Математика Сизов 2011

9.

F z2 i xj xyk , : x 3cost, y 3sin t, z 4; A 3;0;4 , B 0;3;4 .

10.

F yxi x2 j zk, : x cost, y sint, z 4sint 3cost; A 1;0; 3 ,B 0;1;4 .

Задание 3. Найти циркуляцию вектора F вдоль контура , образованного пересечением двух поверхностей. Построить чертеж.

1.F 2zi 4 yj xk ,

2.F yzi 2xj z2k ,

x2 z2 4,

:

x y 2z 2.

: z 6 x2 y2 2,z 8.

																	2											2			2				2
3.	F zi 2xj 4 y																						k ,			: x			y			z				9,
																										x2 y2 4, z 0.
				2																							2			2
4.	F x						i				3zj 2yk ,															: x			y			16,
																													z 2.
5.																						,				x2			y2			4z2 ,
	F				4yi							2xzj						zk
																										:			z 1					.
																																	2

3 xy

6. F

i

2zj

xk ,

y2 z2 9,

:

y 2x 4z 4.

7. F 5zi xyj xzk

,

y 4 x

2

z

2

2,

:

y 2.

x2

y2

,

x2 y2 z2 4,

8. F

i

zj

k

:

y2 z2 2, x 0.

x2

z2

9,

9. F

yzi

2xzj

xyk ,

:

y 3.

2z2

10. F

i

xyj

4zk

,

x2

z2

9y2 ,

:

y 1.

187

14.Поверхностные интегралы

Взависимости от величины (функции, поля), которая интегрируется по ограниченному куску гладкой кривой поверхности, существуют два рода поверхностных интегралов.

При интегрировании скалярной величины (поля) – поверхностный интеграл I рода.

При интегрировании векторной величины (поля) – поверхностный интеграл II рода.

14.1. Поверхностный интеграл I рода

		14.1.1. Определение
z		Поверхностным интегралом
		I рода	от	скалярной функции
zi		f(x,y,z)	по	ограниченному	куску
		гладкой		(кусочно-гладкой)
	Si	поверхности		σ называется	предел
		интегральной суммы

			lim	n	f (x , y ,z ) S					f (x, y,z)dS,
	yi		n		i	i	i	i
		y	max Si 0 i 1
xi			где	f(x,y,z)			–	ограниченная
	xi yi		непрерывная				скалярная				функция
	xy		(поле),		определённая						на
x
			ограниченном				куске				гладкой
	Рисунок 14.1.		поверхности σ (рисунок 14.1),
Si – площадь i-ой элементарной площадки, на которые разбит весь
кусок поверхности σ, (i=1, n ),
n – количество элементарных площадок,
	f(xi,yi,zi) – значение функции в точке (xi,yi,zi) принадлежащей
элементарной площадке		Si.

Если f(x,y,z) – поверхностная плотность распределения вещества [кг/м2], то f(xi,yi,zi) Si - масса элементарного кусочка поверхности σ, интегральная сумма – приближённое значение, а её предел – точное значение массы всего куска поверхности σ.

Физический смысл поверхностного интеграла I рода – это есть масса куска кривой поверхности σ.

С помощью этого интеграла можно посчитать массу пустой цистерны, обшивки ракеты, корпуса подводной лодки и т. п.

203

14.1.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода.

Расчёт сводится к вычислению двойного интеграла. Общеизвестно, что двойной интеграл вычисляется по плоской области D.

	z	ni		Значит,				нужен
				переход	от	куска		кривой
			Si	поверхности		σ	к	плоской
				области D. Этот переход
				осуществляется				через
				проекцию σ на любую из
				координатных			плоскостей,
				лишь	бы	выполнялось
			y	условие		однозначности
			xi	проектирования				этой
x			yi	кривой	поверхности на
		Рисунок 14.2		координатную плоскость.

Пусть поверхность σ однозначно проектируется на плоскость Z = 0 и эта проекция есть область σxy (рисунок 14.1). Тогда каждая из элементарных площадок Si будет иметь проекцию на плоскость Z = 0 в виде xi yi (рисунок 14.2)

Элементарная площадка Si – кусочек плоскости изменяющей свою ориентацию от точки к точке по поверхности σ, площадка xi yi

– тоже кусочек плоскости, но с постоянной ориентацией, так как лежит на самой плоскости Z = 0.

Их площади связаны соотношением:

xi yi cos , где - угол между их плоскостями.

Si

Но угол γ, это угол между единичным нормальным вектором ni площадки Si и осью Oz (рис. 14.2), являющейся нормальным вектором площадки xi yi .

Напомним, если гладкая двухсторонняя поверхность σ задана уравнением z =g(x,y) или φ(x,y,z) = z-g(x,y) = 0, то единичный нормальный вектор к такой поверхности определяется как

grad

n

x

i

j

z

k

2

2

2

grad

x

2

y

2

x

2

y

z

2

x

2

y

2

z

z

gx

gy

1

i

j

k

(14.1)

2

2

2

2

2

2

1 gx

gy

1 gx

gy

1 gx

gy

cos i cos

cos

,

j

k

204

где cos ,cos ,cos – направляющие косинусы.

Поверхностный интеграл I рода, определяющий массу поверхности, не зависит от направления вектора n , поэтому знаки

опускаем.
Из формулы (14.1) следует:							xi yi
cos	1				. Тогда xi yi cos Si ,	Si
		2		2
	1 gx		gy				cos

Si 1 gx 2 g y 2 xi y j .

При переходе от интегральной суммы к её пределу имеем:

dxdy cos dS ,	dS dxdy	,	dS	1 gx 2 gy 2 dxdy .	(14.2)
	cos

Таким образом, если функция f(x,y,z) задана на поверхности σ, которая описывается уравнением z = g(x,y), и поверхность σ однозначно проектируется на плоскость Z = 0, то поверхностный интеграл I рода вычисляется:

f x, y, z dS		f x, y, g x, y dxdy
	xy	cos	(14.3)
f x, y, g x, y		1 gx 2 gy 2 dxdy.

xy

Если поверхность σ однозначно проектируется на другие координатные плоскости, например, на X = 0, и уравнение поверхности σ задаётся в виде x=u(y,z) то те же рассуждения приводят к формулам:

	dydz cos dS,	dS dydz ,	dS= 1 uy 2	uz 2 dydz,	(14.4)
		cos		dydz
	f x, y, z dS		f u y, z , y, z
		yz		cos	(14.5)
	f u y, z , y, z		1 uy 2 uz 2 dydz.

yz

Если расчёт привязать к плоскости Y = 0 и уравнение σ есть y=v(x,z), то соответствующие формулы имеют вид:

dxdz cos dS,	dS	dxdz	,	dS	1 vx 2 vz 2 dxdz,	(14.6)
		cos

205

f x, y, z dS		f x,v x, z , z dxdz
	xz	cos	(14.7)
f x,v x, z , z
		1 vx 2 vz 2 dxdz.

xz

Если проекции σ на координатные плоскости представляют собой фигуры, ограниченные окружностью или эллипсом, то расчёт поверхностного интеграла I рода (формулы (14.3),(14.5),(14.7)) удобнее проводить в полярной системе координат (см. расчёт двойного интеграла в полярной системе координат).

14.1.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

1. Вычисление массы материальной поверхности с поверхностной плотностью распределения массы f(x,y,z).

m f x, y, z dS .

2. Вычисление площади поверхности σ (если f(x,y,z) = 1).

S dS .

3. Вычисление координат центра масс xc, yc, zc материальной

поверхности σ: xc

myz

xf (x, y, z)dS

, yc

m

yf (x, y, z)dS

,

xz

m

m

m

m

zc

mxy

zf (x, y, z)dS

,

m

m

где myz, mxz, mxy – статические моменты материальной поверхности σ относительно координатных плоскостей.

4. Вычисление моментов инерции Ix, Iy, Iz, Io относительно осей

Оx,Оy,Оz и начала координат материальной поверхности σ.
I x y2 z2 f (x, y, z)dS,	I y x2 z 2 f (x, y, z)dS,
I z x2 y2 f (x, y, z)dS, I0 x2 y2 z 2 f (x, y, z)dS .

При расчётах перечисленных величин следует пользоваться формулами (14.3, 14.5, 14.7).

206

14.1.4. Типовой пример решения поверхностных интегралов I рода

Пример. Вычислить массу, координаты центра масс и моменты инерции относительно координатных осей и начала координат

материальной		оболочки,	которая	представляет		собой полую
тонкостенную		конструкцию, выполненную из				композитного
материала с	поверхностной плотностью x, y, z				кг 2		Оболочка
						м	.
имеет вид тела, ограниченного поверхностями S1, S2.
	x, y, z x2 ,		S1 : z 2	1 x2 y2 , S2 : z 0.
				2

		z			Решение. Оболочка имеет вид тела – рис.
			S1		14.3, где S1 – “крыша”, S2 – основание.
		2				Масса оболочки
	-2	S2	2	y	m x, y, z dS x2 dS1 x2 dS2 ,
					s	S1	S2
		x				S1 : z g x, y 2	1 x2 y2 ,
							2

			Рисунок 14.3.												dS1			1 gx 2 gy 2dxdy															1 x2 y2dxdy.
															S2 : z 0 ,							dS2			dxdy.
			x2dS1								поверхность S1								однозначно проектируется на
			S1
плоскость Z=0 в виде поверхности S2																								x2						1 x2			y2 dxdy
																									S2
		x r cos , y r sin , dxdy rdrd ,0 2 ,
		z 0		2					1		x2 y2 ,0 2							1 r2 cos2 r2 sin2 , r2 4, r 2
2			2						2									2							2								2
d r2				cos2							1 r2 cos2 r2 sin2 rdr cos2 d																						r3 1 r2 dr.
0			0																							o							0
2											2			2				2
r3			1 r2 dr							12 r 2		t			,t 1 r					,r 0,t 1,
0							r				t	1,2rdr 2tdt,r 2,t													5
5 t2 1 ttdt 5 t4 t2 dt (t5
																t3 )				5		1 (25			5 1) 1 (5 5 1) 10 5												2	.
1					1										5		3			1		5								3			3			15
	2			2				2			2		3			2				10					2 2						2
x			dS1	cos						d r					1 r		dr				3	5							cos			d
S				0							0														15				0
1

207

10				2			2 1 cos 2					d
	3	5
				15					2
							0
10				2			1			1				2	10				2
	3	5						2		4	sin2					3	5			.
				15										0					15

x2dS2			x2dxdy							x	rcos , 0 r									2,
										dxdy rdrd ,								0		2
S2			S2
2		2	2	3			2 1 cos2							r4			2		1		1				2
cos d r						dr						d					4					sin2			4 .
									2					4					2		4
0			0				0										0								0
m		10		2						10			5		62				36,401Ед.массы,
			5				4				3				15
		3		15

Kоординаты центра масс xc, yc, zc.

				x x, y, z dS													x3dS						x3dS1 x3dS2
	x				S												S						S1								S2		.
	c								m										m											m
x3dS1 x3					1 x2				y2 dxdy										x r cos , y r sin ,0 2 ,
S1	S2																		dxdy rdrd , 0 r 2.
r3 cos3			1 r2 rdrd
S2
2			2									2																	2
cos3 d r4 1 r2 dr												r4						1 r2 dr A								A 1 sin2 d sin
0			0								0																			0
		sin3					2		0 .
A sin			3				0
					2				2							2									r	5		2				3				2
3		3							3	4		dr								2										32		sin							0.
x dS2 x dxdy						cos d r										1 sin dsin									5					5	sin	3
S	S					0			0							0												0								0
2	2
	y x, y, z dS								yx2 dS							yx2 dS1 yx2 dS2
yc	S								S							S1						S2								.
		m							m													m
yx2dS1 yx2							1 x2 y2 dxdy														переход										к		полярным
S1		S2
координатам

208

									2	2
r sin r 2 cos2					1 r 2				rdrd	sin cos2 d r 4	1 r 2 dr
S2									0	0
			2
			r 4	1 r 2 dr A
			0

2	2	d cos A		cos3			2		A	1	1 0 .
A cos							0
				3					3
0
yx2dS2			2					2				32	cos3
		yx2dxdy sin cos2 d r4dr
S2		S2	0					0				5	3

2

0.

0

				z x, y, z dS																					zx2dS																	zx2dS1 zx2dS2
zc			S																					S																		S1														S2											.
								m																						m																						m
				2	dS1										z 2							1			x				2		y				2															1			x					2		y		2							2			1 x					2	y			2	dxdy
zx																						2																							2					2													x
S																																											S
1																																											2
			переход к полярным координатам																																																	=
					2		1	r		2							2		cos		2						1 r							2												2								2						2								3				1	r	5					1 r				2	dr.
							2					r																								rdrd cos																					d 2r															2
S																																															0													0
2
2 r3				1 r 2 dr											10					5					2						(см. раньше).
																	3						15
0
2				1 r2 dr															1 r2 t2 , t 1 r2 , r 0, t 1,																																																		5		t2 1							2	t2dt
r5																		r2			t2 1,												2rdr 2tdt, r 2, t																												5
0																																																																					1
5																										7						2 t5 t										3			5
t6 2t4 t2 dt t
1																									7							5									3			1
1				125			5 1												2	25						5 1												1		5 5					1								200														8
7																			5																			3																	21						5									.
																																																																	105
				2	dS1			2										2				2								3				1		r		5					1 r			2	dr
zx									cos										d				2r											2
S									0													0
1
2 1 cos2																					10												2								1		200															8
												d						2								5																							5
						2															3											15									2
0																																											21													105
																																																	2
20									4							100													4												sin 2																			20							100									4				4
						5															5																																						5
3								15										21								105 2																	4						0											3								21						15						105

40 5 32 .

21 105

209

zx2 dS2							z 0					0.
S2
			40					32
					5									200 5 32					15			1		100 5	16
			21					105
z																												0,394ед.длины
				10				62											105			7
	c				5									50 5		62								25 5		31
				3				15

. xc 0, yc 0 .

Моменты инерции Ix, Iy, Iz, Io.

I x y 2 z 2 x, y, z dS y 2 z 2 x2 dS1 y 2 z 2 x2 dS2 .

					S																														S1																						S2
y2 z2 x2dS1																																		1		x2										2
															y2															2									y2									x			2		1 x2 y2 dxdy
S1																																		2
																S2
			переход к полярным координатам
						2	sin		2						2			1		r			2		2							2	cos				2			1 r					2		rdrd
r																		2											r
	S2
						2	sin			2	4						2r		2									1	r		4				2	cos			2				1 r							2		rdrd
r																												4				r
	S2					sin			cos									1 r																cos												4r					2r									r						1 r		drd
r					5			2						2										2				drd													2								3							5		1			7						2
	S2																																			S2																						4
	2														2																					2												2			4r3						2r5					1
cos2 sin2 d r5																							1 r2 dr cos2 d																																							4		r7 1 r2 dr .
		0													0																						0											0
2 r3				1 r 2 dr 10												5						2				,											2 r5				1 r2 dr												200					5					8			.
																																																					21
0													3							15																	0																									105
2																				1 r									2	t				2	,	r 0, t									1														5
r7				1 r2 dr																																																					= t2 1 3 t2dt
0																		2rdr 2tdt, r 2, t																													5											1
		5																									9												t			3				5
																															3t7						3t5														1 625						5 1								3 125			5 1
t8						3t6				3t4
													t2 dt t
	1																									9					7						5				3					1					9														7
	3											1																			625						375									5						1			3			3			1				1840				16
			25 5 1										5 5 1 5																											15																											5			.
	5											3																				9						7								3						9			7			5			3				63				315

210

2						2						2				2			5							2									200																			8						2 1												2							200													8 12 1 cos4
	cos sin d r																					1 r dr																	21							5																						sin 2 d															21					5									2						d
0																0																																				105 0													4																									1054 0
	200									5					8 1									sin									2								200											5									8										.
																										4
	21											1058																					0								21																	105 4
2																		2				4r3				2r												5								1					r7													1 r2 dr
cos2 d																																														4
0																		0
		2				1 cos2																				10																				2																		200															8									1 1840									16
																		d						4														5																2																				5																					5
												2																3																	15																21																105											4				63					315
		0
										40						400							1840															8								16																4										1							sin 2											2				100					220
						5																																																																																										5								.
											3					21							252													15										105												315														2									2									0				63					315
									2						2			2										200																							8																					100											220
y											z					x				dS1									21												5																				4											63						5					315
S1																																															105
											50					100										2											220																					250																		214
						5																																																																		5									.
											21					63									105											315																									63															315
y2										z2 x2dS2															y2x2dxdy																																														переход															к				полярным
S2																													S2																																																координатам
r2 sin2 r2 cos2 rdrd r5 sin2 cos2 drd
			S2																																																							S2
		2																									2																												r6								2							8 .
sin2 cos2 d r5dr
		0																									0																			4										6							0							3
I							250							5				214										8														250												5							1054
	x																																																																							38,368 ед. момента инерции.
							63											315										3														63																					315
I y												x2 z 2 x2 dS x2 z 2																																																				x2 dS1 x2 z 2 x2 dS2 .
									S																														S1																																								S2
x2										z2 x2dS1																																2																1						x2								y2								2
																																		x2																																																	x2							1 x2					y2 dxdy
S1																																																										2
																											S2
						переход к																полярным																																		2									2														1				2		2				2			2					2
												координатам																																	r																cos 2																		2		r						r cos								1 r rdrd
																																			1												S2
r											cos					4							2r																r				r																								1 r								drd
									2																		2																				3				cos																							2
															2																										4															2
		S																																	4
		2

211