полно и имеет безусловный базис (en) с непрерывными коэффициентными функционалами (e0n):

И кроме того, если множество Q счётно, lp[aq(n)] есть пространство Фреше. В дальнейшем мы будем рассматривать только те пространства Кёте, для которых множество индексов Q счётно, поэтому имеет смысл привести эквивалентную формулировку определения пространства Кёте с счётным множеством Q:

lp[ar(n)] = 8x = (xn) :

1

= jxjr < +1 8r9

jxnjparp(n)!

<

1

p

=

n=1

:

X

;

1 6 p < 1

и

)] =

1[

r(

n

) :

n j

nj r

j

jr

< +

1 8

l a

n

x = (x

sup x

a

(n) = x

r

Пусть E – линейное пространство, j j – некоторая полунорма на

E,

U = fe 2 E : jej 6 1g

соответствующая окрестность нуля в E. На многообразии E=Zu

классов смежности E по (замкнутому) подпространству

ZU = fe 2 E : jej = 0g

полунорма j j уже будет нормой, пополнение E=Zu по данной норме обозначают EU и называют ассоциированным банаховым пространством. Ставя в соответствие каждому элементу e 2 E класс

83

5 Учебный модуль: Приложение метода орбит.

смежности fe + ZU g, мы получим каноническое отображение

U : E ! EU :

Если k k более сильная полунорма на E, т.е. kek > jej для e 2 E

(V = fe : kek 6 1g) ; то ZV ZU и аналогично определяется отображение

E=ZV ! E=ZU ;

которое по непрерывности продолжается до канонического отображения

UV : EV ! EU :

Топология пространства Фреше E всегда может быть определена монотонной системой полунорм

j j1 6 j j2 6 :::

и для ассоциированных банаховых пространств, которые для простоты вместо EUr мы обозначаем Er, справедливы вложения

E1 E2 ::: :

Теорема 5.2 (теорема о спектральном разложении)(см. [5]) Пусть E и F сепарабельные, гильбертовы пространства. Тогда

для каждого компактного отображения T 2 L(E; F ) существуют ортонормированные системы (ei) в E и (fi) в F и числовое семейство ( i); где все i > 0; такие, что

X

T x = i(x; ei)fi

i

для всех x 2 E:

84