Математика Сизов 2011

сектором (рисунок 8.11).

Рисунок 8.11.

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:

	1
S		2d .	(8.2)
	2

Пример. Вычислить площадь ограниченной: а) лемнискатой Бернулли 2=a2cos2 ; б) трехлепестковой розой =acos3 .

Решение. а) Поскольку 2 0, то cos2 0. Отсюда получаем

2 k 2

2 k

k

k ,

2

2

4

4

где

k Z. Таким образом, данная

кривая расположена в двух секторах (см.

рисунок 8.12). Для нахождения искомой

площади

достаточно вычислить

четверть

площади,

а

затем

умножить

ее

на

4.

Рисунок 8.12.

Воспользуемся формулой (8.2):

1

/ 4

/ 4

S 4

2d 2 a2

cos 2 d

2

0

0

2a2

1 sin 2

4 a2

(sin

sin 0) a2 .

2

0

2

б) Поскольку 0,

то

cos3 0.

Тогда получаем:

2 k 3

2 k

2 k

2 k

,

2

2

6

3

6

3

где k Z. Таким образом, данная кривая будет

расположена

в

трех

секторах

(см. рисунок 8.13). Для нахождения искомой

площади

достаточно

вычислить

площадь

половины одного "лепестка" и умножить ее на

6:

/ 6

2 / 6

Рисунок 8.13.

S 6

1

2

d

3a

2

3 d

a

2

.

2

cos

4

0

0

132

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая y f (x) на					отрезке		[a; b] –	гладкая	(т.е.
производная y			f
				(x) – непрерывна), то длина соответствующей дуги
этой кривой находится по формуле:
				b	2
						dx .			(8.3)
				L 1 ( y )
				a			x x(t),	y y(t) (здесь
При параметрическом задании кривой
x x(t),	y y(t)			– непрерывно дифференцируемые функции)					длина

дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле:

	t2
	L		2		2	dt .	(8.4)
		(x (t))		( y (t))
	t1
Если гладкая кривая задана в полярных координатах
уравнением ( ) ,	,			то длина дуги равна:

Рис. 8.14.

L 2

0

L			2		2	d .	(8.5)
				( )
Пример.
	Найти			длину			кардиоиды
2a(1 cos )	(рис. 8.14).

Решение. Найдем производную :

2a(1 cos ) 2asin . Подставляя

вформулу (8.5) получим:

4a2 sin2 4a2 (1 cos )2 d

		2		4a2 sin2 4a2 8a2 cos 4a2 cos2 d
			0
2	8a2 8a2 cos d 2 2					2a 1 cos d 4					2a		2sin2
															2	d
0						0					0
4	2a															16a .
		2 sin		d 8a 2		cos				16a cos		2	cos0
		0		2		2			0
Вычисление площади поверхности вращения
	Пусть функция f(x)				неотрицательна и непрерывна вместе со

своей производной на отрезке [a,b]. Тогда площадь поверхности, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, будет вычисляться по формуле:

133

Пример.

Рисунок 8.15.

b	1 f (x) 2 dx .
S 2 f (x)		(8.6)

a

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox: а) отрезка прямой y x (0 x R) ; б) одной арки циклоиды x=a(t–

sint), y=a(1–cost).

Решение. а) Вычислим площадь поверхности, полученной вращением отрезка

прямой y x(0 x R) вокруг оси Ox (рисунок 8.15). Найдем производную: y (x) 1.

Подставляя в формулу (8.6) получим:

R

R

2

R

S 2 x

1 12 dx 2

2 xdx

2 2

x

2 R2 .

0

0

2

0

б) В параметрической форме формулу (8.6)

можно записать в

следующем виде:

t2

2

(x)

2

dt .

(8.7)

S 2 y(t) [x (t)]

y

t1

Тогда площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ox, будет равна:

								2
						S 2 a(1 cost) (asin t)2															a2 (1 cost)2 dt
								0
			2		2	1 cost					3					2	2						2 t				3									2	2				3 t
2	2 a											dt	2 2 a							2sin								dt		8 a									sin					dt
																									2																	2
					0												0																					0
				2																							cos		3		t				2
								2 t					t									t																64
		2																2												2													2
16 a						1	cos			d cos					16 a				cos																					a				.
								2					2									2						3											3
					0
Объем тела вращения																																			0
	Если						площадь							S(x)				сечения										тела										плоскостью,

перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке [a; b], то объем тела вычисляется по формуле:

b
V S(x)dx .	(8.8)

a

Выражение для функции S(x) получается достаточно просто в случае тел вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная

134

кривой y f (x), a x b , или x y , c y d , вращается вокруг оси

Ox или оси Oy соответственно, то объемы тел вращения вычисляются по формулам:

b	d
Vx f 2 (x)dx или	Vy 2 ( y)dy .	(8.9)
a	c

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой ( ) и лучами , , вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен:

	2
V		3 sin d .																					(8.10)
	3
Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной а) линиями	y			x	2	, x 0, y 2								2	вокруг							оси	Oy;	б)
				2
кардиоидой 2a(1 cos ) вокруг полярной оси.
		Решение. а) Используя формулу (8.9),
		найдем объем данного тела (рис. 8.16):
							2	2								y	2			2	2
		Vy							2 ydy 2													8 (ед.3).
Рисунок 8.16.								0								2				0
		б) Используя формулу (8.10), найдем
объем данного тела (рис.8.17):
					2					2a(1 cos ) 3 sin d
			V
							3		0
															3 d (1 cos )
					16a3 1 cos
Рисунок 8.17.							3			0
			3							4				3
		16a					(1 cos )							16a	4					64		3	1	3
																						a 21 a .
		3							4			0		3						3			3

8.3 Несобственные интегралы

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами – несобственные интегралы 1-го рода; 2)

интегралы от неограниченных функций – несобственные интегралы

2-го рода.

Несобственный интеграл I-го рода от функции f (x) в пределах от a до определяется равенством:

135

a

b
f (x)dx lim	f (x)dx .	(8.11)
b
a

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются:

a		a
	f (x)dx	lim	f (x)dx
		b
		b

и

b

f (x)dx lim f (x)dx . (8.12)

b a a

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке c						отрезка
[a;b] и непрерывна при		a x c и при c x b , то несобственный
интеграл 2-го рода определяется следующим равенством:
b		c	0	b
		0			f (x)dx .	(8.13)
	f (x)dx lim		f (x)dx lim
a		a		c

Несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, если оба предела в правой части существуют и конечны; если же хотя бы один из интегралов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример. Вычислить несобственные интегралы (или установить

dx

1

dx

их расходимость):

а) sin xdx ;

б)

; в)

x .

1 x2

0

0

Решение. а) Согласно формуле (8.12) получим:

sin xdx

b

sin xdx lim ( cos x)

b

cosb 1

1 lim cosb .

lim

lim

b

b

0

b

b

0

0

Предел не существует и несобственный интеграл расходится.

б) Используя четность подынтегральной функции и формулу

(8.12), получим:

dx

2

dx

2 lim

b

dx

2 lim

arctgx

b

2 lim

arctgb 2

.

1 x2

1 x2

b 1 x2

b

0

b

2

0

0

Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен . в) Используя формулу (8.13), получим:

1			1
dx		lim	dx		lim ln x		1	lim ( ln ) .
0	x	0		x	0			0

Следовательно, несобственный интеграл расходится.

136

8.4. Задания на контрольную работу

Задание 1. Найти неопределенные интегралы. Первый и второй проверить дифференцированием.

1. а) 2 2x 1dx,

	г)		dx		,
		3	2 sin x	cos x

2xdx

2.а) x2 2 ,

dx

г) sin2 x cos4 x ,

3. а) sin3 xcos xdx,

	г)	dx	,
		3cos x 2

4. а) ln2 x dx, x

г) tg2 xsin2 xdx,

б)

x3x dx,

в)

2x2 1

dx,

x3

5x2 6x

dx

д)

.

x

3

1 x

2

б)

x

2

sin 3xdx,

в)

x3

2x2 4

dx,

3

2

x (x 2 )

д)

dx

.

(x2 a2 )

x2 a2

б)

x2

2x e xdx,

в)

dx

,

x4

2x2

1

д)

xdx

.

x 1 3

x 1

5 x e

x

dx,

x4 1

б)

в)

dx,

x2 1

д)

1 x dx .

1 x

x

5. а)		arctg x	dx ,
		1 x2
г)	tg6 xdx,
6. а)	ex3 x2dx,

г) cos2 x dx, sin6 x

7.а) 6xsin x2 3 dx,

г) sin4 xcos4 xdx,

8.а) costg2xx dx ,

б)

3x2 5 ln xdx,

в)

dx

,

x

3

8

д) x2

4 x2 dx.

x4 3x3 3x2 5

б)

5x 1 e

2 x

dx,

в)

dx,

3

3x

2

3x

1

dx

x

д)

.

(x2 16)

9 x2

б) 2x 1 2

x

dx,

в)

x2 x 4

dx,

x 1 x 2 x 3

д)

x 1 1

dx.

x 1 1

4x x 2

б)

x5

x

dx,

в)

dx,

x 1 2

x2

1

2

137

г)			dx	,
			sin4 x
9. а)			dx		,
		1 x2 arctgx

г) cos3 x dx, sin4 x

10. а) e 1x dxx2 ,

д)

б)

д)

б)

x

x 3 x2

dx.

x

1 3 x

x

3

5x 1 ln xdx,

в)

2x

x 1

x2

1 2 dx,

x

dx.

x

3

x

2

x

2

cos xdx,

в)

2x2

3x 3

dx,

x 1 x2

2x 5

г) sin4 xdx,			д)	dx		.
				x 3	x2
Задание 2. Вычислить определенный интеграл.
9	dx					π/ 2
1. а)			,			б) x cos3xdx.
	3	x
0						0

	e
2.	а)	cos ln x dx				,
	1			x
	e3		dx
3.	а)				,
			x ln x
	2

2e2xdx

4.а) 1 e2x 3,

		2	2 ln xdx
		e				,
	5. а)
		1	x
		1	x2dx		,
	6. а)
			4 x	3
		0

1

7. а) x 2 x2 7 dx,

0

0dx

8.а) -11 3 x 1,

1/ 2 arctg 2xdx
9. а)		,
	1 4x2
0

	1/ 2
б)	x exdx .
	0
	π/ 2
б)	x sin xdx.
	0
	1
б)	x 5x dx .
	0
	1/ 2
б)	arcsin 2xdx .
	0
	1/ 2
б)	arctg 2xdx .
	0
	π/ 4
б)	x2 sin xdx .
	0

1

б) ln x 2 dx .

0

2

б) x ln xdx .

0

138

	2	e	2x	dx		1
					,	б) x arctg xdx .
	10.а)
				2x
	1	1 e				0

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

1. а) x e-x2 dx,

0

2. а) 0 x2 ex3 dx ,

-

xdx

3.а) - x2 1 3 ,

dx

4.а) -1 x2 x 1,

arctgxdx

5.а) ,-3 2

0 x 1

dx

6.а) 2 x ln2 x ,

ln xdx

7.а) ,

1 x

xdx

8.а) 0 x2 1 2 ,

dx

9.а) - x2 4x 7 ,

10. а) e- x dx ,

0

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

	1						dx
	0															.
					x2 4x 3
	2						dx							.
													2
	0 3 x -1
	2						xdx
	0							.
						x2 4
	1						x2dx
													.
					3 x3					1
	0
	2						dx
									.
							2
	0	(x-2 )
	4					dx
	3										.
						x - 3 3
	2						dx
	1														.
					x2 x 2
	1
	ln xdx .
	0
	3						dx
	1											.
					x 2 2
	2						dx
										.
				3			x 1
	-1

Задание 4. Задачи на геометрические приложения определенного интеграла.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y x2 1, y 12 x2 и прямой y 5 .

2. Вычислить длину дуги параболы y2 4x от вершины до

точки М(1;2).

3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси 0у

139

криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой xy 4 , прямыми y 1, y 2 и осью 0у.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

x 9cost

заданными уравнениями , y 2 y 2 .

y 4sin t

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярных координатах r cos2 .

6 Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически

x 5	t sin t
			, 0 t π.
уравнениями		cost
y 5 1

7.Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах r 2 1 cos , -π π/ 2 .

8.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси 0x фигуры, ограниченной графиками функций y x2 5x 6, y 0.

9.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси 0у фигуры, ограниченной графиками функций y x2-2x 1, y 0, x 2.

10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r 3 1 cos .

140

9.Дифференциальные уравнения

9.1.Краткие сведения из теории

9.1.1. Общие сведения

Дифференциальное уравнение (ДУ) – уравнение, связывающее аргумент (переменную) x, функцию y=f(x) и ее производные y′ ,y″,…,y(n) или дифференциалы этой функции.

ДУ называется обыкновенным, если функция y=f(x) является функцией одной переменной.

Порядок ДУ определяется порядком наивысшей производной (дифференциалом), входящей в уравнение.

ДУ n-го порядка имеет общий (неявный) вид:

F (x, y, y', y'', , y(n) ) 0

Решением ДУ (интегралом ДУ) называется функция y=f(x), которая при подстановке в ДУ обращает его в тождество.

Общее решение ДУ – функция, которая содержит столько неопределенных (произвольных) постоянных С1,С2,…,Сn, каков порядок ДУ. Геометрически – это семейство кривых.

Частное решение ДУ – решение, получаемое из общего решения, если каждой неопределенной постоянной придать конкретное численное значение. Геометрически – это одна кривая из семейства кривых.

9.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

В неявном виде дифференциальное уравнение первого порядка

представляется как:		dy	0 , где x – независимая переменная, y
	F x,y,
		dx

– искомая функция. В явном виде ДУ первого порядка представляется как: y′=f(x,y).

Дифференциальное уравнение вида	y f x g y	или
f1(x)g1(y)dy f2 x g2 y dx 0 , где f x ,g y .f1(x),	g1(y), f2(x),	g2(y)

– непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Оно позволяет разделить переменные x и y относительно знака равенства. Это разделение производят так, чтобы дифференциалы переменных dx и dy находились в числителях. В этом случае можно произвести

квадратурное интегрирование (по x и по y одновременно), а, значит,

решить ДУ.

141