Математика Сизов 2011

Так квадратурное интегрирование для первого ДУ

представляется в

виде:

dy

f x dx ,

а для

второго

g y

g y

f

x

ДУ:

1

dy

2

dx .

g y

f

x

2

1

y f x,y

Дифференциальное

уравнение

вида

или

P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 называется однородным относительно x и y, если функции f x,y ,P x,y ,Q x,y есть однородные функции

одинакового измерения (нулевого измерения) переменных x и y.

Однородной функцией нулевого измерения называется функция

f(x,y), если		f x,y f λx,λy λ0 f x,y ,			где λ – действительное число.
Например:				λx 2 λy 2	λ2 x2 y2
f x,y	x2	y2	;f λx,λy				x2 y2	f x,y .
		xy		λxλy	λ2 xy		xy
В этом случае ДУ решается подстановкой						y tx, где t t x есть

функция. Тогда исходное ДУ преобразуется в ДУ с разделяющимися переменными t, x. Определив t(x) , необходимо вернуться к первоначальной функции y t x x.

Дифференциальное уравнение вида y P(x)y Q(x) называется

линейным неоднородным уравнением. Это ДУ линейное, потому что y

и y′ находятся в первой степени, а неоднородное - потому что правая часть не равна нулю.

Оно решается подстановкой y u v , где u u(x) , v v(x) .

Этой подстановкой первоначальное ДУ преобразуется в два ДУ с разделяющимися переменными: одно с переменными v и x, другое с

переменными u	и x.	После нахождения функций u x , v x
необходимо вернуться к первоначальной функции y uv .
Дифференциальное уравнение вида y P(x)y Q(x)ya , где a —
действительное	число	называется уравнением Бернулли. Во всех

случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки z y1 a . При a=0, a=1 уравнение становиться неоднородным линейным.

9.1.3. Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка

ДУ

n-го

порядка

называется

ДУ

вида

F (x, y, y', y'', , y(n) ) 0 . Обычно проще решается ДУ, если оно задано в форме, разрешенной относительно старшей производной:

y n f x,y,y ,y ,...,y n 1 .

142

Решать такие ДУ удается достаточно редко.

Основной метод решения ДУ n-го прядка — метод

последовательного понижения порядка производной, т. е. метод последовательного перехода к ДУ низшего порядка.

Рассмотрим этот метод для нелинейных ДУ (линейные ДУ рассмотрены дальше) второго порядка.

ДУ второго порядка общего вида y f x, y, y решаются

проблематично.

Некоторые частные случаи ДУ второго порядка позволяют довести метод понижения порядка до конца. Ниже приводятся эти случаи.

1.

y

f x .

Общее решение

находится

двукратным

интегрированием.

Действительно:

y

d y

f x ,

d y

dx

f x dx, y

dy

f x C1,

dx

dx

dx

dydxdx y f x dx C1 dx f x dx2 C1dx C2f x dx2 C1x C2.

2. y f y . Применяют подстановку: yx p y . Несмотря на то, что y y x есть функция от х, в правой части

вида ДУ отсутствует переменная x. Поэтому при подстановке в ДУ новой переменной p необходимо учитывать, что

yxx yx x p y x p y x x

dpdy dydx dpdy p = py p y . Такая подстановка позволяет понизить

порядок первоначального ДУ до первого порядка относительно переменной p. В результате решения этого уравнения найденное p y

подставляют в формулу yx p y и, решая второе ДУ первого порядка относительно x, находят решение исходного ДУ.

3. y f y . Применяют подстановку yx p x .

В правой части ДУ в явном виде отсутствует переменная y.

Поэтому					Тогда	первоначальное	ДУ
	yxx	yx x px x .
преобразуется в ДУ первого порядка относительно p вида px							f p .
Решение этого ДУ		p x		подставляют во второе ДУ первого порядка

143

относительно x:		yx p x ,	решение которого и есть решение ДУ
второго порядка.
4. y	f x,y . В правой части явно отсутствует y. Применяем
подстановку	yx	p x и	yxx px x . ДУ решается аналогично
случаю 3.
5. y	f y,y . В правой части явно отсутствует x. Применяем
подстановку	yx	p y и	yxx py p y .ДУ решается аналогично

случаю 2.

9.1.4. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами.

Дифференциальное уравнение
y(n) a y(n 1 ) a			2	y(n 2 ) a		n 1	y' a	n	y 0
	1
называется	линейным				однородным	уравнением				n-го порядка с
постоянными		коэффициентами (правая часть равна нулю).
Для нахождения общего решения дифференциального
уравнения	составляется				характеристическое					уравнение, которое

получают заменой производных соответствующими степенями переменной k, а сама функция заменяется единицей:

k n a1k n 1 an 1k an 0.

В зависимости от корней характеристического уравнения существует три вида общего решения дифференциального уравнения.

1. Если корни характеристического уравнения k1 , k2 , kn действительные и простые (не кратные), то решение ДУ имеет вид:

y C1ek1x C2ek2 x Cneknx .

2. Если корни k1, k2 , действительные и имеют соответственно

кратность l1, l2 , , то решение ДУ имеет вид:

y C1 C2 x Cl1 xl1 1 ek1x D1 D2 x Dl2 xl2 1 ek2 x .

3. Если корни k1 , k2 , простые комплексные сопряженные

k1 a1 b1i, k2 a2 b2i, ,

то решение ДУ имеет вид:

y ea1x ( A1 cos b1x B1 sin b1x) ea2 x ( A2 cos b2 x B2 sin b2 x) .

Случай кратных комплексных сопряженных корней не рассматриваем.

Дифференциальное уравнение

144

y(n) a1 y(n 1 ) a2 y(n 2 ) an 1 y' an y f(x)

называется линейным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами (правая часть не равна нулю).

Общее решение данного уравнения может быть найдено с помощью двух методов.

Первый метод – метод вариации постоянных (метод Лагранжа).

Правую часть ДУ приравнивают к нулю и находят общее решение однородного ДУ (по корням характеристического уравнения):

y C1 y1 C2 y2 Cn yn .

Общее решение первоначального неоднородного ДУ находят в

виде:

y C1 x y1 C2 x y2 Cn x yn .

Постоянные C1,C2 ,...,Cn варьируют (обращают в функции),

которые находят из решения системы уравнений:

C1 y1 C2 y2 Cn yn 0C1 y1 C2 y2 Cn yn 0

C1 y1n 2 C2 y2n 2 Cn ynn 2 0C1 y1n 1 C2 y2n 1 Cn ynn 1 f x .

Второй метод – метод решения ДУ со специальной правой частью.

Если метод Лагранжа носит универсальный характер, то второй метод применяется тогда, когда правая часть ДУ имеет специальный вид:

f x eax Pm1 x cos bx Qm2 x sin bx .

Здесь приведен общий случай специального вида правой части, где a,b– действительные числа, Pm1 , Qm2 – многочлены от x степени m1,

m2 m1 m2 .

При различных значениях a, b, m правая часть может иметь всевозможные частные варианты:

f x 7, a 0,b 0, m1 m2 0 .

f x 3x2 4, a 0,b 0, m 2, m 0 .
1	2
f x e 5x , a 5,b 0, m m 0 .
1	2

f x 2x cos3x 4sin 3x, a 0,b 3, m1 1, m2 0 .

Правая часть ДУ может также состоять из суммы различных вариантов специального вида.

145

Тогда общее решение неоднородного ДУ находится по формуле: y y y , где

y общее решение соответствующего однородного ДУ

(определяется в зависимости от корней характеристического уравнения),

y – частное решение данного неоднородного ДУ, которое находится с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов предполагает:

1. Произвести выбор предполагаемого частного решения yï , содержащего неопределенные коэффициенты.

2. Подставить предполагаемое частное решение yï в исходное

ДУ.

3. Приравнять неопределенные коэффициенты при одинаковых степенях аргумента x или при одинаковых функциях левой части к соответствующим коэффициентам правой части ДУ f x и составить,

таким образом, систему уравнений. Решить эту систему относительно неопределенных коэффициентов.

4. Подставить найденные коэффициенты в предполагаемое частное решение yï , т.е. окончательно определить само частное

решение y .

Из всех пунктов метода неопределенных коэффициентов более подробно остановимся на первом.

Выбор предполагаемого частного решения yï

При выборе yï необходимо соблюдать два правила.

Правило первое.	y ï должен	повторять полный вид	правой
части ДУ f x , не	смотря на	часто встречающиеся	частные

сокращенные случаи f x .

Эта «полнота» относится к многочленам и тригонометрическим функциям. При этом многочлены должны содержать неопределенные коэффициенты.

Например. f x 3x2 . Правая часть ДУ содержит сокращенный

многочлен второй степени. Значит, предполагаемое частное решение должно содержать развернутый, полный многочлен второй степени с

неопределенными коэффициентами: yï Ax2 Bx C .

Если	f x x2 cos 3x ,	то
yï Ax2	Bx C cos 3x Dx2 Ex F sin 3x .

146

Правило второе. yï должен быть таким, чтобы в общем

решении	неоднородного	ДУ	y		yï	или
				y

y C1 y1 C2 y2 Cn yn yï не было ни одной любой линейно зависимой пары слагаемых. Для выполнения этого правила нужно к

выбранному по правилу 1 предполагаемому частному решению yï

добавлять необходимое количество множителей x. Последнее зависит от величины и количества корней характеристического уравнения.

Рассмотренные правила выбора предполагаемого частного решения yï можно оформить в виде таблицы, в которой

Pm x ,Qm x многочлены от x степени m могут быть сокращенными, а Rm x ,Tm x полные, развернутые многочлены от x степени m с

неопределенными коэффициентами.
	Вид правой части		Вид соответствующего
	дифференциального уравнения f(x)		предполагаемого частного
			решения yï
	f (x) Pm (x) –	многочлен от x,	yп	Rm (x) , если 0 не является
	степени m , где m может быть		корнем		характеристического
	равным 0.		уравнения,
			yп xk Rm (x) , если 0				является
			корнем		характеристического
			уравнения с кратностью k.
	f (x) P (x)eax , где m может быть		yп	Rm (x)eax ,		если	a	не
	m		является				корнем
	равным 0.
			характеристического уравнения,
			yп	xk Rm (x)eax ,		если		a
			является				корнем
			характеристического уравнения
			с кратностью k.
	f (x) (Pm (x) cos bx Qm (x) sin bx)eax		y	(R	(x) cos bx Q (x) sin bx)e
	1	2	п	m		m
	где m1, m2 могут быть любыми и		, если a+bi не является корнем
	разными.		характеристического
			уравнения, а m-наибольшая из
			степеней m1, m2.
			y	xk (R (x)cosbx Q (x)sinbx)eax
			п	m		m
			, если a+bi является корнем
			характеристического уравнения
			с кратностью k.

147

9.1.5. Системы дифференциальных уравнений

Совокупность уравнений вида

F (x,y ,y	, ,y ,y ,y		, ,y ) 0
1 1 2	n 1	2	n
F2(x,y1,y2 , ,yn ,y1,y2			, ,yn ) 0	,
Fn(x,y1,y2	, ,yn ,y1,y2		, ,yn ) 0

называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

	Если система принимает вид
	y	P (x)y	P (x)y	2	P	(x)y	n	f (x)
	1	11 1	12		1n			1
	y2	P21(x)y1	P22(x)y2		P2n(x)yn f2(x)				,
			Pn2(x)y2		Pnn(x)yn fn(x)
	yn Pn1(x)y1
то	она	называется		линейной.				Если	функции

f1 (x), f2 (x), , fn (x) тождественно равны нулю, то линейная система

является однородной.

Одним из методов решения однородной линейной системы ДУ первого порядка является метод исключения неизвестных. Из уравнений последовательно исключают неизвестные функции, и система сводится к одному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно одной неизвестной функции. Это уравнение решается по известным правилам, найденную функцию подставляют в предыдущее ДУ и находят следующую функцию, подобно методу Гаусса при решении СЛАУ.

Другой метод-метод Эйлера. Аналогично тому, как обыкновенное линейное однородное ДУ I-го порядка с постоянными

коэффициентами типа y ky имеет решение в виде экспоненты, так

Эйлер предложил искать решение однородной линейной системы ДУ I-го порядка в виде экспонент. Ниже метод будет подробно рассмотрен на конкретном примере, т.к. изложение для общего случая не дает возможность полностью раскрыть сущность метода.

148

9.2. Решение типовых примеров и задач.

Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

5xy x2 y 0 .

Решение. Данное уравнение можно представить в виде

5x dy	x2 y 0	или	5 dy	xy 0 .
dx			dx

Разделяем переменные x и y относительно знака равенства:

5 dy	xy ,	5 dy	xdx .
dx		y

Применяем квадратурное интегрирование и получаем общее решение.

5

dy

xdx

5ln

y

x2

C .

y

2

x2

x2

x2

y5 e

C

, y 5

5

e

C .

ln

y

C ,

2

2

2

Замечание 1. Квадратурное интегрирование предусматривает одновременное решение двух неопределенных интегралов по x и по y. Казалось бы, при каждом неопределенном интегрировании необходимо проставлять неопределенную постоянную С, и тогда появятся две неопределенные постоянные С1 и С2, но общее решение ДУ первого порядка предусматривает наличие только одной неопределенной постоянной. По этой причине одну из постоянных (любую) устраняют.

Замечание 2. Неопределенное интегрирование производится по общей формуле: f x dx F x C . В интересах простоты решения дифференциальных уравнений в частных случаях , а именно,

в случаях, когда встречаются интегралы dy

и (или)

dx , последние

y

x

dy

y

С

y

рекомендуют

решать

как

y ln

ln

ln

,

C

dxx ln

x

ln

C

ln

xC

.

При этом выражение ln

C

равносильно

неопределенной постоянной С общего решения интеграла.

С учетом замечаний решим наше ДУ:

5 dy xdx,

5ln

y

x2

y

5

e

x2

y C

5

e

x2

,

2 , .

2

C

2

C

y

149

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

2x2 y y2 xy .

Решение. Разделим на x2 правую и левую части уравнения,

получим
y 2				y
2y					.
				x
x

Убеждаемся, что в правой части ДУ находится однородная функция f x, y нулевого измерения относительно x и y.

	λy		2	λy	y 2				y
f λx,λy
				λx					x
	λx				x

Применяем подстановку y xt , принимает вид:

f x,y .

тогда y t xt и уравнение

2

t или 2xt

t

2

t .

2(t xt ) t

Разделим переменные

2dt

dx

x .

Решаем

t(t 1)

2dt

1

1

dt

dt

dx

.

2

dt

2

2

t(t 1)

1

t

t

1

t

x

t

2 ln

t 1

ln

t

ln

xC

,

t 1 2

xC

,

t 1 2

Cx .

ln

t

ln

t

y

Возвращаемся к переменной y

t

:

x

2

1 xy Cx .

Если есть возможность, то находим решение в явном виде: y 1 x Cx .

Задание 3. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

8y 53xy 18x , y 1 1.

Решение. Разделим на 8 правую и левую части уравнения, получим

y 245 xy 94 x .

Это линейное неоднородное ДУ первого порядка.

150

Делаем замену

y uv ,

тогда

y

u v uv

и уравнение принимает

вид:

5 v

9

5 uv

9

u v uv

x

x

или

u v u v

4

x . (*)

24

4

24 x

Выражение в скобках приравниваем к нулю и получаем первое ДУ первого порядка с разделяющимися переменными v и x.

v

5 v

0 .

24

x

Решаем его, разделяя переменные:

5

dv

5

dx ,

24 dv

5 dx ,

24 ln

v

5 ln

x

,

v x

24

.

v

24 x

v

x

Неопределенную постоянную С опускаем аналогично

замечанию 1.

полученное значение v в

Подставляем

уравнение (*) и

получаем второе ДУ первого порядка с разделяющимися переменными u и x .

	5				9					9	1	5
	24
												24
u x			u 0 4 x				u			4 x			.
			Решаем его, разделяя переменные
	du			9 x	1924 ,		9 x		1924 dx ,					9	19
						du						du			x 24 dx ,
	dx			4			4							4

1 19

u 9 x 24 C

4 1 1924

		u		54 x 2443	Ñ .
				43
Возвращаемся к переменной y:
	5		54	43			54		2		5
y uv x 24								x		Cx 24 .
			43	x 24 C			43

Получили

y 54 x2 Cx 5 .

24

43

Найдем частное решение ДУ в соответствии с начальными условиями (задача Коши).

Подставим начальные условия для того, чтобы найти неопределенный коэффициент C

	54	12	5		или C 1	54		11 .
1			C 1	24
	43					43		43

Окончательный ответ:

y 54 x2 11 x 5 .

24

43 43

151