Математика Сизов 2011

6.

x2 y2 dl , γ – дуга кривой

x a cost t sin t , y a sin t t cost ,0 t 2 .

7.

y2dl , γ – первая арка циклоиды x a t sin t , y a 1 cost .

2

2

8.

xydl , γ – четверть эллипса

x

y

1, x 0, y 0.

2

2

a

b

9.

dl

, OA – отрезок прямой, O 0,0 , A 1,2 .

x

2

y

2

4

OA

10.

xyzdl ,

γ

–

винтовая

линия

x acost, y asin t, z bt, 0 t 2 .

Задание 2. Найти массу дуги AB кривой γ если ее линейная плотность меняется по закону ρ(M).

1.: , x 0, y 0, A 3;0 , B 0;3 , M xy.

y 3sin t

: x cos3 t , x 0, y 0, A 1;0 , B 0;1 , M x2 y2.

2.y sin3 tx 3cost

3.	x 2sin t sin 2t				, x 0,	A 0;1 , B 0; 3 , M x.
	:
	y 2cost cos 2t
4.	x t sin t		, A 0;0 , B 2 ;0				, M y.
	:	cost
	y 1
5.	x cost t sin t
	:			, A 1;0 , B			;1 , M x.
	y sin t t cost					2

: x et cost sin t , A 1;1 , B e ; e , M x2 y2.

6.y et (cost sin t)

7.			2 sin t 2t cost
		2
	x t			, B 2 ; 2	2 , M x2	y2.
	:		, A 0;2
	y 2		t2 cost 2t sin t

177

: x 2 t sin t , A 0;0 , B 2 ;4 , M y2.

8.y 2 1 cost

	x 2cost	, x 0, y 0, A 2;0 , B 0;5 ,			M xy.
9. :
	y 5sin t
		3
	: x 2cos		t	, x 0, y 0, A 0;2 , B 2;0	, M xy.
10.
	y 2sin3 t

13.2. Криволинейный интеграл II рода

zA

zi

13.2.1. Определение

F(xi, yi, zi)	Криволинейным интегралом II рода
	от векторной функции F (x, y, z) по дуге
li	AB называется предел интегральной
	суммы

yi

n

___

___

xi

y

lim F (xi , yi , zi ) li

F (x, y, z) dl

F dl

x

B

n

i 1

AB

AB

l 0

Рис. 13.4.

где

,

F

–

(x, y, z) Fx (x, y, z)i

Fy (x, y, z) j Fz (x, y, z)k

непрерывная векторная функция (векторное поле) в трехмерном пространстве на дуге AB (рис.13.4),

l

i

xii

yi j zi k

– вектор i-ой элементарной дуги, на

____

которые разбита вся дуга AB,

(i 1, n) , направлен он по касательной к

элементарной дуге в сторону направления интегрирования,

xi , yi , zi – соответствующие координаты вектора

i ,

l

n – количество элементарных дуг,

в точке xi , yi , zi ,

(xi , yi , zi ) – значение векторной функции

F

F

принадлежащей i-ой элементарной дуге,

– скалярное произведение указанных векторов.

F

(xi , yi , zi ) li

При

переходе

от

интегральной суммы к ее

пределу

преобразуется в

и тогда

li xi i

yi

j

zi k

dl dxi

dyj

dzk

криволинейный интеграл II рода

Fx x, y, z i

Fy x, y, z,

Fz x, y, z k

dxi

dyj

dzk

Fx dx Fy dy Fz dz.

dl

F

j

AB

AB

AB

178

По последнему виду этот интеграл еще называют интегралом по координатам, а иногда линейным (в силу линейности подынтегрального выражения).

Последний вид интеграла понимается как

Fx dx Fy dy Fz dz Fx dx Fy dy Fz dz.

AB

AB

AB

AB

Если вектор

dxi

dyj

dzk

представить как произведение

dl

единичного вектора n

dx

dy

dz

i

j

k

на модуль вектора

dl

dl ,

dl

dl

dl

то

ndl f (x, y, z)dl , где скалярное произведение векторов

dl

F

F

AB

AB

AB

n

есть скалярная функция f(x,y,z). Этим самым показывается связь

F

криволинейных интегралов I и II родов.

Если F x, y, z – вектор силы на дуге AB, то скалярное произведение векторов F (xi , yi , zi ) li есть элементарная работа Ai

силы F на i-ой элементарной дуге, интегральная сумма – приближенное значение, а ее предел – точное значение работы A,

которую затрачивает сила F по дуге AB.

Механический смысл криволинейного интеграла II рода – это

есть работа, затрачиваемая силой

по дуге AB.

F

Если

векторная

функция

есть

напряженность

электростатического поля

x, y, z , то известные из электростатики

E

F

Fl

A

соотношения физических величин E

, El

U приводят

q

q

q

к тому, что

скалярное

произведение

векторов

xi , yi , zi

i –

l

E

элементарное электрическое напряжение на концах i-ой элементарной дуги, интегральная сумма – приближенное значение, а ее предел – точное значение электрического напряжения UAB на концах дуги AB.

Электротехнический смысл криволинейного интеграла II рода –

это есть электрическое напряжение между точками AB в электростатическом поле с напряженностью E.

U AB E dl.

AB

13.2.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода

Вычисление сводится к расчету определенного интеграла. Если дуга AB задана в трехмерном пространстве, а

интегрировать нужно по одной переменной (однократно), то задавать уравнение дуги AB нужно параметрическим образом.

179

x x(t)	dx xt dt
	dy yt dt
y y(t)
	dz zt dt
z z(t)

Тогда

t1 t t2 .

F dl Fx (x, y, z)dx Fy (x, y, z)dy Fz (x, y, z)dz

	AB	AB
t	Fx x(t), y(t), z(t) xt Fy x(t), y(t), z(t) yt Fz x(t), y(t), z(t) zt dt
2
t1		(13.6)

Если векторное поле F (x, y) задано на дуге AB в двухмерном

пространстве, то вычисление криволинейного интеграла II рода можно производить по любой из следующих формул.

1.Для дуги AB, заданной параметрическим образом:

x x(t), y y(t),t1 t t2

t

2 Fx x(t), y(t) xt Fy x(t), y(t) yt dt.

dl

F

AB

t1

(13.7)

AB,

2.

Для

дуги

заданной

гладкой

функцией

y y(x), y(a) A, y(b) B (рис. 13.2)

b Fx x, y(x) Fy x, y(x) yx dx

dl

F

AB

a

AB,

(13.8)

3.

Для

дуги

заданной

гладкой

функцией

x x( y), x(c) B, x(d ) A (рис. 13.2)

c Fx x( y), y xy Fy x( y), y dy

dl

F

AB

d

(13.9)

Если кривая интегрирования замкнута, т.е. A и B совпадают, то криволинейный интеграл II рода называется циркуляцией вектора F по контуру l:

Ц F dl .

l

При этом, очень важно указывать стрелочкой в контуре направление

интегрирования, т.к. для криволинейного интеграла II рода	.
AB	BA

180

z

B(x, y, z) z

C(x, y0, z0)

z0 x D(x, y, z0)

y0 y y

A(x0, y0, z0) x0

x

В практике вычислений криволинейного интеграла II рода особое место занимают интегралы инвариантные (независимые) от кривой интегрирования. Условия инвариантности выводят из формул Грина и Стокса и достаточно широко отображены в

литературе.

Для таких интегралов форма кривой безразлична,

Рис. 13.5.

поэтому выбирают такую форму, для которой расчет интеграла был

бы самым простым.

Классическим примером такого расчета являемся формула

определения потенциала векторного поля.

Если векторное поле

потенциально, то оно инвариантно к

F

кривой интегрирования. Тогда дугу AB заменяют на самую простую

ломаную AB (рис.13.5), состоящую из трех отрезков прямых

параллельных соответствующей одной из координатных осей. Тогда

уравнения каждого отрезка представляют собой одну из переменных

при постоянстве двух других переменных.

Потенциал φ векторного поля

равен:

F

.

dl

dl

dl

dl

F

F

F

F

AB

AC

CD

DB

y y ,dy 0

F dl Fx x, y, z dx Fy x, y, z dy Fz x, y, z dz

0

z z0 , dz 0

AC

AC

x

Fx x, y0 , z0 dx,

x0

z z0 , dz 0

F dl Fx x, y, z dx Fy x, y, z dy Fz x, y, z dz

x const, dx 0

CD

CD

y

Fy x, y, z0 dy,

y0

181

Fx x, y, z dx Fy x, y, z dy Fz x, y, z dz

x const,dx 0

dl

F

DB

DB

y const,dy 0

z

Fz x, y, z dz,

z0

x

y

z

Fx

x, y0 , z0

dx Fy x, y, z0

dy Fz x, y, z

dz.

dl

F

AB

x0

y0

z0

(13.10)

13.2.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

1.Вычисление работы A силы F по кривой AB.

A F dl .

AB

2. Вычисление электрического напряжения U в электростатическом поле с напряженностью E .

U E dl .

AB

3.Площадь фигуры на плоскости, например, на плоскости z

=0, ограниченной замкнутой линией γ.

S1 xdy ydx. 2

13.2.4. Типовые примеры решения криволинейных интегралов II рода

Пример 1. Вычислить

x2 2yz dx y2 2xz dy z2 2xy dz,

z

C

ABC

1

AB – отрезок прямой, BC – дуга

y x2 , z 1, A(1;0;0), B(1;1;1),C( 1;1;1).

B

Начертить линию интегрирования.

1

y

1

Решение. Линия интегрирования – рис.

13.6.

A

x

.

x2

ABC

AB

BC

Рис. 13.6.

2 yz dx y 2 2xz dy z 2 2xy dz

AB

AB :

y 0

z 0

, y z, x 1, dy dz, dx 0

1 0

1 0

182

	1														1											3								1
			y2 2y dy y2 2y dy 2 y2 2y dy 2																					y				y2										8.
	0														0							3												0				3
x2 2 yz dx y2 2xz dy z2 2xy dz
BC
	•		•BC : y x2 , z 1, dy 2xdx,dz 0•															•
			1													1														x	6					x		3					1
	x2 2x2 dx x4 2x 2xdx																		2x5			7x2 dx							2			7
			1												1														6						3								1
	1		1 1				7		1 1 14 .
	3						3				3
			8				14		2.
			3				3
ABC			Пример 2. Вычислить работу																			силового							поля
																																											при
																																					F
перемещении материальной точки вдоль дуги кривой γ от точки A до
точки B.										y2 z			z2 x								x2 y
																									,
								F				i								j			k
										x 2cost, y 2sin t,												A(2;0;0), B(0;2;1).
								:			z sin t,
			Решение. Нетрудно видеть, что при перемещении материальной
точки от A к B параметр t кривой γ меняется от 0 до 2 .
								y2 z dx z2						x dy x2								y dz •					• dx 2sin tdt, dy
						dl
A F
			AB						AB
2costdt, dz costdt,											0 t			2•		•

2							sin2 t 2cost 2cost 4cos2 t 2sin t cost dt
4sin2 t sin t 2sin t
0
2					t 2sin 2 t cost 4 cos2 t 4 cos3 t 2sin t cost dt
8sin3 t 2sin 2
0
2		1 cos	2		2		2	1 cos 2t	4	1 cos 2t		2	2	td sin t
8				t d cost				2		2	dt 2 sin
0					0							0
2
	1 sin2 t d sin t 2 2 sin td sin t
4
0					0

183

	8cost 8 cos	3	t	t	3 sin 2t 2 sin		3	t	4sin t 4 sin	3	t	2 sin	2	t		2
	3				2	3			3			2				0

3 2 ед. работы.

Пример 3. Найти циркуляцию вектора F вдоль контура , образованного пересечением двух поверхностей. Построить чертеж.

F 3yi zj 2xk , : x2 y2 9,

2x y z 2.

z

-3

3

x

Рис.13.7.

Решение. При пересечении данных поверхностей образуется контур – наклонный в пространстве эллипс (рис. 13.7). Чтобы найти

циркуляцию вектора F вдоль этого контура, необходимо вывести его аналитическое выражение в параметрической форме.

y x r cost, y r sin t, x2 y2 9,

r2 cos2 t r2 sin2 t 9, r2 9, r 3.

2x y z 2, 2r cost r sin t z 2, 6cost 3sin t z 2.

	x 3cost,	dx 3 sin t dt,
	y 3sin t,	dy 3costdt,
	6cost 3sin t,	dz 6sin t 3cost dt.
z 2
	0 t 2 .

Циркуляция вектора равна:

Ц F dl 3yi zj 2xk dxi dyj dzk 3ydx zdy 2xdz

2	3 3sin t 3 sin t 2 6cost 3sin t 3cost 2 3cost 6sin t 3cost dt
0

184

	2	27sin2 t 6cost 18cos2 t 9sin t cost 36cost sin t 18cos2 t dt
	0
	2	27sin2 t 36cos2 t 27sin t cost 6cost dt
	0
	2		27				1 cos 2t					36	1 cos 2t					27
									2					2				2			sin 2t 6cost dt
	0
	2			27				27	cos 2t			36		36		cos 2t			27			sin 2t 6cost
				2				2				2		2						2							dt
	0
	2		9		63			cos 2t		27		sin 2t											9	t	63	sin 2t		27	cos 2t			2
			2			2					2				6cost dt								2		4			4		6sin t		9 .
																																0
	0

13.2.5. Задания на контрольную работу

Задание 1. Вычислить интеграл, начертить линию интегрирования.

	1.	2 y x dx 4xyzdy xdz, AB – дуга y x2		3x 2, z 2,
		ABC	BC – отрезок прямой, A 1;0;2 , B 0;2;2 ;C 0;0;0 .
	2.	y x 2z dx 2xyzdy y 2 dz, ABС – ломаная,
		ABC	A 2;1;2 , B 1;1;0 ;C 1;2;1 .
	3.		2xyzdx 2z x y dy z x dz,	AB	–	дуга
			ABC
z 3	y, x 1;
			BC – отрезок прямой, A 1;1;1 , B 1; 1; 1 ;C 0; 1;1 .
	4.		x 2 y z dx y 3x 2 dy yzdz,	AB	–	дуга
			ABC
z	x 1, y 1;
			BC – отрезок прямой, A 2;1;1 , B 1;1;0 ;C 1;2;2 .
	5.		2 y 3x z dx 4xy 2z dy x2 zdz,	AB	–	дуга
			ABC
y 3x2 x 1, z 2;
			BC – отрезок прямой, A 1;3;2 , B 3;25;2 ;C 3;0;0 .
	6.	2x y z dx 2xy2 zdy 5x2 dz, AB – отрезок прямой,
		ABC	BC – дуга y z 2 4z 4, x 1, A 2; 3;1 , B 1;1;1 ;C 1;4;4 .
	7.	sin ydx x2 zdy y 2 xdz, AB – дуга y 2		x, z 0;
		ABC
			185

		BC – отрезок прямой, A 0;0;0 , B 4;4;0 ;C 4;0;4 .
8.		zdy	zdx xy2 dz, AB – дуга y 3 x, z 4;
	ABC	x	y
		BC – отрезок прямой, A 1;1;4 , B 8;2;4 ;C 8;0;0 .
9.		x2	y 2 z 2 dx x2 y 2	z 2 dy xyzdz,	AB	–	отрезок
прямой,	ABC
		BC – дуга y x3 , z 2,		A 0;1;0 , B 1;1;2 ;C 1; 1;2 .
10.		2 y 3x z 2 dx x cos y 2z dy z 2 dz,			AB	–	отрезок

ABC

прямой,

BC – дуга x2 z 2 1, y 0 , A 0;2;1 , B 0;0; 1 ;C 1;0;0 .

Задание 2. Вычислить работу силового поля F при перемещении материальной точки вдоль дуги кривой γ от точки A до точки B.

1.

F 2yi xzj yk , : x cost, y sint, z cost; A 1;0;1 , B 1;0; 1 .

2.

F xyi z2 j xk , : x cost, y sint, z 4 cost sint; A 1;0;3 , B 1;0;5 .

3.

F zi xzj y2k , : x 5cos t, y 5sin t, z 4; A 5;0; 4 , B 5;0; 4 .

4.

F xzi xj z2k, : x 2cost, y 2sint,z 1 2cost 2sint;A 2;0; 1 ,B 0;2; 1 .

5.

F y2i zj xyk, : x 2cost, y 3sint,z 4cost 3sint 2;A 2;0;2 ,B 0;3; 5 .

6.

F xi 2z2 j yxk , : x 3cost, y 4sint, z 6cost 4sint 1; A 3;0;7 ,B 0;4; 3 .

7.

F y2i xzj xk , : x 4cost, y 3sint, z cost 3sint 3; A 4;0; 2 , B 0;3; 6 .

8.

F zxi z2 j yk, : x 2cost, y sint,z 4cost sint 1; A 2;0;3 ,B 0;1; 2 .

186