Логические отношения между сложными суждениями

Сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми.

Несравнимые – это суждения, которые не имеют общих составляющих (пропозициональных) переменных. Например, р ∩ g и m ∩ n.

Сравнимые – это суждения, которые имеют одинаковые составляющие (пропозициональные) переменные и различаются логическими связками, включая отрицание. Например, сравнимыми являются следующие два суждения: «Украина или Болгария имеют выход в Черное море» (р U g); «Ни Украина, ни Болгария не имеют выхода в черное море» (┐р ∩ ┐g).

Сложные сравнимые суждения могут быть совместимыми и несовместимыми.

Совместимыми являются такие сравнимые суждения, которые одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости сложных суждений: эквивалентности; частичная совместимость и подчинение.

Эквивалентные – это суждения, которые принимают одни и те значения, т. е. одновременно являются либо истинными, либо ложными.

Отношение эквивалентности позволяет выражать одни сложные суждения через другие – конъюнкцию через дизъюнкцию или импликацию, и наоборот.

- выражение конъюнкции через дизъюнкцию: ┐ (а ∩ b) ↔ ┐a U ┐b.

- выражение дизъюнкции через конъюнкцию: ┐(а U b) ↔ ┐a ∩ ┐b.

- выражение импликации через конъюнкцию: ┐(a → b) ↔ (a ∩ ┐b).

- выражение импликации через дизъюнкцию: а → b ↔ ┐a U b.

Частичная совместимость характерна для суждений, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

Подчинение между суждениями имеет место в том случае , когда при истинности подчиняющего подчиненное всегда будет истинным.

Отношение логического подчинения, позволяющее по истинности подчиняющего суждения определить истинность подчиненного, составляет основу фундаментального в науке логики понятия логического следования, регулирующего все виды рассуждений.

Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Из двух видов несовместимости одна – противоположность, другая противоречие.

Противоположность – отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными, при ложности одного из противоположных суждений нельзя установить значение другого: оно может быть как истинным, так и ложным.

Противоречие – отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. При истинности одного из них другое будет ложным, а при ложности первого второе будет истинным.

Чтобы получить сложное суждение, противоречащее исходному, последнее нужно подвергнуть отрицанию. Например, для g противоречащим будет ┐g; для конъюнкции р ∩ g противоречием будет ее отрицание - ┐( р ∩ g).

Достаточные и необходимые условия

В научном познании важно проводить различие между достаточными и необходимыми условиями наступления какого-то факта, события, отражаемого в условном суждении. Условия являются достаточными, если при их выполнении всегда наступает данное событие. Условия являются необходимыми, если без их выполнения данное событие никогда не наступает. Так, в импликативном суждении А → В, А является достаточным условием для В, а В – необходимым условием для А.

Упражнение 13

Определите необходимость или достаточность условий в следующих суждениях:

1. Активное участие общественности в борьбе с преступностью является… условием для ее ликвидации.

2. Обвинительный приговор суда есть… условие для применения уголовного наказания.

3. Круглая тень Земли на поверхности Луны является… основанием для утверждения ее шарообразности.

4. Мутации являются… условием естественного отбора.

5. Активная работа с электоратом является…. условием победы на выборах.

6. Подготовка к экзамену по учебнику, хрестоматии и конспектах является … условием получения отметки «отлично».

7. Получение золотой медали за курс основной средней школы является …. условием поступления в Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

8. Ежедневное посещение балериной уроков хореографического искусства является …. успешным выступлением в ведущей партии балета Л. Минкуса «Дон Кихот».

9. Соблюдение строгой диеты и регулярное занятие спортом является …. залогом сохранения хорошей физической формы.

10. Поддержка болельщиков футбольной команды является …. условием ее победы над соперником.

11. Однозначное определение задач, ответственности и компетенции каждого сотрудника является… условием возникновения в коллективе хорошего психологического климата.

12. Делимость числа 2 является … условием его четности.

13. Окончание последней цифры чиса 0 или 5 является… условием того, чтобы число без остатка делилось на 5.

14. Убедительность аргументов является… условием правильности доказательства теоремы Пифагора.

15. Наличие железнодорожного билета является… условием поездки на поезде в санаторий.

Пример: Наличие атмосферы вокруг Земли является… условием для возникновения жизни на Земле (необходимым и достаточным).