Математика Сизов 2011

									a		sin 2						a		sin 2
		S 4S1				4 rdrd 4 2d 2					rdr 4 2d r 2						2
						D		0		0				0		2	0
2 a2			sin	2	2 d		a2	2 1 cos 4	d			a2			1						2				1	a	2	.
2		4						2				4			4	sin 4									8
	0						2 0														0

11.5. Задания на контрольную работу

Задание 1. Изменить порядок интегрирования.

	3		25 x2
1а.	dx		f (x, y)dy .
	0			0
2а. 1 dx x f (x, y)dy .
	0		x 3
3а. 4 dx x f (x, y)dy .
	1		0
	4		25 x2
4а.	dx		f (x, y)dy .
	0		3 x
			4
	1		1 y2
5а.	dy f (x, y)dx .
	2		y 1
	2		4 x2
6а.		dx		f (x, y)dy .
		2		x2
	1		y 1
7а.	dy		f (x, y)dx .
	0		1 y2
	0		x	2
8а.	dx		f (x, y)dy .
	1		x2 2
	1		2 x2
9а.	dx			f (x, y)dy .
	0		x2
10а. 4 dx				2	f (x, y)dy .
	0			4 x x2

	4		sin x			2		cos x
1б.. dx					f (x, y)dy		dx				f (x, y)dy
		0		0		4			0
2б.	3		4 x2			0			2		4 x2
		dx			f (x, y)dy			dx			f (x, y)dy .
	2			0		3					0
	1		1		e	1
3б.	dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy .
	0	1 x2			1	ln x
	1		0		0		0
4б.	dx		f (x, y)dy dx f (x, y)dy .
	2	2 x			1	3		x
			y
5б. 1 dy f (x, y)dx e dy 1								f (x, y)dx .
	0		0		1	ln y
6б. 3 dx				0	f (x, y)dy 2 dx				0		f (x, y)dy .
	0		4 x2 2			3		4 x2
	1		2 y		0			y
7б.	dy		f (x, y)dx dy f (x, y)dx .
	2		0		1			0
	1	2		arcsin y			1			arccos y
8б. dy					f (x, y)dx dy						f (x, y)dx.
		0			0	1		2			0
9б.	3		2 4 x2			2		4 x2
	dx				f (x, y)dy dx					f (x, y)dy .
	0			0		3			0
	1		x3		2	2 x
10б. dx f (x, y)dy dx								f (x, y)dy .
	0		0		1			0

172

Задание 2. Вычислить.

1. 8xy 9x2 y 2 dxdy; D : x 1, y 3 x, y x3 .

D

12 y sin 2xydxdy; D : y 4, y 2, x 2, x 3.

D

2.

12xy 27x2 y 2 dxdy; D : x 1, y x2 , y 3

x x 0 .

D

ye xy 8dxdy; D : x 0, x 1, y ln 2, y ln 3.

D

4

9

2

2

3

3.

xy

x

y

dxdy; D : x 1, y x

, y

x.

5

11

D

y cos xydxdy; D : x 0, x 2, y , y 5 .

D

4.

24xy 48x3 y3 dxdy; D : x 1, y x2 , y x.

D

4 y sin 2xydxdy; D : x 0, x 1, y 2 , y 3 .

D

5.

4xy 16x3 y3 dxdy; D : x 1, y 3

x, y x3 .

D

3y cos xydxdy; D : x 0, x 0,5, y , y 2 .

D

6.

44xy 16x3 y3

dxdy; D : x 1, y x2 , y 3

x.

D

ye xy2 dxdy; D : x 0, x 2, y ln 3, y ln 4.

	D
7.	xy 4x3 y3							dxdy; D : x 1, y x3 , y							x.
	D
	y cos 2xydxdy; D : x 0, x 1, y														, y	2 .
	D													2
8.			6x	2	y	2		25	x	4	y	4		1, y x		2	, y x.
								3					dxdy; D : x
	D
	3y sin xy dxdy; D : x 0, x 1y													4 , y			2 .
	D					2								3			3
9.			3x	2 y2				50	x	4 y		4		1, y 3		x, y x3 .
								3					dxdy; D : x
	D

ye xy2 dxdy; D : x 0, x 1, y ln 3, y ln 5.

D
10. 54x2 y2 150x4 y4 dxdy; D : x 1, y x2 , y 3 x	x 0 .
D
y cos xydxdy; D : x 0, x 1, y , y 2 .
D

173

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1. y 24 x2 , 2 3y x2 , x 0.

2. y 20 x2 , y 8x.

3 y 18 x2 , y 3 2 18 x2 . 4. y 32 x2 , y 4x.

5.	y 2	x , y 5e x , y 2, y 5.	6. x2 y 2 36,		3 2 y x2	y 0 .
7.	y 3	x, y 3 x , x 4.	8. y 6 36 x2 , y 36 x2 , x 0.
9.	y 25 x2 , y x 5 .		10. y	x, y	1 , x 16.
	4	2			x

Задание 4. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a > 0).

1.	x6 a2 x4 y 4 .	2.	x2 y2 2 ax3 .
3.	x4 a2 x2 3y2 .	4.	x4 a2 x2 y 2 .
5.	y6 a2 y 4 x4 .	6.	x2 y 2 2 a2 x2 4 y 2 .
7.	x2 y 2 2 a2 2x2 3y 2 .	8.	x2 y 2 3 a2 x4 .
9.	y6 a2 3y 2 x2 y 2 x2 .	10. x2 y2 2 a2 3x2 y2 .

174

12. Тройной интеграл

12.1. Определение

z

Тройным интегралом от функции

f(x,y,z) по области V называется предел

zi

интегральной суммы

V i

lim

n

f x

, y

, z

V

f x, y, z dV

n

i

i

i

i

V

f(x i, yi)

diam Vi 0 i 1

V

= f

x, y, z dxdydz,

V

x, y, z

yi

где f

– непрерывная функция в

y

объёмной области V,

Si

на

xi

Vi –

объём i-го малого элемента,

D

которые разбита область V, (i=1,n),

см

x

рисунок 12.1,

Рисунок 12.1.

n – количество малых элементов,

xi, yi, zi

–

координаты

точки

принадлежащей области Vi: (xi , yi , zi) Vi ,

f x , y , z – значение функции в точке (xi , yi , zi).

i

i

i

кг

Если f(x, y, z) – объёмная плотность распределения вещества

в

области

V (в

объёме V)

,

то

f

x , y , z

Vi –

масса

м

3

i

i

i

элементарного куска вещества объёмом Vi

,

интегральная сумма –

приближённое значение, а её предел – точное значение массы

вещества в объёме V.

Физический смысл тройного интеграла – это есть масса

вещества, заключённой в объёме V.

12.2. Вычисление тройного интеграла

Тройной интеграл вычисляется через трёхкратный:

	f (x, y, z)dxdydz			f (x, y, z)dz dy dx			f (x, y, z)dy dz dx ...
V		V			V

Сначала вычисляется внутренний, затем средний и, наконец, внешний интеграл. Переменные интегрирования в этих трёх интегралах – разные. Существует шесть вариантов расчета с различным порядком интегрирования (dzdydx; dydzdx; dzdxdy;…). Результат вычисления один и тот же, но эффективность расчёта (простота) может быть разной.

175

Для вычисления тройного интеграла нужно обязательно построить рисунок области интегрирования V, без которого немыслимо сформировать расчётный интеграл.

Пусть область V построена в прямоугольной системе координат.

Определение. Область V называется правильной (выпуклой) в

направлении переменной интегрирования, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку области V параллельно оси переменной интегрирования, пересекает границы области V не более чем в двух точках.

Правила вычисления тройного интеграла в прямоугольной системе координат

1. Вычисление внутреннего интеграла

Внутренний интеграл вычисляется по той переменной, для которой область V правильная. Если это правило нельзя выполнить,

разбивают область V поверхностями (проще плоскостями) на части V1, V2,..., Vn, которые будут правильными в направлении выбранной переменной интегрирования и дальнейший расчёт производится согласно свойству3 раздел 10.

Пределами интегрирования внутреннего интеграла являются функции выбранной переменной интегрирования в зависимости от оставшихся двух переменных (уравнения поверхностей). Нижний предел – функция, описывающая поверхность, которая есть граница области V при вхождении в эту область стрелки, указывающей направление возрастания выбранной переменной интегрирования. Верхний предел – функция, описывающая поверхность, которая является границей области V при выходе указанной стрелки из области V.

Нижний и верхний пределы интегрирования – функции – должны быть заданы одним аналитическим выражением (границы – поверхности области V должны быть гладкими). Если эти границы кусочно-гладкие, разбить область V поверхностями на части

V1,V2,...,Vn,удовлетворяющие этому правилу и далее вычислять согласно свойству 3 раздел 10.

Вычисление внутреннего интеграла производить по известным правилам расчёта определённого интеграла, при этом две переменные, не участвующие в интегрировании, считать постоянными величинами.

Результатом расчёта внутреннего интеграла является функция двух переменных, не участвующих в интегрировании.

176

2. Вычисление среднего и внешнего интегралов.

Это вычисление производить по правилам расчёта двойного интеграла, при этом область интегрирования D есть проекция области V на координатную плоскость оставшихся двух переменных.

Результат расчёта тройного интеграла – число (масса тела).

На рисунке 12.2 приводятся различные варианты расчёта тройного интеграла в прямоугольной системе координат.

z	Z2	(x, y)	z

b

	V
			D	x1(z)	y1(x, z)	V	y2	(x, z)
		Z1(x, y)			a
			x2(z)
a			y
								y
y1(x)	D		y2(x)
b
x				x

f x, y, z dxdydz			f x, y, z dxdydz
V			V
b	y2 ( x)	z2 ( x, y)	b x2 ( z)	y2 ( x,z)
dx dy		f (x, y, z)dz	dz dx	f (x, y, z)dy.
a	y1( x)	z1( x, y)	a x1( z) y1( x,z)
			Рисунок 12.2.

Цилиндрическая система координат есть сочетание полярных координат в любой координатной плоскости трёхмерной прямоугольной системы и оставшейся прямоугольной координаты.

Варианты координат цилиндрической системы: (r, ,z), (r, ,x), (r, ,y).

В некоторых случаях тройной интеграл в этой системе вычисляется значительно проще, чем в прямоугольной системе.

Правило вычисления тройного интеграла в цилиндрической системе координат

Средний и внешний интегралы образуют двойной интеграл в полярной системе координат, а внутренний интеграл вычисляется в прямоугольной системе по оставшейся переменной с использованием известных правил.

На рисунке 12.3 показаны некоторые варианты расчёта тройного интеграла в цилиндрической системе координат.

177

z

z(r,

z

	V			z = 0
	D			y
		(
x		r

x = 0

x(r, )

	r
	(
	2
		)
	D

V r1( )

y

x

F (r, , z)rdrd dz

V
		r ( )	z(r, )
2	d	rdr		F (r, , z)dz.
1		0	0
				Рисунок 2.3.

F (r, , x)rdrd dx

V
2	r2	( )	x(r, )
d		rdr		F (r, , x)dx.
1	r1 ( )		0

В сферических координатах положение точки Р в трёх мерном пространстве определяется тремя числами , r, (рис. 12.4), где

r – расстояние от начала координат до точки – это радиус-вектор точки, – угол между осью Оz и радиус-вектором,

– угол между осью Ох и проекцией радиус-вектора на

плоскость хOу.

Положительные направления углов показаны на рис. 12.4.

0 r , 0≤ ≤ , 0≤ ≤2 .

z

Связь

прямоугольных

и

сферических координат:

z

x = rsin cos , y = rsin sin , z =

P( , r, )

rcos .

r

Тройной интеграл в сферических

y

y

координатах имеет вид:

x

I= F( ,r, )r2 sin drd d .

x

V

Преобразование

тройного

Рисунок 12.4.

интеграла от

декартовых

координат

к

сферическим имеет вид:

f x, y, z dxdydz f rsin cos ,rsin sin ,rcos r2 sin drd d .

V V

178

	z		Если область V представляет собой шар -
			x2 y2 z2		R2 (рис. 12.5), то
V			f x, y, z dxdydz
			V
		y	2		R
			d sin d f r sin cos , r sin sin , r cos r2dr.
x			0	0	0
Рис. 12.5.

12.3. Некоторые приложения тройных интегралов

Тройной интеграл применяется для вычисления следующих величин.

1. Вычисление объема тела f x, y, z 1

V dxdydz rdrd dz r2 sin drd d .

V V V

2. Вычисление массы тела объемом V с объемной плотностью распределения массы f(x,y,z).

m f x, y, z dxdydz

V

3. Вычисление координат центра масс xc , yc , zc тела массой

m.

		xf x, y, z dV			yf x, y, z dV					zf x, y, z dV
x		V		, y	V		, z	c		V	.
c			m	ñ		m				m
4.		Вычисление моментов				инерции Ix, Iy, Iz, I0 тела
относительно осей Ox, Oy, Oz и начла координат.
Ix	y2		z2 f (x, y, z)dV ,			I y x2 z2 f (x, y, z)dV ,
		V				V
Iz	x2		y2 f (x, y, z)dV ,			I0 x2 y2 z2 f (x, y, z)dV.
		V				V

12.4. Типовые примеры решения тройных интегралов

Напомним, что здесь, как и в двойном интеграле, важным является построение чертежа области интегрирования. Область V ограничивается замкнутой поверхностью, которая в свою очередь состоит из отдельных кусков гладких поверхностей, заданных своими уравнениями. На рис. 12.6 представлены некоторые уравнения

179

поверхностей и их геометрическое изображение, которые помогут

построить тела (область V) в трехмерном пространстве.

z

x

y

z

z

z = 2x

z 2x + z = 1

z

z = 3

c

a

+b

+c =1

2

1

3

b

y

y

y

y

a

1 2

x

1

x

x

x

z

2

2

z

2

2

2

z

x2

y2

z2

z = 1 - x - y

x + z = y

2

2 -

c2

=1

1

1

a +b

1

y

1

y

a

b

y

1

x

x

x

z

x2+ z2= 4

x = 1 - y2

z

z = 2 - y

2

z

y = x

2

z

2

2

y

1

1

y

y

y

x

x

x

x

Рисунок 12.6.

Пример 1.

Вычислить интеграл

xyzdxdydz ,

где область V

V

ограничена плоскостями:

x z 3, y 2, y 0, x 0, z 0.

z

Решение.

Область

V

(рис.

12.7)

правильная в направлении всех переменных.

x + z = 3

3

Выберем

следующий

порядок

y = 0

V

y = 2

интегрирования

тройного

интеграла:

внутренний интеграл – по z, средний – по y,

2

y

внешний – по x.

указывающая

возрастание

z,

D

z = 0

Стрелка,

3

входит

в

область

V

через

границу

z

=

0

x

(нижний предел интегрирования), а выходит

Рисунок 12.7.

из области V через границу z = 3 – x (верхний

предел

интегрирования).

Стрелка,

указывающая возрастание y, входит в область D (проекция области V

на плоскость xOy) через границу y = 0 (нижний предел), а выходит из

области D через границу y = 2 (верхний предел). Область D

проектируется на ось Ox в отрезок, границы которого 0 (нижний

предел) и 3 (верхний предел).

180

														3			2		3 x							3					2				2 3 x
			xyzdxdydz dx dy																		xyzdz xdx ydy z
				V										0			0			0						0					0			2		0
				3					2					2					3			3 x 2
			xdx y 3 x											dy 1 x												y2				2
				0					0		2						2		0							2				0
			1			3														9 x2				6 x3		x			4	3		81	54				81			27 .
					0		9x 6x2 x3 4dx
				4																2				3				4		0		2					4			4
									z																	Пример 2. Найти объем тела,
																							ограниченного поверхностями:
									9
																							z 0, 4z y2 , 2x y 0, x y 9 .
									5	4z = y2																Решение.							Область								V		(рис.
																							12.8) – правильная в направлении
											V												всех переменных – есть пирамида с
									1	1					6			9					вогнутой										«крышей»											–
								1													y
																							параболическим																цилиндром
								D						2x-
				5																			4z y				2	,			боковыми							гранями						–
											A(3;6)				y		=0
	9					=9																	плоскостями 2x y 0, x y 9																					и
					y
				+
		x		x																			основанием									(область							D)				z 0 ,
									Рисунок. 12.8.
																							представляющим																				собой
треугольник									с вершиной									A(3;6) ,						координаты									которой							находятся
решением системы уравнений:																						2x y 0
																						x y 9.
																	6			9 y			y2 4							6		9 y				y2 4
					V dxdydz dy dx																				dz					dy dx z
										V							0			y 2				0						0		y 2					0
	6		9 y		y2					6	y2	dy x				9 y				1	6		2		y					y			1	6				2		3	y	3
dy					4			dx			4									4	y			9							dy		4			9y				2			dy
	0		y 2							0						y 2					0									2				0
	1		9	y3				3		y4 6			1							3888					40,5 åä. î áúåì à.
															648
	4			3				2		4 0			4								8
																						181