Математика Сизов 2011

Пример 3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

x2 y2 2 2 y , z x2 y2 4 , z 0 , z 0 .

Решение. Область V (рис. 12.9) – правильная в направлении

переменной z. Внутренний интеграл (по z) имеет нижний предел

интегрирования z = 0, верхний предел -. z x2 y2 4

z

Область D (проекция V на

плоскость xOy) – «полумесяц»,

4

ограниченный

окружностями,

x2 y2 4 0 x2 y2 2 2 y.

3

Представим эти уравнения в

z = r2- 4

2

каноническом виде:

1

B(-

2 ; 2 )

V

x2 y2 22 , x2

y

2

2

2 2

.

r

D 2 2

Видно,

что

внутренняя

2

=

-2

-1

3

1

2

si

y

граница области D – окружность с

4

2

n

-1

4

)

радиусом

r = 2 и центром в начале

2

(

;2

r

2

=

A

-2

координат,

а

внешняя граница –

	x	окружность с радиусом		r 2 и
	-3	смещенным вправо на 2 центром.
	-4		Вычисление	тройного
	Рисунок 12.9.	интеграла рациональнее произвести
		в	цилиндрической	системе

координат (r, φ, z). Воспользуемся связью: x r cos , y r sin , z=z

и преобразуем уравнения поверхностей и кривых данного примера в прямоугольных координатах в уравнения в цилиндрических координатах.

x2 y2 2 2 y, r 2 cos2 r 2 sin 2 2 2r sin , r 2 2 2r sin ; r 2 2 sin .

z x2 y2 4, z r2 cos2 r2 sin2 4 ,

z r 2 4 .

При z = 0 получаем окружность r = 2. Найдем полярные углы полярных радиусов, на которых находятся точки пересечения этих окружностей:

						1
	r 2 2 sin		, 2	2	2 sin ;		sin ; 1		4	; 2		3	.
						2						4
		r 2

Анализ показывает, что тело V симметрично относительно плоскости

182

x = 0 (разделено пополам).

												2					2		2 sin			r2 4
V rdrd dz 2 d																				rdr				dz
V												4							2				0
2		2		2 sin										2					2		2 2 sin
2 d								rdr z					r		4	2 d								(r3 4r)dr
4					2									0					4		2
2																			2
					4				r	2		2		2 sin
2 d			r					4									2			16sin4 16sin2 4 d
4				4				2						2					4
2				1 cos 2 2										16			1		cos 2					4
2	16						2												2						d
4
2	4 8cos 2 4cos2 2 8 8cos 2 4 d
2
4
2	1 cos 4							d			4(						1	sin 4 )				2							ед. объема.
8																									4
4		2															4					4			2		4

Пример 4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y 2 4 y, z 6 x2 , z 0.

Решение. Данное тело (рис. 12.10) представляет собой круговой цилиндр с радиусом равным 2 и смещенным по «y» вправо на 2, сверху ограниченным параболическим цилиндром.

В основании цилиндра круг, поэтому вычисление объема проще

	всего проводить в	цилиндрической системе координат. Подготовим
	все необходимые	аналитические выражения для поверхностей и
	z	кривых, необходимых для вычисления
		объема тела.

x r cos , y r sin .

			Круговой цилиндр:
			x2 y2 4 y, r2 cos2 r2 sin2 4r sin ,
			r2 4r sin ,r 4sin .
		y	Это же уравнение и для окружности
2	4		ограничивающей круг в основании тела,
x			при этом 0 .
			Параболический цилиндр:

Рисунок 12.10. z 6 x2 , z 6 r2 cos2 .

183

Вычислим объем тела.

							4sin			6 r2 cos2									4sin					6 r2 cos2
V rdrd dz d									rdr			dz d									rdr z
		V			0			0		0					0				0					0
		4sin					rdr
d			6 r2 cos2
0		0
		4sin													1								4sin
d				6r r	3	cos	2	dr d				3r	2			r	4	cos		2
															4
0			0							0													0
										d
48sin2 64sin4 cos2
0
			1 cos 2					1	cos 2 2			1	cos 2
	48			2		64			2					2					d
0

24 24cos 2 8 1 2cos 2 cos2 2 1 cos 2 d

0

24 24cos2 8 16cos2 8cos2 2 8cos2 16cos2 2 8cos3 2 d

	0
16 16cos2 8cos2 2 8cos3 2 d
	0
			1 cos4							2	2 d sin2
16		16cos2 8	2			d		4cos
0								0
20 16cos2 4cos4 d 4 1 sin2 2 d sin2
	0					0
20 8sin2 sin4									1	sin	3
						4 sin2			3			2		20 åä. î áúåì à.
					0									0

184

12.5. Задания на контрольную работу

Задание 1. Вычислить.

x 0, y 1, y x,

1. y2e2 xydxdydz; V :

z 0, z 8.

V

2. x2 zexyz dxdydz;

x 2, y 1, z 1,

V :

V

x 0, y 0, z 0.

3. y2exy 2dxdydz;

x 0, y 2, y 2x,

V :

z 0, z 1.

V

4. y2 z cos xyz dxdydz; V :

x 3, y 1, z 2 ,

V

3

x 0, y 0, z 0.

5. y

2

xy

x 0, y 1, y x,

cos

dxdydz; V :

z 0, z 2

2

.

V

2

6. 2x2 zexyz dxdydz; V :

x 1, y 1, z 1,

V

x 0, y 0, z 0.

7. y2 cos xy dxdydz;

x 0, y 1, y 2x,

V :

z 0, z

2

.

V

8. 3xze2 xyz dxdydz;

V :

x 2, y 1 2, z 1 2,

x 0, y 0, z 0.

V

x 1, y x, y 0,

9. x2e2 xydxdydz; V :

z 0, z 8.

V

10. x

2

xyz

x 1, y 4, z ,

z sin

dxdydz;

V :

0, y 0, z 0.

V

2

x

Задание2. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

1. x y 4, y 2x, z 3y, z 0. 2. x 19 2y, x 4 2y, z 0, z y 2.

3.	y 6 3x, y 3x, z 0, x z 3.	4. x y 6, y 3x, z 4y, z 0.
5.	y 2x2 , z y 2, z 0.	6.	x2 y 1, x y z 3, z 0.
7.	y 2 4 x, x z, z 0.	8.	y2 x 4, x z 0, z 0.
9.	y2 x, x z 4, x 1, z 0.	10. y x2 , y z 9, y 1, z 0.

185

Задание 3. Найти объем тела, заданного ограничивающими его

поверхностями.
1.	x2 y2 6x, x2 y2 8x, z x2 y2 , z 0, y 0 y 0 .
2.	x2 y2 6 y, z x2 y2 36, z 0 z 0 .
3.	x2 y2 2 y, z 9 x2 , z 0.
	4
4.	x2 y2 2 y, x2 y2 10 y, z	x2 y2 , z 0.
5.	x2 y2 2 y 0, z x2 y2 4, z 0 z 0 .
6.	x2 y2 4x, z 4 y2 , z 0.	x2 y2 , z 0, y 0 y 0 .
7.	x2 y2 4x, x2 y2 10x, z

8.x2 y2 8y, z x2 y2 64, z 0 z 0 .

9.x2 y2 2 y, z 1 x2 , z 0.

10. x2 y2 8 y, x2 y2 12 y, z

x2 y2 , z 0.

186

13.Криволинейные интегралы

Взависимости от величины (функции, поля), которая интегрируется по дуге (кривой) существует два рода криволинейных интегралов:

при интегрировании скалярной величины – интеграл I рода, при интегрировании векторной величины – интеграл II рода.

13.1. Криволинейный интеграл I рода

13.1.1. Определение

z A

zi

l

i

Криволинейным интегралом I

рода от скалярной функции f(x,y,z) по f(x i, yi, zi) дуге AB называется предел

интегральной суммы

n

lim f (xi , yi , zi ) li f (x, y, z)dl

yi

n

i 1

AB

y

max l 0

x

i

,

B

где f(x,y,z)

непрерывная

скалярная

x

Рисунок 13.1.

функция в трехмерном пространстве

на дуге AB (рисунок 13.1),

∆li – длина i-ой элементарной дуги, на которые разбита вся дуга

AB, i

,

1, n

n – количество элементарных дуг,

f(xi,yi,zi) – значение функции в точке (xi,yi,zi), принадлежащей

элементарной дуге ∆li.

Если f(x,y,z) – линейная плотность распределения вещества на

дуге AB кг

, то f(xi,yi,zi)

∆li

– масса элементарного куска дуги AB,

м

интегральная сумма – приближенное значение, а ее предел – точное значение массы вещества в дуге AB (прута).

Физический смысл криволинейного интеграла I рода – это есть масса вещества, заключенной в дуге AB (пруте, проводе и т.д.)

13.1.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление сводится к расчету определенного интеграла.

Предварительно, из рис. 13.1 следует: l		x2	y2		z2	. При
i		i		i	i
переходе к пределу интегральной суммы: dl		dx2 dy2		dz2 .

Интегрирование определенного интеграла производится по одной переменной. Для этого переменные x, y, z, описывающие дугу AB в трехмерном пространстве должны быть заданы параметрическим образом:

172

x x t ,
y y t ,	t t t	2 .
	1
z z t ,

Тогда

dl	dx	2	dy	2	dz	2		dx 2		dy 2
								dt			dt

dz 2 dtdt

	xt 2 yt 2 zt 2 dt.
	t2			zt 2 dt .
f x, y, z dl f x t , y t , z t		xt 2	yt 2		(13.1)
AB	t1

Если скалярная функция f(x,y) задана на дуге AB в двухмерном пространстве, то существуют следующие формулы расчета криволинейного интеграла I рода.

1. Для дуги AB, заданной параметрическим образом: x x(t), y y(t),t1 t t2 .

t2

		f (x, y)dl f x(t), y(t)			xt 2 yt 2 dt .	(13.2)
	AB		t1
2.	Для	дуги	AB,	заданной	гладкой	функцией

y y(x), y(a) A, y(b) B (рисунок 13.2).

y d

c

A

dl

dx

2

dy

2

dy

2

2

dx .

1

dx

1 yx

y(

b

dx

x

x)

x

2

)

(

y

AB

f (x, y)dl

a

f

x, y(x)

1 y

dx. (13.3)

	B
a	b x

Рисунок 13.2.

3.Для дуги AB, заданной гладкой

функцией	x x( y), x(c) B, x(d ) A
(рисунок 13.2).
dl dx2	dy2		2	1dy	1 xy	2	dy
		dx
		dy

	f (x, y)dl c	.
		f x( y), y	1 xy 2 dy .	(13.4)
AB	d
Замечание: для криволинейного интеграла I рода:				.
			AB	BA
		173

4.Для дуги AB, заданной в полярной системе координат:

rr( ), 1 2 .

xrcos ,y rsin ,dx r cos rsin d ,dy r sin rcos d ,

dl dx2 dy2

r cos 2 2rr cos sin rsin 2 r sin 2 2rr cos sin rcos 2d

r2 r 2d .

	2		2		2
	f (x, y)dl f r cos ,r sin	r		r		d .	13.5)
AB	1
13.1.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла I
	рода
	1. Вычисление массы дуги			(прута) AB с			линейной
плотностью вещества f(x,y,z).

m f (x, y, z)dl

AB

2.Вычисление длины дуги AB (если f(x,y,z) = 1).

L dl

AB

3.Координаты центра масс xc, yc, zc дуги AB массой m.

x	xf (x, y, z)dl	, y	yf (x, y, z)dl	, z			zf (x, y, z)dl
	AB		AB		c		AB
c	m	c	m				m
4.	Моменты инерции Ix, Iy, Iz, IO дуги AB массой m
относительно осей Ox, Oy, Oz и начала координат.
I x y2 z2 f (x, y, z)dl,I y x2 z2 f (x, y, z)dl, Iz
AB			AB

x2 y2 f (x, y, z)dl,

AB

IO x2 y2 z2 f (x, y, z)dl.

AB

174

При расчетах перечисленных величин в трехмерном пространстве следует пользоваться формулой (13.1), а в двухмерном пространстве формулами (13.2), (13.3), (13.4), (13.5).

13.1.4. Типовые примеры решения криволинейных интегралов I рода

	z		Пример 1. Вычислить,			x2 y 2z dl
	2					ABC
	C		где AB – дуга винтовой линии			BC – отрезок
			прямой; A(1;0;0), B(1;0;1), C(1;1;2).
			Решение. Кривая интегрирования –
B		1	ломаная ABC (рисунок 13.3).
			y
A
			x cos t, y sin t, z t ,0 t 2 ;
x	1				6
	Рисунок 13.3.				.
			ABC	AB	BC
		•	x cost, y sin t, z t		6,0 t 2		•

		x					2		y 2z dl														dl							xt 2 yt 2 zt 2 dt
																											sin t 2 cos2 t 1																						dt
		AB																																																					37 dt
																				•																										36								6			•
2							2										t						37													37 2							2											37		2
		cos							t sint 2																		dt													cos					t d cost											tdt
																	6						6													6																		18
0																																					0																			0
			37					cos3 t			2						37						t 2			2																				37			2
																																		37					1 1										4						37		2 .
			6						3						18								2																						18
											0																0					18																	2					9
x2 y 2z dl															BC :								y 0								z 1					, y z 1, dy dz, x 1, dx 0,
																						1 0									2 1
BC
dl dx2 dy2 dz2 2 dz
2			2	z 1 2z											2dz												2																		3	z	2				2
1																									2 3z 1 dz																	2			2				z
1																											1																								1
2				3		4 1 2 1																		7					2.
				2																				2
			x2 y 2z dl														37						2 7									2							1		2 37 2 63 2 .
ABC																	9												2								18
																																175

Пример 2. Найти массу дуги AB кривой γ, если ее линейная плотность меняется по закону (M).

x cost t sin t		- эвольвента окружности,
:
y sin t t cost
A(1;0),	B(1; 2 ), (M )		x2 y2 .

Решение. Нетрудно видеть, что при движении от A к B параметр t меняется от 0 до 2π, т.е. 0 t 2 . Масса дуги определяется по формуле:

				m M dl										x2 y2 dx2 dy2
					AB					AB
		•		x cost t sin t;dx ( sin t sin t t cost)dt
			•		y sin t t cost;dy cost cost t sin t dt																			•
2		cost t sin t 2						sin t t cost 2 t 2																			2
																	cos2 t t 2 sin 2							tdt					1 t 2 tdt
0																												0
	1	2		2	1 2		2		2				2	3 2		2		1			2			3
			t		1	d t		1				t		1						2			1				1		ед. массы.
	2								2	3								3
		0														0

13.1.5. Задания на контрольную работу

Задание 1. Вычислить.

1.	x2dl , AB – кривая							y ln x,1 x 2.
	AB
2.	xdl , AB – кривая							y x2 , A 2;4 , B 1;1 .
	AB
3.				dl		, AB – отрезок прямой, A 0; 2 , B 4;0 .
			x	2	2
	AB			y
4.				dl			, γ – винтовая линия
		x2 y2 z2
x a cost, y a sin t; z bt,0 t 2 .
5.	x y dl , γ – правый лепесток лемнискаты r2 a2 cos 2 .

176