Математика Сизов 2011

4. Интеграл от единицы равен мере области интегрирования:

dp P .

( P)

Мера области интегрирования P есть мера длины, площади или объёма, в зависимости от того, рассматривается однократные (линейные, криволинейные), двойные (поверхностные) или тройные (объёмные) интегралы.

5. Если рассматриваемые переменные размерные, то

			U P .
	Udp
( P)

162

		11. Двойной интеграл
		11.1. Определение
	z				z = f(x, y)	Двойным		интегралом от
						функции f(x,y) по области
						D	называется			предел
						интегральной				суммы
		f(x i, yi)					n
						lim f xi , yi				Si
						n	i 1
						diam	Si 0
							f(x,y)dS f(x,y)dxdy ,
	0	yi				D	f(x,y)	D
			S	i	y	где		– непрерывная
	xi					функция			(гладкая
						поверхность),
	x				D	определённая в			области
						D,
						S.i – площадь i-того
						малого		элемента,		на
	Рисунок 11.1.					которые		разбита	плоская
						область D,
n – количество малых элементов, на которые разбита,									плоская
область D,
	____
i 1, n , xi, yi – координаты точки, принадлежащей области S.i : (xi;
yi) S.i , f(xi, yi)– значение функции в точке (xi, yi) (рисунок. 11.1)
	Элементарное слагаемое f(xi, yi) Si					в интегральной сумме есть
объём элементарного цилиндра с площадью основания Si и высотой
f(xi, yi). Интегральная сумма даст приближённое значение, а её предел
– точное значение объёма тела.
	Геометрический смысл двойного интеграла – это есть объём
тела, ограниченного сверху («шапка») поверхностью z= f(x,y), с боков
– цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна
оси Оz, а направляющая является замкнутой кривой, ограничивающей
область D, снизу – плоскостью				z = 0.
	Если f(x, y) есть поверхностная плотность распределения массы
плоского тела кг2		, то f xi , yi S.i			есть масса элементарного,				плоского
	м
					163

куска этого тела, интегральная сумма – приближённое значение, а её предел – точное значение массы плоского тела.

Физический смысл двойного интеграла – это есть масса плоского тела с поверхностной плотностью распределения массы f(x, y).

11.2. Вычисление двойного интеграла

Перепишем двойной интеграл в различных тождественных выражениях:

f x,y dxdy f x,y dx dy f x,y dy dx.

D D D

Видно, что двойной интеграл вычисляется через двукратный или повторный: сначала вычисляется внутренний (в скобках), затем внешний интеграл. При этом порядок интегрирования (внутренний интегрируется по х, внешний – по у или наоборот dydx) на результат не влияет, но может повлиять на трудность (простоту) вычислений.

Прежде чем вычислять двойной интеграл необходимо обязательно построить рисунок (чертёж) области интегрирования D. Это позволит правильно сформировать расчётный интеграл.

Пусть область D построена в прямоугольной системе координат.

Определение. Область D называется правильной (выпуклой) в

направлении переменной интегрирования, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку области D параллельно оси переменной интегрирования, пересекает границы области D не более чем в 2-х точках.

Область D – правильная в направлении переменной у может быть задана в виде:

D (x, y) R2 : x a,b , y1(x) y2(x) , где функции	у1(х), у2(х)
непрерывны на отрезке a,b и удовлетворяют неравенству	y1(x) y2(x) ,

x a,b .

Область D правильную в направлении х можно задать аналогично.

Правила вычисления двойного интеграла в прямоугольной системе координат

1. Вычисление внутреннего интеграла

Внутренний интеграл берётся (вычисляется) по той переменной (х или у) для которой область интегрирования D правильная. Если это правило нельзя выполнить для всей области D последнюю прямыми линиями (что не обязательно) разбивают на части D1,D2,...,Dn , которые будут правильными в направлении выбранной переменной интегрирования и весь расчёт интеграла

164

сначала производится по этим частям, а затем производится суммирование (см. раздел 10, свойство 3).

Пределами интегрирования внутреннего интеграла являются функции выбранной переменой интегрирования в зависимости от другой переменой. Нижний пределфункция, график которой есть граница области D при вхождении в эту область стрелки, указывающей направление возрастания выбранной переменной интегрирования. Верхний пределфункция, график которой есть граница области D при выходе указанной стрелки из области D.

Нижний и верхний пределы интегрирования – функциидолжны быть заданы одним аналитическим выражением, характеризующим соответствующие границы области D (границы должны быть гладкими, без изломов). Если это правило не удаётся реализовать, разбивают область D на части (обычно с помощью прямых, параллельных координатным осям и проходящих через точки излома), удовлетворяющие этому правилу, и дальнейший расчёт двойного интеграла производить согласно свойству 3 раздел 10.

Вычисление внутреннего интеграла производить по известным правилам расчёта определённого интеграла, при этом переменную, не участвующую в интегрировании, считать постоянной величиной.

Результатом расчёта внутреннего интеграла является функция одной переменной, не участвующей в интегрировании.

2. Вычисление внешнего интеграла

Это обычный определённый интеграл по оставшейся переменной интегрирования, пределы которого – числа – концы проекции области D на ось оставшейся переменной интегрирования. Нижний предел – меньшее число, верхний предел – большее число.

Результат вычисления двойного интеграла – число (объём тела или массы плоской фигуры). На рис 11.2. приводятся различные варианты расчёта двойного интеграла, соответствующие перечисленным правилам.

Пусть область D построена в полярной системе координат. Напомним связь прямоугольных и полярных координат: x = rcos , y

= rsin , r x2 y2 , = arctg xy , где r – полярный радиус, -

полярный угол, 0 2π, 0 r .

В двойном интеграле произойдёт замена переменных интегрирования x, y на новые переменные , r по известным

формулам: x = rcos , y = rsin , при этом dxdy = rdrd (доказательство не приводим).

165

y		y2(x)		y
	D			d		)
						y
					(1
					x		D
		x)
	1(
	y			c
	a
			b	x

x

2(y)

x

	b	y2 ( x)		d	x2	( y)
f (x, y)dxdy dx		f (x, y)dy	f (x, y)dxdy dy			f (x, y)dx
D	a	y1 ( x)	D	c	x1 ( y)

							y
		y					3(
			(2	x	)			x)
		y					D2
				D1				)
							y1(x
		a			c			b
				с		y2	( x)
dx						f (x, y)dy +
D	D1	D2		a		y1 ( x)
b	y3	( x)
dx f (x, y)dy

сy1 ( x)

y			D2
	)
	x
	(
	y
	2
	D1		y3(x)
		x)	D3
	y	1(
a			b c d

y
d		)
		y
	(			D2
	2
e	x
	x1(y			x3(y)
				D1
c		)
x				x
		e	x3	( y)
dy				f (x, y)dx +
D D1 D2 c			x1 ( y)

d	x3	( y)
+ dy		f (x, y)dx

ex2 ( y)

b dx

D	D1 D 2 D3 a

y2 ( x)

f (x, y)dy +

y1 ( x)

c	y2 ( x)	d	y3 ( x)
+ dx	f (x, y)dy + dx		f (x, y)dy
b	y3 ( x)	b	y1 ( x)

x

Рисунок 11.2.

В некоторых случаях такая замена переменных упрощает подынтегральную функцию, аналитическое выражение области интегрирования, что приводит к облегчению расстановки пределов и, самое главное, упрощает вычисление самого интеграла.

166

Правила вычисления двойного интеграла в полярной системе координат

1. Вычисление внутреннего интеграла.

Внутренний интеграл однозначно берётся по переменной r, при этом область D, должна быть правильной (выпуклой), т.е. полярный радиус проведённый через любую внутреннюю точку области D пересекает её не более в двух точках. Если область D окажется неправильной, то с помощью дополнительных полярных радиусов разбить область D на правильные части D1, D2, ..., Dn , вычислить интеграл по этим частям и сложить согласно свойству 3, раздел 10.

Пределами интегрирования внутреннего интеграла являются функции r( ). Нижний предел – функция r1( ) , график

которой есть граница области D при вхождении в эту область возрастающего полярного радиуса (в частном случае это ноль, если точка (0; 0) входит в область D). Верхний предел – функция r2( ),

график которой есть граница области D при выходе указанного полярного радиуса из области D.

Нижний и верхний пределы интегрирования – функции – должны быть заданы одним аналитическим выражением (границы области D должны быть гладкими). Если это правило не соблюдается,

разбить область D полярными радиусами на части D1, D2, ..., Dn , удовлетворяющие этому правилу и произвести расчёт интеграла по свойству 3.

Вычисление внутреннего интеграла произвести аналогично такому же пункту вычисления в прямоугольной системе координат.

2. Вычисление внешнего интеграла.

Это обычный определённый интеграл по переменной , пределы которого 1 - нижний, 2 - верхний есть полярные углы

между которыми заключена область D.

На рис. 11.3. представлены варианты расчёта двойного интеграла в полярной системе координат согласно приведённым правилам.

11.3. Некоторые приложения двойных интегралов

Эти приложения основаны на геометрическом и физическом смыслах двойного интеграла.

Двойной интеграл применяется для вычисления следующих величин.

167

1.Вычисление объёма V тела (см. геометрический смысл).

V f (x, y)dxdy .

D

2.Вычисление площади S плоской фигуры D.

	S dxdy ;		S rdrd		(полярная система).
	D		D
3.	Вычисление		массы m		плоского тела (пластинки) с
поверхностной плотностью распределения массы f(x, y).
			m f (x, y)dxdy .
			D
4.	Вычисление координат (хс, ус) центра массы m плоского
тела D.						yf ( x, y)dxdy
	xc My	xf ( x, y)dxdy		; yc	Mx		,
		D				D
						m
			m
	m				m

где Мх , Му – статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу.

y	y
	r (
	)

r

D2

D3

)

(

r

D

)

)

(

r

r

(

r

D1

4 3

2

1

x

1

x

r

( )

f (x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd

3 d

2

F(r, )rdr

D

r2

D

D

D1

D2

D3

1

r1 ( )

2

( )

r ( )

r ( )

d

F(r, )rdr

+ 4 d

3

F(r, )rdr + 3 d

3

F(r, )rdr

1

r1 ( )

3

r1 ( )

2

r4 ( )

y

D

D1

D2

( )

r (

2

r1( )

3

r2( )

d F(r, )rdr d

F(r, )rdr

r

)

1

0

2

0

D1

D2

3

2

1

x

Рисунок 11.3.

168

	5.	Вычисление моментов инерции Ix, Iy, Io						относительно осей
Ох, Оу и начала координат плоского тела D.
			Ix y2 f (x, y)dxdy ;
				D
			Iy	x2 f (x, y)dxdy ;
				D
			Io Ix Iy (x2 y2 ) f (x, y)dxdy .
				D
	11.4. Типовые примеры решения двойных интегралов
	Напомним, что для расчёта любых примеров и задач на двойные
интегралы нужно обязательно построить область интегрирования D, а
затем руководствоваться правилами расчёта.
	Пример1. Составить двукратный интеграл от функции f(x,y) по
областиD, если f(x, y) задана в области D, ограниченной кривыми y2 =
2x ; x – y – 4 = 0.					Решение.				Область		D
y
					(рисунок 11.4) правильная в
			B(8,4)		направлении переменной х, значит,
	y2= 2x				внутренний интеграл берётся по х,
			D
					внешний по у. Стрелка возрастания
					переменной		х	при вхождении			в
			x-y-4 = 0		область	D встречается на				границе
				x	области	D	с		кривой	х	у2
											2
	A(2,-2)				(нижний	предел			интегрирования
					внутреннего интеграла) и при
		Рисунок 11.4.			выходе из области D встречается с
					прямой х =у + 4 (верхний предел).
	Проектируем область D на ось Оу. Границы проекции есть числа
-2 (нижний предел интегрирования внешнего интеграла), 4 (верхний
предел).
	Напомним, точки А и В пересечения кривых находятся в
результате решения системы уравнений, описывающих эти кривые.
	Составляем интеграл: f (x, y)dxdy					4	y 4
						dy	f (x, y)dx .
				D		2	y2
							2
					169

Пример

2.

В

условиях

примера

1

изменить

порядок

интегрирования.

Решение.

Область

D

y

(рисунок 11.5) в направлении

B(8,4)

переменной у правильная, но

x

нарушено

правило

задания

2

=

нижнего

предела

y

D2

-4

интегрирования

внутреннего

x

D1

=

интеграла

одним

y

x

аналитическим

выражением

y = - 2x

(в точке A излом). Разбиваем

область D на две части

D1 и

A(2,-2)

D2 составляем сумму двух

Рисунок 11.5.

интегралов

по

известному

правилу:

f ( x, y ) dxdy

f x, y dxdy

f x,

y dxdy

D

D1

D 2

2

2 x

f x, y dy

8

2 x

x, y dxdy .

dx

dx

f

0

2 x

2

x 4

Пример 3. Изменить порядок интегрирования

1	e y 2
dy		f (x, y)dx.
0	3 y

y

	3	=	y
	x
			D1

D2		D3 y	2
		e
		+
		=
		x	e+2

Рисунок 11.6.

Решение. По условиям примера

строим область D (рис. 11.6),

разбиваем её на 3 части D1, D2, D3 и составляем интеграл:

	1	e y 2		1	x3
x	dy	3	f (x, y)dx = dx			f (x, y)dy +
	0		y	0		0
	3	1		e 2		1
	+ dx		f (x, y)dy +		dx		f (x, y)dy .
	1	0		3		ln( x 2)

Пример 4. Вычислить x2 ydxdy ,D: x2 + y2 = 4x , x = 0 , x = 4 , y

D

= 3 , y≥0.

170

y					Решение.									Область							D		(рисунок			11.7)
	y = 3				правильная в направлении y.																					3
	D													4			3						4	y2
			4		x2 ydxdy dx														x2 ydy dxx2
y = 4x-x		2	x=		D									0			4x x2						0	2	4x x2
						4					9		4x x2							4	9x2		4x3 x4
								2																	dx
					x						2			2			dx						2
						0														0
				x		1					3			x	4		5		4		1					1024
										x		4					x						64 256
						2	9				3			4			5				2	3				5
Рисунок 11.7.																		0
					70,4.

					y
		y	x+2	D
		=

						Пример	5.	Вычислить
		y = 2				площадь		фигуры,
		x				ограниченной		линиями
	=					y 2, y x		2, y 2, y2 x.
	y
	2
					x	Решение.		Область	D
						(рисунок 11.8) правильная в
						направлении			x.

																							y2			y2
						y = -2											S dxdy					2		2
																						dy	dx	dy x
			Рисунок 11.8.															D			2 y 2			2		y 2
2		2			3			y	2			2			8		4				8			40
			y
y			y 2 dy							2y								2	2			2	4		кв. ед.
				3				2							3		2				3			3
2												2

Пример 6. Вычислить площадь фигуры,

S

ограниченной кривой x2 y2 3 a2x2 y2,a 0.

1

Решение. Переходим к полярным

координатам:

x r cos ,y r sin .

Тогда: r2 cos2 r2 sin2 3 a2r2 cos2 r2 sin2 ,

r6 a2r4 cos2 sin2 ,

r2 1 a2 sin2 2 , r a

sin 2

.

Рисунок 11.9.

4

2

Строим область D (рисунок 11.9) в координатах r, φ и вычисляем двойной интеграл согласно правил его расчета в полярных координатах.

171