elemen_teorija

Предложение 3.2.3. Если L Π[E], L L и µ (add)[L], то

∫(el)

χL dµ = µ(L).

	E
Доказательство.Фиксируем L, L и µ в согласии с условиями. С учетом
(1.7.3) подберем n N и
	(Λi)i				∆n(E, L)
			1,n
такие, что Λn = L. Введем, кроме того, (αi)i								Rn по правилу
							1,n
	j
(αj = 0		1, n \ {n}) & (αn = 1);
см. в этой связи доказательство предложения 2.7.3. Тогда (см. (2.7.3))
		n
χL =		=1	αiχ i Bo(E, L);
	∑i
при этом согласно (3.2.7) получаем цепочку равенств
(el)	n	αiµ(Λi) = µ(Λn) = µ(L).							2
∫ χL dµ =
	∑

E	i=1

Мы возвращаемся к общему случаю семейства L (2.2.1). В этом общем случае справедливо следующее

Предложение 3.2.4. Если f Bo(E, L) и µ A(L), то

	(el)
	∫
		f dµ 6 f Vµ.

E

Доказательство. Фиксируем f и µ в согласии с условиями, после чего подберем с учетом (2.7.3) такие

n N , (αi)i 1,n Rn, (Li)i 1,n ∆n(E, L),

∑N

что при этом f = αiχLi. С учетом (3.2.7) имеем:

i=1

	(el)				∑
	∫
				6	n	|αi| · |µ(Li)|.	(3.2.29)
		f dµ

Ei=1

130

Отметим при этом, что для каждого k 1, n
|αk| · |µ(Lk)| 6 f · |µ(Lk)|.	(3.2.30)

Если Lk = , то (3.2.30) следует из (2.2.19). Если же Lk ≠ , то выбираем x Lk, получая, что

|αk| = |f(x )| 6 f ;

тем самым завершается обоснование импликации

( )

(Lk ≠ ) = |αk| · |µ(Lk)| 6 f · |µ(Lk)| .

С учетом данной импликации получаем справедливость (3.2.30) во всех возможных случаях. Поскольку выбор k был произвольным, имеем из (3.2.29) и (3.2.30) неравенство

(el)			∑
E
			n
			6 f i=1 |µ(Li)|,
∫	f dµ

из которого в силу (2.2.12) и (2.2.14) вытекает требуемое утверждение. 2

Следствие 3.2.1. Если f Bo(E, L), g Bo(E, L) и µ A(L), то

(el)		(el)
	f dµ −	∫
∫			g dµ 6 f − g Vµ.

EE

Доказательство получаем непосредственной комбинацией предложений 2.7.2, 3.2.4, а также соотношения (3.2.28).

§ 3.3. Интеграл ярусной функции по конечно-аддитивной мере ограниченной вариации

В предыдущем разделе построен ЭИ на пространстве ступенчатых в/з функций. Как видно из определения 3.2.1 и из (3.2.7), ЭИ является по сути дела «хорошо организованной» суммой. Распространение конструкции интегрирования на пространство ярусных в/з функций (равномерных пределов ступенчатых) мы связываем со следствием 3.2.1. При этом, как и

131

∫(el)

ранее, E — непустое множество, а семейство L удовлетворяет (2.2.1). Напомним, что (2.7.33) — суть банахова норма пространства B(E, L), элементы которого именуем ярусными функциями. Соответственно, по аналогии с (2.7.22) имеем, что

ρu[E; L] = ( pr1(z) − pr2(z) )z B(E,L)×B(E,L) =

(	)	(3.3.1)
= (ρu[E] | B(E, L) × B E, L) (Dist)[B(E, L)]

(метрика B(E, L), порожденная нормой (2.7.33) и именуемая обычно метрикой равномерной сходимости); метрика (3.3.1) порождает, конечно, хаусдорфову топологию

	(top)o[B(E, L)],
τρu[E;L]

которая совпадает с т. н. топологией подпространства, отвечающего топологии (2.7.23). Последнее означает, что

τρu[E;L] = {B(E, L) ∩ G : G τρu[E]}.
Из (2.6.11), (2.7.25) и (3.3.1) получаем, в частности, что
f B(E, L) (fi)i N Bo(E, L)N :	(ρu[E; L](fi, f))i N −→ 0. (3.3.2)

С учетом (1.7.39) и (3.3.2) легко следует равенство (см. также (2.7.24))

	(3.3.3)
B(E, L) = cl(Bo(E, L), τρu[E;L]).

Как следствие, получаем из (1.7.40) и (3.3.3) очевидное свойство плотности Bo(E, L) в метризуемом ТП

(B(E, L), τρu[E;L]);
именно, мы получаем полезное свойство
	(3.3.4)
Bo(E, L) (τρu[E;L] − dens)[B(E, L)].

Далее учитываем, что согласно следствию 3.2.1 и (3.3.1) при всяком выборе µ A(L) число Vµ [ 0, ∞[ таково, что

∫(el)

u dµ −

EE

v dµ 6 Vµ ρu[E; L](u, v) u Bo(E, L) v Bo(E, L).

(3.3.5)

132

Теперь, при µ A(L) используем предложение 1.7.1 в следующей конкретизации: X = B(E, L), ρ = ρu[E; L], Y = Bo(E, L),

	(∫(el)	)
f =	h dµ	,
	E	h Bo(E,L)

a = Vµ; учитываем при этом (3.3.4) и (3.3.5); тогда в согласии с упомянутым предложением 1.7.1 у нас

!g RB(E,L) : (	(	)	∫	)& (|g(u) − g(v)| 6
		g | Bo(E, L) =	((el)h dµ)

Eh Bo(E,L)

)

6 Vµρu[E; L](u, v) = Vµ u − v u B(E, L) v B(E, L) . (3.3.6) Таким образом, корректно следующее весьма важное

Определение 3.3.1. Если µ A(L), то полагаем, что

Iµ : B(E, L) −→ R

есть def такое единственное отображение, что

		((Iµ | Bo(E, L))=
&	( Iµ(u)−Iµ(v)		6 u−v Vµ

(el)	)&
(∫ h dµ)
E	h Bo(E,L)
u B(E, L) v B(E, L)).		2

Условимся называть Iµ интегральным функционалом к.-а. меры µ

A(L). Кроме того, полагаем, что

∫

	(3.3.7)
f dµ = Iµ(f) f B(E, L) µ A(L).

E

Значения, определяемые в (3.3.7), называем интегралами (ярусных функций по к.-а. мерам ограниченной вариации). Для определенности будем также использовать в связи с (3.3.7) термин ярусный интеграл (ЯИ). Возвращаясь к определению 3.3.1, получаем, что (см. (3.3.7))

∫	∫(el)	(3.3.8)
f dµ =	f dµ f Bo(E, L) µ A(L);

EE

133

кроме того, из определения 3.3.1 вытекает, что (см. (3.3.7))

	u dµ − ∫		u B(E, L) v B(E, L) µ A(L).
∫		v dµ 6 u − v Vµ

EE

(3.3.9) Отметим, что из (3.3.8) следует, что ЯИ является распространением ЭИ на более общий класс в/з функций. Из (3.3.8), (3.3.9) следует, в частности, что

(el)		∫
	u dµ −			u Bo(E, L) v B(E, L) µ A(L).
∫			v dµ 6 u − v Vµ

EE

(3.3.10) Итак, в наших построениях ЯИ извлекается из предложения 1.7.1; тем самым решается проблема существования. Отметим теперь очевидное следствие (3.3.10). Именно, справедливо следующее

Предложение 3.3.1. Если f B(E, L) и µ A(L), то ЯИ

∫	(3.3.11)
f dµ R

E

есть единственное вещественное число, обладающее свойством: (fi)i N

Bo(E, L)N

(	)	(	(el)		)
			(E			E
	(fi)i N f =		∫	fi dµ		i N −→ ∫ f dµ).

Доказательство. Фиксируем f и µ в согласии с условиям. Тогда в соответствии с (3.3.7) определено значение (3.3.11), т.е. ЯИ f по к.-а. мере µ. В согласии с определением 3.3.1 имеем (см. (3.3.10)) свойство

(el)		∫
	f˜dµ −			f˜ Bo(E, L);	(3.3.12)
∫			f dµ 6 f˜− f Vµ

EE

здесь Vµ [ 0, ∞[ (см. (2.2.14)). Из (2.6.11) и (3.3.12) следует, что (fi)i N

Bo(E, L)N

(	)	(	(el)		)
			(E			E
(fi)i N f	=		∫	fi dµ	i N →	∫ f dµ).	(3.3.13)

134

Пусть теперь c R обладает свойством: (fi)i N Bo(E, L)N

(	)	(	(el)	)
			(E
(fi)i N f	=		∫ fi dµ	i N → c).	(3.3.14)

С учетом (2.7.25) выберем и зафиксируем последовательность (φi)i N Bo(E, L)N , для которой

	(φi)i N f.				(3.3.15)
Тогда в силу (3.3.13), (3.3.15) имеем сходимость
(el)		)
(E			E
∫	φi dµ	i N →	∫	f dµ.	(3.3.16)

Из (3.3.14), (3.3.15) вытекает в свою очередь следующее свойство сходимо-

сти

(∫(el) )

φi dµ	i	→ c.	(3.3.17)
		N

E

Из (1.3.7), (1.3.10), (3.3.16) и (3.3.17) получаем равенство

∫

f dµ = c.

E

Поскольку выбор числа c был произвольным, установлено, что ξ R

( (fi)i N Bo(E, L)N	(		)	(el)	)	)	)=
				((E
	(fi)i N f =			∫ fi dµ	i N → ξ
	(	E	)
	= ξ =	∫	f dµ .
С учетом (3.3.13) получаем доказываемое утверждение.							2

Итак, в содержательном отношении наш ЯИ вполне соответствует естественному представлению: если (fi)i N есть равномерно сходящаяся последовательность в Bo(E, L) и µ A(L), то

(el)

∫	lim f dµ = lim		∫	f dµ.
	i→∞ i	i→∞		i
E			E

135

Отметим, что в силу (2.2.10) мы можем рассматривать ЯИ по неотрицательной к.-а. мере и, в частности, по к.-а. вероятности (см. (2.2.11)). Тем самым мы приходим к понятию математического ожидания в к.-а. версии теории вероятностей, нередко связываемой с работами Де Финетти; см., в частности, [39]. С учетом (2.3.14) и (2.3.15) мы получаем возможность интегрирования по неотрицательной с.-а. мере и, в частности, по с.-а. вероятности; здесь полезно учесть также (2.2.2) и теорему 2.8.1.

§3.4. Основные свойства ярусного интеграла

Внастоящем разделе изучается ЯИ (см. определение 3.3.1), рассматриваемый как функция двух переменных: каждое значение ЯИ зависит от (ярусной) подинтегральной функции и к.-а. меры ограниченной вариации. Как и ранее, предполагается выполненным (2.2.1), где E — непустое мно-

жество. Напомним здесь же, что (см. следствие 2.5.1, предложение 2.7.2)

(B(E, L) (LIN)[B(E)])& (A(L) (LIN)[(add)[L]]).		(3.4.1)
На основе определения 3.3.1 построено в/з отображение
(f, µ) 7→∫	f dµ : B(E, L) × A(L) −→ R.	(3.4.2)

E

С учетом (3.4.1), (3.4.2) имеем при всяком выборе µ A(L) значения

(∫ )

αf dµ R α R f B(E, L) &

E

(∫ )

& (f + g) dµ R f B(E, L) g B(E, L) .

E

Если же фиксирована функция f B(E, L), то

(∫ ) fd(αµ) R α R µ A(L) &

E

(∫ )

& fd(µ + ν) R µ A(L) ν A(L) .

E

Предложение 3.4.1. Отображение (3.4.2) является билинейным функционалом:

1) если µ A(L), то

136

(∫ ∫ )

αf dµ = α f dµ α R f B(E, L) &

EE

&	(E	(f + g) dµ = E f dµ + E g dµ f B(E, L) g B(E, L));
	∫		∫	∫
2) если f B(E, L), то					&
			(E fd(αµ) = α E f dµ α R µ A(L))
			∫	∫
	&	(E fd(µ + ν) = E f dµ + E f dν µ A(L) ν A(L)).
		∫	∫	∫

Доказательство легко извлекается из предложения 3.2.2 с использованием весьма очевидного предельного перехода. При этом следует учитывать свойства, указанные в § 2.6 для нормы (2.6.4) и справедливые на самом деле для любого линейного нормированного пространства. Сейчас ограничимся проверкой первого положения в 1), фиксируя a R и φ B(E, L). Выберем произвольно последовательность (φi)i N Bo(E, L)N , для которой

(φi)i N φ.

(3.4.3)

С учетом (2.6.11) имеем для последовательности (φi −φ)i N B(E)N свойство

( φi − φ )i N −→ 0.

(3.4.4)

С учетом предложения 2.7.2 получаем, что (aφi)i N Bo(E, L)N . При этом по свойствам нормы

aφj − aφ = |a| · φj − φ j N .

С учетом (2.6.11) и (3.4.4) получаем с очевидностью сходимость

		(aφi)i N aφ.					(3.4.5)
Из предложения 3.3.1 и (3.4.3) вытекает свойство
	(el)			i N −→ ∫
	∫	φi dµ	)		φ dµ.
(E				E
Как следствие, реализуется следующее свойство сходимости
(	(el)		)
	E				E
a	∫	φi dµ		i N −→ a ∫		φ dµ.	(3.4.6)

137

С другой стороны, из (3.4.5) и предложения 3.3.1 получаем, что

	(el)		)
	(E			E
	∫	aφi dµ	iN	−→ ∫	aφ dµ.	(3.4.7)
Из предложения 3.2.2 имеем, однако, систему равенств
(el)			(el)
∫	aφj dµ = a ∫			φj dµ j N .
E			E

Сучетом (3.4.6) и (3.4.7) получаем, следовательно, равенство

∫∫

aφ dµ = a φ dµ.

E E

Коль скоро выбор a и φ был произвольным, установлено первое положение в 1); см. формулировку предложения. Прочие утверждения устанавлива-

ются на основе предложения 3.2.2 аналогично.					2
Отметим очевидные следствия предложения 3.4.1:
∫		∫
(E (−f) dµ = −E f dµ f B(E, L) µ A(L))&
∫	∫	∫
& (E (f −g) dµ = E f dµ−E g dµ f B(E, L) g B(E, L) µ A(L))&
∫		∫
& (E fd(−µ) = −E f dµ f B(E, L) µ A(L))&
∫	∫	∫
& (E fd(µ − ν) = E f dµ − E f dν f B(E, L) µ A(L) ν A(L)).
Предложение 3.4.2. Если f B(E, L) и µ A(L), то
		E
				6 f Vµ.
		∫	f dµ

Доказательство извлекается из предложения 3.2.4 с учетом (2.6.5). Отметим в качестве следствия, что из предложения 3.4.2 извлекается (3.3.9). Однако более важным представляется свойство, вытекающее из предложений 3.4.1 и 3.4.2: если µ A(L), то Iµ есть линейный ограниченный (а, стало быть, линейный непрерывный) функционал на банаховом

138

пространстве B(E, L). Данное свойство имеет целый ряд важных следствий. Поэтому рассмотрим его достаточно подробно в следующем разделе, определяя предварительно пространство, топологически сопряженное к B(E, L). Это определение, конечно, можно было бы адресовать к топологическому сопряженному любого банахова пространства, однако, мы будем придерживаться наиболее важной для нас детализации, связанной с B(E, L), а также с той ролью, которую играет в описании данной детализации пространство A(L). Сейчас ограничимся некоторыми замечаниями общего характера. Отметим, что из (2.6.11) и (3.3.9) вытекает свойство:

(fi)i N B(E, L) B(E, L)

((fi)i N f) =	((E	)	E		)
	∫	fi dµ	i N −→ ∫	f dµ	µ A(L) .	(3.4.8)

В связи с (3.4.8) отметим также, что ЯИ непрерывен и по второй переменной (т. е. по к.-а. мере ограниченной вариации): (µi)i N A(L)N µ

A(L)

(	)	((E	)	E		)
(Vµi−µ)i N → 0	=	∫	f dµi	i N −→ ∫	f dµ	f B(E, L) . (3.4.9)

На самом же деле ЯИ оказывается непрерывным по совокупности переменных, чем усиливаются свойства (3.4.8), (3.4.9): если (fi)i N B(E, L)N ,

(µi)i N A(L)N , f B(E, L) и µ A(L), то

(	)	((E	)	E	)
	((fi)i N f) & ((Vµi−µ)i N → 0) =	∫	fi dµi	i N −→ ∫	f dµ .

(3.4.10) В самом деле, пусть истинна посылка доказываемой импликации (3.4.10). Тогда (см. (2.6.11))

( fi − f )i N → 0;

если j N , то в силу (2.6.5) и предложения 3.4.2

E

E

E

E

E

E

6

+

∫

=

∫

fj dµj − ∫ f dµ

∫ fj dµj − ∫

fj dµ

∫ fj dµ −

f dµ

E

E

E

=

fj dµ − ∫

6 fj · Vµj−µ + fj

− f Vµ 6

∫

fj d(µj − µ) +

∫

f dµ

6 f Vµj−µ + fj − f Vµj−µ + fj − f Vµ.

(3.4.11)

139