Математика Сизов 2011

grad			A		2412 122		720 12 5.

Поле будет стационарно в тех точках, для которых

	0 , или x'					0 , ''y 0 .
grad
		'	3x	2		4xy y	2	0,
		x
		'	2x2 2xy 4 y 2 16 0.
		y

Разделив обе части первого уравнения на x2 0, получим:

3 4	y	(	y	)2	0 . Пусть	y	t , тогда t2 - 4t + 3 = 0,	t 1, t	2	3 ,
	x x					x		1

или y1 x1 , y2 3x2 .

Исходная система распадается на две простейшие системы:

	y1	x1 ,
	2x2		2x y		4 y 2	16.
		1		1 1	1
2x2	2x2		4x2	16, x2		4, x			2, y			2, x			3	2, y		3	2.
1		1	1		1,3		1				1
	y2	3x2 ,										2x22				2x2	3x2 4(3x2 )2 16 ,
			2x2 y2		4 y22		16.
	2x22
40x22,4 16 , x2				2	, y2		3 2	,		x4			2	,		y4 3			2 .
				5			5						5						5
	В точках			(2;2), (-2;-2),						2	;3	2		,			2		; 3	2		поле
										5		5					5			5
стационарно.
	Пример 2.			Вычислить				электрическое								напряжение					U	между

точками А и В электростатического поля напряженностью F двумя способами:

а) непосредственным вычислением криволинейного интеграла II рода, по заданному пути интегрирования , представляющего собой

ломаную АСВ, где АС – кривая линия, СВ – отрезок прямой;

	б)	с помощью электрических потенциалов ,									предварительно
исследовав поле F на потенциальность и определив сам потенциал
							2
F (6x 2 y2 )i				4xyj ;				2x 1,	0	x 3, А(0;1), С(3;4),
						x
						отрезок CB , 3				x 4;
	y					В(4;0).
								Решение.	2а). Путь интегрирования
4			C(3;4)
						от А до В (рис.15.3) имеет					точку излома С,
3						поэтому: U Edl Edl Edl .
2								AB		AC	CB
1	A(0;1)
				B(4;0)	x
	1	2	3	4				232

2

Edl

2 y

)i 4xyj

(dxi

dyj )

(6x

AC

AC

(6x 2 y2 )dx 4xydy

y x2

2x 1,

AC

Рисунок 15.3.

dy (2x 2)dx, 0 x 3

3

[6x 2(x2 2x 1)2]dx 4x(x2 2x 1)(2x 2)dx

0

3

x5

x4

x3

x2

3

(10x4 32x3 36x2

10x 2)dx (10

32

36

10

2x)

123.

0

5

4

2

2

0

(6x 2y2 )dx 4xydy

CB

:

x 3

y 4

, y 16 4x, dy 4dx,

E

dl

CB

CB

4 3

0 4

4

3 x 4

[6x 2(16 - 4x)2 ]dx 4x(16 - 4x)(-4)dx

3

4

x

3

x

2

4

(96x2 - 506x 512)dx 96

506

512x

75.

3

3

2

3

U

Edl 123 75 48 ед. электрического напряжения.

2б).

AB

на потенциальность.

Исследуем поле E

i

j

k

4xy

2

2

rotE

O

i

(6x 2y

)

O

j

4xy

(6x 2y

)

k

x

y

z

z

y

z

x

x

y

6x 2y2 4xy

0

4 y 4 y)k 0.

Векторное поле E – потенциальное. Найдём его потенциал.

x

y

z

E (x, y , z )dx

E

(x, y, z )dy

E (x, y, z)dz

E 0;

z z 0

x

0 0

y

0

z

z

0

x0

y0

z0

x

2

y

x2

2

x

y2

y

(6x 2y0 )dx

4xydy

6

2y0 x

4x

y0

2

2

x

y

x0

0

0

3x2 3x02 2y02x 2y02x0 2xy2 2xy02 3x2 2xy2 3x02 2x0 y02

3x2 2xy2 C.

Электрическое напряжение U
	Edl d (B) ( A) .
AB		AB

U (3x2 2xy2 C) B (3x2 2xy2 C) A

3 42 2 4 0 C 3 0 2 0 1 C 48 ед. эл.напряжения

233

Пример 3. Исследовать векторное поле F на соленоидальность и потенциальность. В случае потенциальности поля

x

i

yj

zk

(ньютоновское поле

F

найти его потенциал.

F

(x2 y2 z2 )3

сил тяготения).

Решение.

Поле F

соленоидальное, если divF

0 .

F

Fy

F

x

div F

x

z

, F

,

x

y

z

x

(x2 y2 z2 )3

Fx

(x

2

y

2

z

2

)

3

x

3

x

2

y

2

z

2

2x

2

(x2 y2 z2 )3

x

x2

y2

z2 (x2

y2 z2 3x2 )

x2 y2 z2 ( y2 z

2 2x2 )

.

(x2 y2

z2 )3

(x2 y2

z2 )3

y

Fy

(x

2

y

2

z

2

)

3

y

3

x

2

y

2

z

2

2 y

F

,

2

y

(x2 y2 z2 )3

y

(x2 y2 z2 )3

x2

y2

z2 (x2

y2 z2 3y2 )

x2 y2 z2 (x2 z

2 2 y2 )

.

(x2 y2

z2 )3

(x2 y2

z2 )3

z

, Fz

(x

2

y

2

z

2

)

3

z

3

x

2

y

2

z

2

2z

F

2

z

(x2 y2 z2 )3

z

(x2 y2 z2 )3

x2

y2

z2 (x2

y2 z2 3z2 )

x2 y2 z2 (x2 y2

2z2 )

.

(x2 y2

z2 )3

(x2 y2 z2 )3

div F x

2

y

2

z

2

(x

2

z

2

2x

2

)

x

2

y

2

z

2

(x

2

z

2

2y

2

)

(x2 y2 z2 )3

(x2 y2 z2 )3

x2

y2 z2 (x2 y2 2z2 )

(x2 y2 z2 )3

x2

y2

z2 (y2

z2 2x2 x2 z2

2y2 x2 y2 2z2 )

0.

(x2 y2 z2 )3

Ньютоновское поле сил тяготения – соленоидальное. Поле F потенциальное, если rotF 0.

234

i

j

k

F

Fy

F

F

Fy

F

rotF

z

i

x

z

j

x

k.

x y

z

z

x

y

z

x

y

Fx F

Fz

y

z

3

x2

y2 z2 2 y

Fz

z

2

2

2

2

2

2

2

3

;

y

y

(x

y

z

)

3

(x

y

z

)

Fy

y

y

3

x2 y2 z2 2z

2

2

2

2

3

2

2

2

3

;

z

y

(x

y

z

)

(x

y

z

)

3

Fx

x

x

x2

y2 z2 2z

2

;

2

2

2

3

2

2

2

3

z

z

(x

y

z

)

(x

y

z

)

Fz

z

z 3

x2 y2 z2 2x

2

2

2

2

3

2

2

2

3

;

x

x

(x

y

z

)

(x

y

z

)

Fy

y

y

3

x2

y2 z2 2x

2

2

2

2

2

2

2

3

;

x

(x

y

z

)

3

(x

y

z

)

x

Fx

x

x

3

x2 y2

z2 2 y

2

.

y

(x

2

y

2

z

2

)

3

(x

2

y

2

z

2

)

3

y

3zy

x2 y2 z2

3yz

x2 y2 z2

rotF

(x2

y2 z2 )3

(x2 y2

z2 )3

i

3xz

x2 y2 z2

3zx

x2 y2 z2

(x2 y2 z2 )3

(x2 y2 z2 )3

j

3yx

x2 y2 z2

3xy

x2 y2 z2

(x2 y2 z2 )3

(x2 y2 z2 )3

0 .

k

Ньютоновское поле сил тяготения – потенциальное.

:

Потенциал поля F

x

y

z

x

xdx

Fx (x, y0 , z0 )dx Fy (x, y, z0 )dy

Fz (x, y, z)dz

(x2

y

2

z2 )3

x

y

z

x

0

0

0

0

0

0

235

	y			ydy							z				zdz										x						3
																								1 (x2 y02						z02 ) 2 d(x2 y02 z02 )
			(x2 y2 z2 )3										(x2 y2 z					2 )3
y											z													2 x
0					0						0														0
1			y	(x2 y2 z2 )							3									1				z							3
											2 d( y2 x2 z2 )														(x2 y2 z2 ) 2 d(z2 x2 y2 )
	2 y				0										0					2 z
			0																					0
			2	1							x		2		1									y		2				1				z
			2	x2 y02 z02									2 x2 y2 z02													2 x2 y2 z2
											x0													y0										z0
				1									1												1						1
				x2 y2 z2							x2		y2		z2				x2 y2 z2											x2 y		2		z2
				0	0						0		0		0											0					0			0
				1									1												1						1
			x2 y2 z2							x2 y2 z2									x2 y2 z2											x2	y	2		z2
															0															0	0			0
				1			C.
				x2 y2 z2

15.4. Задания на контрольную работу по теме “Элементы теории поля”

Задание 1. В каком направлении скалярное поле изменяется с наибольшей интенсивностью (скоростью) при переходе через точку А? Чему равна эта скорость? Найти точки, в которых поле стационарно.

1.	ex (x y3 3y), A(2;-4) .
2.	x3 4x2 y 4 y2 x y3	1 y2	,	A(4; 2) .
		2

3.14 x4 14 y 4 12 x2 y 2 65x 20 y, A 2;4 .

4.2 ln x 3ln y 13 xy 3x 2 y, A 4;9 .

5.xyz 99x 77 y 63z, A 3;4;5 .

6.	2x3 19 x2 y 15xy2			3y3 16 y,	A( 2;3) .
		1 x3 y3	2
7.			16x 2 y, A(3;-2) .
		3

8.ex x2 xy 3y2 4x 4 y , A 2;3 .

9.14 x4 14 y4 32 x2 y 2 158x 185 y, À 4;2 .

10. 8xy 8x3 y3 8ln x 8ln y, A(2;3) .

236

Задание 2. Вычислить электрическое напряжение U между

точками А и В электростатического поля напряженностью E двумя способами:

а) непосредственным вычислением криволинейного интеграла II рода по заданному пути интегрирования , представляющего собой

ломаную АСB, где AC – кривая линия, CB – отрезок прямой;

б) с помощью электрических потенциалов , предварительно

исследовав поле

E на потенциальность и определив сам потенциал

.

м x

2

п

1. E = 2xyi + (x

+ 2) j ,

пe - 1, - 1Ј x Ј 1,

γ: y = н

x і

- 1;

потрезокCB, 1і

ж

ц

оп

1

Aз-

ч

(

)

(

1,e +

)

1; -

ч

1 , C 1;e - 1 , B -

1 .

з

e

ч

и

ш

м

3

п

0 Ј x

Ј

p ;

пcos x - 1,

п

2

2

п

2. E = (3 + 2 y

)i

+ 4xyj ,

g : y =

н

п

3

п

p

і

x і

p ;

потрезокCB,

2

ж

ц

оп

A(0;0), Cз3 p ;-

1ч, B(p ;1).

з

ч

ч

и2

ш

м

1

2

3

п

(

)

п

пln x -

1 ,

+ 1Ј

x Ј

e + 1,

3. E = 3x yi + (x

- 3)j , g : y

= н

e

п

п

x і

0;

потрезок CB, e + 1і

ж

ц

о

(

)

(

)

Aз1

+ 1;-

ч

1ч, C e + 1;1 , B 0;e .

з

ч

иe

ш

4.E =

A(-

м

2

пarctg x,

-

1Ј

x Ј

3;

4xyi + (2x

+ 3) j ,

п

g: y = н

п

3 Ј

x Ј 3;

потрезокCB,

ж

ц

о

1; p ), Cз

3; p

ч, B(3; p ).

з

ч

4

3

ч

4

и

ш

м

1

2

3

п

(

)

п

пln 1-

x , 1-

і x і - e + 1;

5. E = 3x yi + (x +

y) j ,

g : y = н

e

п

п

e + 1Ј x Ј

e;

потрезокCB, -

ж

ц

о

1

Aз1-

;-

ч

(-

e + 1;1), B(e;0).

1 , C

з

ч

e

ч

и

ш

м

-x

2

3

пe

2 -

2, 0 і

x і

- ln9;

п

6. E = 3x yi + (x + 2) j , g : y = н

п

-

ln9 Ј x Ј

ln9;

опотрезокCB,

A(0;- 1), C(- ln9;1), B(ln9;2).

237

м

x

п

п

+ 1, p Ј x Ј

4p ;

7. E = 3x

2

yi + (x

3

+ 3y

2

) j ,

пcos

2

g : y = н

п

п

x і p ;

потрезокCB, 4p і

о

A(p ;1), C(4p ;2), B(p ;- 2).

8.E = - e- x yi + (e- x + 2) j ,

A(0;0), C(p ;ep ), B(2p ;- 1).

м	x		x
п
пe		sin		, 0 Ј	x Ј	p ;
п			2
g : y = н
п
п						x Ј 2p ;
потрезокCB, p Ј
о

м

п

2

2

п

2 x - x

, 0 Ј x Ј

1 +

;

п-

2

п

2

9. E = y

i +

2xyj ,

g : y =

п

н

п

2

п

потрезок CB, 1 +

і

x і 1;

п

2

оп

ж

2

2

ц

з

ч

ч

A(0;0), C з1

+

;-

2

2

ч, B(1;1).

з

ч

и

ш

м

3

п

10. E =

y ln x i +

x(ln x -

1) j

g : y

=

п(x - 1 ) , 1 Ј x Ј 3;

н

п

опотрезок CB, 3 Ј x Ј 4;

A(1; 0) , C (3;8) , B (4;1).

Задание 3. Исследовать векторное поле F на соленоидальность и потенциальность. В случае потенциальности поля

F найти его потенциал.

s in z

3 ln

y

1

1.

F

4

i

j

x c o s z k .

2 x

x

x

3

y

2.

(

y

ln y 2x)

(ln x

x

1)

3

.

F

i

j

k

x

y

3.

F 3

z sin (3 x y ) i

1

z sin (3 x

y )

j

co s(3 x y ) k .

4

y

2 z

4.

(1 e x y co s x )

(e x y c o s y )

e z

.

F

i

j

k

2

1

1

2

5.

F 2 y

sin(2 x z)i

2 y cos(2 x z) j

y

sin(2 x z) k .

y

z

6. F (sin2 y y sin 2x)i (xsin 2 y cos2 x 1) j k .

7.

y4

sin y 4 y3 ln(xz)

y4

.

F

i

j

k

x

z

8.

(ex y cos(x y))

(ex y cos(x y) 2)

.

F

i

j

k

9.

4

3

3

1

2

F ( y

cos xk .

z

) sin x i

4 y

cos x

j 3z

2

y

( y ln(x 1))

(x 1 ey )

10. F

i

j

zk

.

238

16. Элементы теории функции комплексного переменного. Операционное исчисление

16.1. Краткие сведения из теории
Комплексные числа
Комплексными числами называются числа вида:
z x iy ,	(16.1)

где x и y – действительными числа, а i – мнимая единица,

определяемая равенством i		1		или	i2 1.
Числа x и y называются соответственно действительной и
мнимой	частями комплексного			числа		z	и	обозначаются:
x Re z,	y Im z.
Два комплексных числа			z1 x1		iy1	и z2 x2		iy2 считаются
равными	z1 z2 , если равны		их	действительные			и	мнимые части:
x1 x2 , y1 y2 .			z x iy и
Два комплексных числа						z x iy , отличающиеся

только знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

При сложении и вычитании комплексных чисел складываются и вычитаются их действительные и мнимые части:

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2 ) (x1 x2 ) i( y1 y2 ) .

Отметим, что сумма двух сопряженных комплексных числа есть действительное число, равное удвоенному значению действительной

части:

z z x iy x iy 2x .

Умножение комплексных чисел осуществляется по правилам:

z z (x iy ) (x iy ) x x x y i x y i y y i2																							(x x y y ) (x y x y )i.
1	2			1		1		2	2		1	2		2	1	1		2		1		2	1	2	1		2	1	2	2	1
Здесь учтено, что i2 1.
		Отметим, что произведение двух сопряженных комплексных
чисел							всегда							есть						действительное									число:
z z (x iy)(x iy) x2 y2 .
		Деление комплексных чисел производится следующим образом
		z1			x1 iy1					x1 iy1				x2 iy2							x1x2 y1 y2				i	x2 y1 x1 y2				,
														x		iy
		z	2		x	iy		2		x	iy		2		2		2					x2 y2					x2	y2
					2				2													2	2				2		2

т.е. сначала числитель и знаменатель умножается на число, сопряжённое знаменателю, а после этого производятся алгебраические преобразования.

Любое комплексное число (16.1) в декартовой системе координат можно изобразить в виде точки M(x,y) на плоскости. Такая плоскость называется комплексной, ось Ox – действительной осью,

ось Oy – мнимой осью (рисунок 16.1).

239

Соединив

точку

M(x,y) с

y=Imz

началом

координат,

получим

M(x,y)

вектор OM

.

Длина этого вектора

называется

модулем комплексного

r

числа z

и обозначается

|z| или

r:

z

r

x2 y2 .

Угол

,

образованный

вектором

с

x=Rez

OM

осью Ox называется аргументом z

Рисунок 16.1.

и

обозначается

Argz:

Arg z arctg

y

.

x

Тогда комплексное число (16.1) можно представить в

тригонометрической форме:

z r(cos i sin ) .

(16.2)

Использование тригонометрической формы комплексных чисел

во многих случаях значительно упрощает вычисления. Пусть

z1 r1(cos 1 i sin 1) , z2

r2 (cos 2

i sin 2 ) .

Тогда

2 ) ,

z1z2 r1r2 cos( 1

2 ) isin( 1

(16.3)

z1

r1

cos(

2

) isin(

2

) .

(16.4)

z2

1

1

r2

zn rn cos n isin n ,

или

r(cos isin ) n rn cos n isin n .

Это равенство носит название формулы Муавра.

n

z n r cos

i sin n

2k

i sin

2k

1.

r cos

n

n

, k 0,1,..., n

Используя формулу Эйлера

cos isin ei ,

(16.5)

комплексное число (16.2) можно представить в показательной форме:

z rei .

(16.6)

В этом случае соответствующие действия над комплексными

числами представляются следующим образом.

Если

z

r ei 1 , z

2

r ei 2

, то

1

1

2

2k

z z

rr ei 1 2 ,

z1

r1

ei 1 2 , zn rnein ,

n z n

rei

, k 0,1,..., n 1 .

n

1

2

1 2

z2

r2

240

Понятие функции комплексного переменного

Говорят, что на множестве D комплексной плоскости задана

функция комплексного переменного (ФКП), если задан закон,

ставящий в соответствие каждой точке множества D некоторое комплексное число. Множество D будем называть множеством значений независимой переменной. Символически указанное соответствие записывают в виде: w f (z) .

Если	z и	w	записать	в алгебраической форме:
z x iy, w u iv , то замечаем, что действительная					u Re f (z) и
мнимая v Im f (z)		части функции		f (z) являются функциями двух
переменных x и y:		u u(x, y) и v v(x, y) . Таким образом, задание
функции	комплексной		переменной	f (z), z D ,	эквивалентно

заданию на множестве D двух функций u u(x, y) и v v(x, y) двух действительных переменных.

Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Комплексное число w0 называется пределом функции f (z) в

точке z0, если для любого >0	можно указать такое >0, что для всех
точек z, удовлетворяющих	неравенству | z z0 | ,	выполняется
неравенство | f (z) w0 | . В этом случае пишут
lim f (z) w0 .		(16.7)
z z0

Для того чтобы в точке z0=x0+iy0 существовал предел функции f (z) , необходимо и достаточно, чтобы в точке (x0,y0) существовали

пределы двух функций действительных переменных u(x, y) Re f (z)

и v(x, y) Im f (z) ; при этом
lim u(x, y) u0 ,	lim v(x, y) v0 ,	(16.8)
x x0	x x0
y y0	y y0

где w0=u0+iv0.

Функция f (z) называется непрерывной в точке z0, если она

определена в точке z0	и в некоторой её окрестности и предел lim f (z)
	z z0

не только существует, но и равен значению функции f(z) в точке z0:

lim f (z) f (z0 ) . (16.9)

z z0

241