Математика Сизов 2011

Производная ФКП. Условия Коши-Римана

Производной ФКП w=f(z) в точке z0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть

	w	.	(16.10)
f (z) lim	z
z 0

Функция, имеющая производную в точке, называется

дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Для ФКП справедливы правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного, степени, сложной функции, обратной функции:

n

n

ck

ck fk (z) .

fk (z)

k 1

k 1

f (z) g(z)

f (z)g(z)

f (z)g (z) ,

f (z)

f (z)g(z)

f (z)g (z)

,

g

2

(z)

g(z)

f ( (z))

f (u)

u ( z) (z) .

(16.11)

(16.12)

(16.13)

(16.14)

Очевидно, что между дифференцируемостью ФКП и дифференцируемостью её действительной и мнимой частями, как функций двух действительных переменных существует тесная связь.

Теорема. Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой

точке существуют	частные		производные её действительной части
u(x, y) Re f (z) и	мнимой		части		v(x, y) Im f (z)	и выполняются
условия Коши-Римана1
	u	v	,	u	v .	(16.15)
	x	y		y	x
Если u(x, y) и v(x, y)		дифференцируемы в точке (x0,y0) и в этой

точке выполняются условия Коши-Римана, то функция f (z) u iv дифференцируема в точке z0 x0 iy0 .

Таким образом, если ФКП дифференцируема, то вычисление её производной равносильно вычислению частных производных по x или y, т.е. справедливы следующие равенства:

1 или условия Даламбера-Эйлера.

242

	u	i	v	,	f		v	i	u	,
f (z)	x		x			(z)	y		y
	u	i	u	,	f		v	i	v	(16.16)
f (z)	x		y			(z)	y		x .

Из теоремы следуют правила исследования функции на дифференцируемость.

1)Для заданной функции f(z) найти действительную и мнимую части: u=Ref(z), v=Imf(z).

2)Найти частные производные функций u(x,y), v(x,y).

3)Проверить выполнение условий Коши-Римана. Точки, в которых эти условия не выполняются, являются точками, где функция не дифференцируема. Точки, в которых условия Коши-Римана выполняются и частные производные непрерывны, принадлежат области, где функция дифференцируема.

4)Записать выражение производной в точках дифференцируемости по одной из формул (16.16).

Определения производной и дифференциала ФКП дословно совпадают с определениями тех же понятий для функции действительного переменного. Поэтому почти все основные теоремы

иформулы дифференциального исчисления без изменения распространяются и на ФКП.

Таблица дифференцирования основных элементарных ФКП также сохраняется. Так, легко проверить, что

(zm ) mzm 1 , (sin z) cos z и т.д.

Функцию f(z), определённую в окрестности точки z0 D ,

называют аналитической2 в этой точке, если f(z) дифференцируема в некоторой окрестности точки z0. Функцию, аналитическую в каждой точке области D C , называют аналитической в этой области.2

Интегрирование ФКП

Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L (рис. 16.2) с началом в точке z0 и концом в точке z определена некоторая непрерывная функция f(z).

Разобьем кривую L на n частей (элементарных дуг) в направлении от z0 к z точками z0, z1, …, zn-1. В каждой «элементарной

2 а также голоморфной или регулярной.

243

дуге» zk 1zk	k 1,2,..., n выберем произвольную точку Ck и составим
интегральную сумму n		f (C k ) z k , где zk zk zk 1 .
	k 1

Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется интегралом от функции f (z) по кривой (по контуру) L и

обозначается символом f (z)dz :

			L
			f (z)dz
			L
	Приведем		основные
комплексного переменного.
y		L	z
yk		zk
	Ck
yk-1
	z2zk-1
	z1
O	z0 xk-1	xk	x

Рисунок 16.2

n

lim f (Ck ) zk .

max| zk | 0

(n ) k 1

свойства интеграла от функции

1. dz z z0 ;

L

2. f1(z) f2(z) dz f1(z)dz f2(z)dz;

L		L	L
3.	af (z)dz a f (z)dz ,		где	a –
	L	L
комплексное число;
4.	f (z)dz f (z)dz ,		т.е.	при
	L	L

перемене направления пути интегрирования интеграл меняет свой знак на противоположный;

5.		f (z)dz		f (z)dz		f (z)dz , где L L1	L2 , т.е. интеграл по
	L		L1		L2

всему пути L равен сумме интегралов по его частям L1 и L2. Множество называется связным, если любые две его точки

можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству. Область D называется односвязной, если её граница является связным множеством, в противном случае область называется многосвязной. Область D будет односвязной, если любой замкнутый контур можно непрерывно деформировать (стянуть) в точку, не выходя за пределы этой области.

244

y						y
						i
i							1		2 x
x
Рисунок 16.3				Рисунок 16.4
Например, область		z i		2 является				односвязной областью,
границей которой является окружность						z i		2	(рис.16.3); круговое

кольцо 1 z 2 представляет собой двухсвязную область (рис.16.4). Теорема (Коши). Если функция f (z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции по любому замкнутому

контуру L, лежащему в области D, равен нулю, то есть:
			f z dz 0 .					(16.17)
		L
Теорема. Пусть f (z)			аналитична в замкнутой					односвязной
области		и L – граница области D . Тогда:
	D
		f z0		1		f z0	dz ,	(16.18)
				2πi L z z0

где z0 – любая точка внутри области D , а интегрирование по контуру

L проводится в положительном направлении.

Интеграл (16.17) называется интегралом Коши, а формула

(16.18) называется интегральной формулой Коши. Формула Коши является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Она позволяет находить значения аналитической функции f (z) в любой точке z0, лежащей внутри области D через ее

значения на границе этой области.

Ряд Лорана

r | z y

Теорема. Любая аналитическая функция f (z) в кольцеz0 | R, (0 r R ) может быть разложена в ряд:

				f (z) cn (z z0 )n ,
						n
				1		f
r	R	где	cn		L		d ,	L	–
				2 i		z0 n 1
	z0	окружность с				центром в		точке	z0 ,

лежащая в кольце (рисунок 16.5). Данный ряд называется рядом

x Лорана.

Рисунок. 16.5

245

Ряд

Лорана

состоит

n

из

двух

частей:

f (z) cn(z z0)n cn(z

z0)n c n

n

n 0

n 1

(z z0)

Первая часть

f1(z) cn (z z0 )n

называется правильной частью

n 0

f1(z) внутри круга

ряда Лорана.

Этот

ряд сходится к

функции

| z z0 | R .

c n

Вторая

часть

f2 (z)

называется главной частью

z0 )

n

n 1 (z

f2 (z)

вне круга | z z0 | r .

ряда Лорана. Этот ряд сходится к функции

Внутри

кольца r | z z0 | R

ряд

cn (z z0 )n

сходится к

n

аналитической функции

f (z) f1(z) f2 (z) .

Особые точки

Точку z0 D ,

называется изолированной особой точкой (ИОТ)

функции f(z),

если у точки z0.

существует проколотая окрестность

0

U z0 z D : 0

z z0

r некоторого радиуса r, в которой данная

функция аналитична, но в самой точке z0 функция f(z) не определена или теряет аналитичность

Изолированные особые точки делятся на следующие типы:

1)Изолированная особая точка z0 называется устранимой,

если существует конечный предел: lim f (z) A.

z z0

2)Изолированная особая точка z0 называется полюсом, если

lim f (z) . При этом, если	lim(z z0 )m f (z) A ( 0, ) , то z0 –
z z0	z z0
полюс порядка m.

3)Изолированная особая точка z0 называется существенно

особой, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f(z), при z z0 .

В кольце 0 | z z0 | R разложим функцию в ряд Лорана:

f (z) cn (z z0 )n cn (z z0 )n		c n		n .
n	n 0	n 1	(z z0 )
	правильная часть	главная часть

По виду ряда Лорана можно определить тип изолированной особой точки:

1) Если ряд Лорана не содержит главной части, то точка z0 является устранимой особой точкой;

246

2)Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, то точка z0 является полюсом;

3)Если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, то точка z0 является существенно особой точкой.

Вычеты

Вычетом аналитической функции f (z) в изолированной особой точке z0 (обозначают Res f (z0 ) ) называется комплексное число, равное значению интеграла:

Res f (z0 ) = 21 i f z dz ,

L

где L – окружность с центром в точке z0 , целиком лежащая в области аналитичности функции f (z) , обход производится в положительном

направлении.

Если в формуле для коэффициентов ряда Лорана взять n 1, то получим:

c	1		1	f z dz	или Res f (z	) c	.
			2 i L		0	1

Таким образом, вычет есть комплексное число, равное коэффициенту ряда Лорана с индексом (-1).

Теорема (Коши) (основная теорема о вычетах). Если функция f (z) является аналитической в замкнутой области D , ограниченной

контуром L, за исключением	конечного числа особых точек
zk (k 1, 2, , n) , лежащих внутри области D, то
	n
f z dz 2 i Re sf zk .
L	k 1

Вычисление вычетов.

1)z0 – устранимая особая точка: Resf (z0 ) 0 .

2)а) z0 – простой полюс (полюс порядка 1):

Res f (z0 ) c 1 zlim(z z z0 ) f (z) .

0

Если f (z) g((zz)) , где (z0 ) 0, g(z0 ) 0, g (z0 ) 0 , то

Res f (z0 ) (z0 ) . g (z0 )

б) z0 – полюс порядка m:

Res f (z0 )	1	lim	d	m 1		(z z0 )m f (z) .
			dz		m 1
	(m 1)! z z0

3) z0 – существенно особая точка: Res f (z0 ) c 1 .

247

Преобразование Лапласа

Основными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Функция f (t) действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1.f (t) 0 при t 0;

2.f (t) – кусочно-непрерывна при t 0 , т.е. непрерывна или

имеет на каждом конечном интервале конечное число точек разрыва I рода;

3. при возрастании t функция f (t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции, т.е. найдутся такие числа M 0 и

s 0	, что		f (t)		M es0t .
0

Отметим, что все перечисленные условия выполняются для большинства функций, которые описывают физические процессы.

Изображением оригинала f (t) называется функция F ( p) комплексного переменного p, которая определяется интегралом:

F( p) f (t) e pt dt .

0

Переход от оригинала f (t) к изображению F ( p) называется

прямым преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом

f (t)	и	изображением	F ( p)	записывается	следующим
образом:		f t F p , при	этом оригиналы принято		обозначать

малыми латинскими буквами, а изображения соответствующими им большими латинскими буквами.

Свойства преобразования Лапласа

1.Линейность : c1 f1 t c2 f2 t c1F1 p c2 F2 p .

2.Подобие: f t 1 F p , 0.

3.Смещение: eat f t F p a .

4.Запаздывание: f t e p F p , 0.

5.Дифференцирование оригинала:

p F p f 0 ,f t

	f	t p	2	F p p f 0 f 0 ,
	3	F p		2
f t p				p f 0 p f 0 f		0 и т.д.

6. Дифференцирование изображения:

F p t f t ,

F p 1 2 t 2 f t ,

248

3

3

f t и т.д.

F p 1 t

t

f d

F p .

7. Интегрирование оригинала:

0

p

f t

8. Интегрирование изображения: F d

.

p

t

Таблица оригиналов и изображений

№

Оригинал

Изображение

№

Оригинал

Изображение

f (t)

F ( p)

f (t)

F ( p)

1

1

1

7

sh t

p

p2 2

2

eat

1

8

ch t

p

p a

p2 2

3

t

1

9

t sin t

2 p

p2 2 2

p2

4

tn , n

n!

10

t cos t

p2 2

p2 2 2

pn 1

5

sin t

11

t sh t

2 p

p2 2 2

p2 2

6

cos t

p

12

t ch t

p2 2

p2 2 2

p2 2

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа, имеющее вид:

		1	i
	f (t)		F( p) ept dp ,
		2 i
			i

где интеграл берется вдоль любой прямой Re p s0 .

На практике изображение F p в качестве ИОТ имеет полюса,

тогда этот интеграл обычно вычисляют с помощью вычетов по формуле:

	f t	1				F p e pt dp Re s F p e pt ; pk
				t						n
			2 i	t						k 1
		n				1			mk 1	F p e pt p pk mk ,
	f t lim
					mk 1 ! pmk 1
	k 1p pk

где mk – порядок полюса pk функции F(p).

249

Операционное исчисление может быть использовано при решении линейных дифференциальных уравнений и их систем. При этом предполагают реализацию следующего плана решения дифференциального уравнения:

1.Преобразовать дифференциальное уравнение в алгебраическое. Для этого переход от оригиналов к изображению осуществляют с помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы оригиналов и изображений .

2.Решить алгебраическое уравнение. Это значит найти изображение решения дифференциального уравнения.

3.Найти оригинал изображения, полученного в п.2, т.е. найти решение дифференциального уравнения. Для этого используют обратное преобразование Лапласа. Оригинал по изображению можно найти в простом случае с помощью таблицы оригиналов и изображений, в более сложном случае – с помощью вычетов.

16.2.Решение типовых примеров и задач

	Пример	1.	Найти	z	z	, z	z	,	z1	, z 5	,	если:
									z2
				1	2	1	2			1

z1 2 2i; z2 5i 3 .

Решение. Найдем сумму комплексных чисел:

z1 z2 2 2i 5i 3 2 3 2 5 i 1 7i ;

Найдем произведение комплексных чисел:

z1 z2 2 2i 5i 3 2 2i 3 5i 2 3 2 5 2 3 2 5 i

16 4i.

z1		Найдем частное комплексных чисел:
		2 2i 2 2i			2		2i 3	5i													i
2										2	3	2	5				2	3	2	5
		5i 3												3	2		5i	2
z			3 5i		3 5i 3 5i

4 16i 4 16i 2 8 i. 9 25 34 34 17 17

Возведем комплексное число z1 в степень.

Запишем комплексное число z1

в тригонометрической форме.

Найдем

модуль

комплексного

числа:

z

2 2i

22 22

8 2

2 . Найдем аргумент

комплексного

1

числа:

arg z arctg

2

arctg1 .

Итак, тригонометрическая

1

2

4

форма этого числа:

z1

2

2 cos

isin

.

4

4

250

Воспользуемся формулой Муавра:

z15			2	2						isin				5		2	2	5				5					isin			5
					cos														cos				4									4
								4			4
	5			2	5					5			5									2					2
2						cos					isin					32 4			2									i	128					128i.
										4				4								2					2

Пример 2. Исследовать на дифференцируемость функцию						f (z)
и найти её производную		f (z) (z 2)	3	; б)	f (z) (z i) e	2 z	.
	f (z) : а)

Решение. а) Найдем действительную и мнимую части функции. Учитывая, что z x iy, i2 1, запишем:

x jy 2 3 x 2 3 3 x 2 2 jy 3 x 2 jy 2 jy 3

x3 6x2 12x 8 jy 3x2 12x 12 y2 3x 6 jy3

x3 3xy2 6x2 6 y2 12x 8 j 3x2 y y3 12xy 12 y .

Действительная часть: u(x, y) Re f (z) x3 3xy2 6x2 6y2 12x 8.

Мнимая часть: v(x, y) Im f (z) 3x2 y y3 12xy 12 y .

Определяем частные производные:

u

x

3

2

2

2

2

2

x

3xy

6x

6 y

12x 8 x

3x

3y

12x 12 ,

u

x3 3xy2

6x2 6 y2 12x 8 y 6xy 12 y ,

y

v

3x

2

y y

3

12xy 12 y x

6xy 12 y ,

x

v

3x2 y y3

12xy 12 y y 3x2 3y2 12x 12 .

y

Условия Коши-Римана (4.15) выполняются: ux yv ; uy vx .

Непрерывность частных производных очевидна. Следовательно, функция дифференцируема.

Найдем производную по формуле (4.16):

	u	v		2		2	12x 12 i 6xy 12 y .
f (z) x		i x	3x		3y
б) Найдем действительную и мнимую части функции.
Учитывая, что z x iy			и применяя формулу Эйлера (4.5), получим
e 2 z e 2 x 2 yi	e 2 x cos 2 y isin 2 y . Тогда:

251