elemen_teorija

Итак, мы определили в (2.7.21) конус всех неотрицательных ступенчатых в/з функций на E. Вернемся к (2.6.8). Пусть ρu[E] есть по определению метрика (2.6.8):

	(z) − pr2(z) )z B(E)×B(E) (Dist)[B(E)];	(2.7.22)
ρu[E] = ( pr1

посредством (1.7.37) определена для метрики (2.7.22) хаусдорфова топология

		(2.7.23)
τρu[E] (top)o[B(E)].
Разумеется, (B(E), τρu[E]) — метризуемое ТП. Мы полагаем, что
		(2.7.24)
B(E, L) = cl(Bo(E, L), τρu[E]);

функции — элементы B(E, L) — условимся называть ярусными (в согласии с [22]). Заметим с учетом (1.7.39), что множество (2.7.24) всех ярусных функций допускает следующее более традиционное представление

B(E, L) = {f B(E) | (fi)iN Bo(E, L)N : (fi)iN f};	(2.7.25)
см. также (2.6.8), (2.6.11). При этом (см. (2.7.4), (2.7.24), (2.7.25))
Bo(E, L) P′(B(E, L)).	(2.7.26)

Предложение 2.7.5. Ярусные функции образуют линейное подпространство B(E) :

B(E, L) (LIN)[B(E)].

Доказательство следует фактически из предложения 2.7.2, (2.7.25) и аксиом нормы. Мы ограничимся краткой схемой. Пусть a R и φ B(E, L). Рассмотрим функцию

()

aφ = aφ(x) x E B(E);

см. (2.6.2). С учетом (2.7.25) подберем последовательность

(φi)iN : N −→ Bo(E, L),

(2.7.27)

для которой (φi)iN φ. Тогда имеем φj − φ B(E) при j N ; см. (2.6.2), предложение 2.7.2. Более того, из (2.6.11) следует, что

( φi − φ )iN −→ 0.

(2.7.28)

110

При этом (aφi)iN Bo(E, L)N в силу предложения 2.7.2; если j N , то

aφj − aφ = a(φj − φ) = |a| · φj − φ

(см. § 2.6). С учетом (2.7.28) получаем следующее свойство

( aφi − aφ )iN −→ 0;

в силу (2.6.11) получаем: (aφi)iN aφ. Из (2.7.25) имеем: aφ B(E, L).

Поскольку выбор a и φ был произвольным, установлено, что
αf B(E, L)	α R f B(E, L).	(2.7.29)
Пусть u B(E, L) и v B(E, L). Рассмотрим
(	)
u + v = u(x) + v(x) x E B(E);
см. (2.6.2). С учетом (2.7.25) подберем последовательности
(uj)jN : N −→ Bo(E, L), (vj)jN : N −→ Bo(E, L)		(2.7.30)
такие, что (uj)jN u и (vj)jN v. В силу (2.6.11)
(( uj − u )jN −→ 0)& (( vj − v )jN −→ 0).		(2.7.31)
В силу предложения 2.7.2 получаем, что
(uj + vj)jN : N −→ Bo(E, L).		(2.7.32)

При этом (uj + vj) − (u + v) B(E) j N . Более того, имеем с очевидностью

(uj + vj) − (u + v) = (uj − u) + (vj − v) 6 uj − u + vj − v j N .

Из (2.7.31) следует теперь очевидное свойство сходимости

( )

(uj + vj) − (u + v) jN −→ 0.

Тогда (uj + vj)jN u + v. Поэтому (см. (2.7.25), (2.7.32)) u + v B(E, L). Коль скоро u и v выбирались произвольно, установлено, что

f + g B(E, L) f B(E, L) g B(E, L).

С учетом	(2.7.25), (2.7.26), (2.7.29)	имеем теперь требуемое свойство
B(E, L) (LIN)[B(E)].		2

111

Из определений § 2.6 и предложения 2.7.5 следует, что
( · | B(E, L))= ( f )f B(E,L),	(2.7.33)

т. е. функционал f 7−→ f : B(E, L) −→ [ 0, ∞[, есть норма на B(E, L). Последнее в оснащении нормой (2.7.33) есть, стало быть, линейное нормированное пространство. Более того,

(B(E, L), ( · | B(E, L)))

(2.7.34)

есть на самом деле банахово пространство, поскольку справедливо следующее

Предложение 2.7.6. Если (fi)iN : N −→ B(E, L), то истинна импликация

( ε ] 0, ∞[ m N : fj − fk < ε	−−−∞→	k	−−−∞→)=
j	m,		m,
= ( f B(E, L) : (fi)iN f).			(2.7.35)

Доказательство. В силу (2.7.24) имеем, что (см. § 1.7)

	B(E, L) CB(E)[τρu[E]	],
т. е. B(E, L) — замкнутое п/м B(E). Тогда, в частности,
	B(E, L) = cl(B(E, L), τρu[E]).
Учитывая (1.7.39) и (2.6.8), получаем из последнего равенства, что
e	e	e	e	(2.7.36)
B(E, L) = {f	B(E) | (fi)iN B(E, L)N	: (fi)iN	f}.

Вернемся к (fi)iN со свойством, указанном в посылке доказываемой импликации (2.7.35). Тогда, в частности,

(fi)iN : N −→ B(E),

а потому в силу предложения 2.6.1 для некоторой функции f B(E) имеем сходимость

(fi)iN f

(2.7.37)

112

(напомним, что посылка импликации (2.7.35) предполагается истинной). Коль скоро fj B(E, L) при j N , имеем из (2.7.36), (2.7.37), что f B(E, L). Тем самым (см. (2.7.37)) импликация (2.7.35) доказана. 2 Отметим, что предложение 2.7.6 является на самом деле хорошо известным фактом (см. [10, 14] и др.), касающимся свойств замкнутого подпро-

странства банахова пространства.

Предложение 2.7.7. Если f B(E, L) и g B(E, L), то fg B(E, L).

Доказательство. Фиксируем f B(E, L) и g B(E, L), после чего подберем в согласии с (2.7.25) последовательности

(fi)iN : N −→ Bo(E, L), (gi)iN : N −→ Bo(E, L),

для которых (fi)iN f и (gi)iN g. Тогда определена (см. предложе-

ние 2.7.4) последовательность
(fi gi)iN : N −→ Bo(E, L).	(2.7.38)
При этом в силу (2.6.11) имеем следующие два свойства сходимости
(( fi − f )iN −→ 0)& (( gi − g )iN −→ 0).	(2.7.39)

Рассмотрим функцию f g B(E); см. (2.6.26), (2.7.25). Тогда при j Nfj gj − fg = fj(gj − g) + (fj − f)g 6 fj(gj − g)|| + (fj − f)g 6

6 fj · gj − g + fj − f · g ;

(2.7.40)

мы учли (2.6.26) и неравенство треугольника для нормы · . Из (2.7.39) и (2.7.40) легко следует свойство сходимости

( fi gi − fg )iN −→ 0

(2.7.41)

(при доказательстве полезно учесть тот факт, что в силу неравенства треугольника fj 6 f + fj − f j N ). Из (2.6.11) и (2.7.38) вытекает:

(figi)iN fg.

Из (2.7.25), (2.7.38) следует теперь требуемое включение fg B(E, L). 2

Из (2.6.26) и (2.7.25) вытекает, в частности, что
fg 6 f · g f B(E, L) g B(E, L).	(2.7.42)

Мы получаем для B(E, L) из вышеупомянутых положений (включая (2.7.42)) свойства вещественной банаховой алгебры. Отметим также весьма очевидное

113

Предложение 2.7.8. Если L Π[E], f B(E, L) и L L, то fχL

B(E, L).

Доказательство следует из предложений 2.7.3, 2.7.7 и (2.7.26). Функцию fχL в предложении 2.7.8 можно рассматривать как срезку f множеством L. Такие функции потребуются далее при построении неопределенного интеграла. Отметим также очевидное

Предложение 2.7.9. В общем случае L π[E] ступенчатые функции образуют линейное многообразие в B(E, L) : Bo(E, L) (LIN)[B(E, L)].

Доказательство получаем непосредственной комбинацией предложения 2.7.2, (1.6.1) и (2.7.26).

§ 2.8. Измеримые функции

Материал настоящего параграфа может быть пропущен при первом чтении. Он не потребуется при построении интеграла в следующей главе (в упомянутой главе речь пойдет в основном об интегрировании ярусных функций по к.-а. мерам ограниченной вариации). Тем не менее, с логической точки зрения сейчас уместно коснуться аналогии с функциями, которые являются объектами интегрирования в классической теории меры. Речь идет об измеримости в/з функций. Напомним, что E, E ≠ , — фиксированное множество;

f−1(S) = {x E | f(x) S} f RE S P(R).

В частности, как легко видеть, имеют место равенства

f−1( ] − ∞, c[ ) = {x E | f(x) < c} f RE c R.

Множества-прообразы, упомянутые в последнем соотношении, часто называют множествами Лебега соответствующей функции. В терминах этих множеств проще всего определяется свойство измеримости в/з функций на

E.

′

(E)

,

полагаем, что

Если E P

(P

)

то

E

f−

1

, c

c

.

E

{

f

R

|

( ] − ∞

[ ) E

(2.8.1)

(Meas)[ ; E] =

R}

В качестве E можно, разумеется, использовать семейство L (2.2.1). Однако в столь общем случае множество (2.8.1) будет «бедно» в том смысле, что

114

многие естественные с точки зрения человеческой практики функции не будут в нем содержаться. Положение, в случае E = L, не исправляется и тогда, когда L (alg)[E]; см. шкалу (2.2.2). Поэтому обычно (2.8.1) рассматривается при условии, что E (σ − alg)[E]; в этом случае о функциях

— элементах (2.8.1) — говорят как об E−измеримых. Мы, однако, не будем ограничивать себя таким соглашением всегда. Кроме того, в качестве E обычно используем семейство L, оговаривая те или иные дополнительные в сравнении с (2.2.1) соглашения. Однако предварительно отметим, что

(Meas)[E; E] ∩ B(E) = {f B(E) | f−1( ] − ∞, c[ ) E c R}. (2.8.2)

Если (fi)i N : N −→ RE и f RE, то, как обычно, поточечную сходимость последовательности (fi)i N к f отождествляем со свойством

(	)	(2.8.3)
fi(x)	i N −→ f(x) x E.

Разумеется, из равномерной сходимости последовательности в RE следует поточечная. Кроме того, справедливо

Предложение 2.8.1. Если L (σ − alg)[E], (fi)i N : N −→ (Meas)[E; L]

и f RE, то
((fi(x))i N −→ f(x) x E)= (f (Meas)[E; L] ).	(2.8.4)

Схема доказательства. Фиксируем L, (fi)i N и f в соответствии с условиями предложения; тогда

(fj)−1( ] − ∞, c[ ) = {x E | fj(x) < c} L j N c R. (2.8.5)

Пусть истинна посылка (2.8.4): полагаем, что выполнено (2.8.3). Фиксируем a R и рассмотрим множество Лебега

f−1( ] − ∞, a[ ) = {x E | f(x) < a} P(E).

С учетом (1.3.3) и (2.8.6) получаем, что x E

2

(x f−1( ] − ∞, a[ )) ( k N : f(x) +

< a).

k

В силу (2.8.3) и (2.8.7) имеем, следовательно, x E

(

−

( ] −∞

[ )) ( s N m −−∞→ :

j(

)

1

− s

x

f

1

, a

s,

f x

< a

(2.8.6)

(2.8.7)

−−−→)

j m, ∞ .

115

−−−→ j m ,∞

Пусть x f−1( ] − ∞, a[ ). Подберем с учетом последнего свойства эквива-

−−−→

лентности s N так, что для некоторого m s , ∞ верно

fj(x ) < a	1		j	−−−−→			(2.8.8)
				m ,		.
	− s				∞

Поскольку m N и при этом s 6 m , то

1 6 1 , m s

откуда, как следствие, вытекает, что

a − 1 6 a − 1 . s m

В силу (2.8.8) мы получаем теперь свойство:

fj(x ) < a	1	j	−−−−→
			m , .
− m			∞

Иными словами, установлено (см. (2.8.5)) следующее включение

x ∩ (fj)−1( ] − ∞, a − 1 [ ). m

Поскольку выбор x был произвольным, имеем, как следствие, вложение

		(j	∩	1
f−1( ] − ∞, a[ )	N		(fj)−1	( ] − ∞, a −	k	[ )	.	(2.8.9)
k			−−→				)

k,∞

На самом же деле в (2.8.9) имеет место равенство. В самом деле, пусть

n N ,		∩∞		1					1
	Λ =		(fj)− ( ] − ∞, a − n[ )								(2.8.10)
		n,
		j −−→
и x Λ. Это означает, что для x E
	fj	(x ) < a		1			j	−−→			(2.8.11)
								n, .
				−	n			∞

Кроме того, из (2.8.3) вытекает свойство сходимости

()

fi(x )	i	−→ f(x ).
		N

Тогда (см. (2.8.11)) справедливо неравенство f(x ) 6 a − n1 < a.

116

−−→ j k,∞

−−→ j n,∞

В итоге x f−1( ] − ∞, a[ ), чем и завершается обоснование вложения Λ f−1( ] − ∞, a[ ), откуда с учетом (2.8.10) вытекает:

∩ (fj)−1( ] − ∞, a − n1 [ ) f−1( ] − ∞, a[ ).

Поскольку выбор n был произвольным, установлено, что

∩ (fj)−1( ] − ∞, a − k1[ ) f−1( ] − ∞, a[ ) k N .

С учетом (2.8.9) получаем требуемое равенство
		(j	∩	1
f−1( ] − ∞, a[ ) =	N		(fj)−1	( ] − ∞, a −	k	[ ) ,
k			−−→			)
			k,
			∞

из которого в силу (2.8.5) и аксиом σ−алгебры множеств получаем, что

f−1( ] − ∞, a[ ) L.

(2.8.12)

Но a R выбиралось произвольно, а потому из (2.8.1), (2.8.12) следует,

что f (Meas)[E; L], чем и завершается обоснование (2.8.4).

2

Предложение 2.8.2. Если L (alg)[E], то Bo(E, L) (Meas)[E; L].

Доказательство. Напомним прежде всего, что семейство L замкнуто в рассматриваемом случае относительно конечных объединений; см. (1.7.12).

Пусть f Bo(E, L). С учетом (2.7.2), (2.7.3) подберем

n N , (αi)i		Rn, (Li)i		∆n(E, L)	(2.8.13)
	1.n		1,n
так, что при этом выполняется равенство
		n
		∑i			(2.8.14)
	f = αiχLi.
=1

Из (2.8.13), (2.8.14) следует, что f(x) = αj j 1, n x Lj. Фиксируем c R и рассмотрим множество Лебега

f−1( ] − ∞, c[ ) = {x E | f(x) < c} P(E).

(2.8.15)

Множество K = {i 1, n | αi тем свойством, что

< c} (FIN)[1, n] обладает в силу (1.7.12)

Li L

(2.8.16)

i K

117

(если K = , то множество-объединение в левой части (2.8.16) пусто; если же K ≠ , то K Fin(1, n), а тогда [27, c. 75]

K = {Li : i K} Fin(L)

иможно использовать (1.7.12), поскольку

Li =	L,
i K	L K

чем и завершается проверка (2.8.16)). С другой стороны, из (2.8.15) следует

равенство

f−1( ] − ∞, c[ ) = Li,

i K

откуда с учетом (2.8.16) вытекает включение f−1( ] − ∞, c[ ) L. Поскольку выбор числа c был произвольным, имеем из (2.8.1) включение f (Meas)[E; L], чем и завершается доказательство. 2

Как следствие, имеем из предложений 2.8.1 и 2.8.2, что

Bo(E, L) (Meas)[E; L] ∩ B(E) L (alg)[E].

(2.8.17)

Заметим, кроме того, что из предложения 2.8.1 и (2.8.17) легко следует свойство:

B(E, L) (Meas)[E; L] ∩ B(E) L (σ − alg)[E]

(2.8.18)

(при доказательстве (2.8.18) следует только учесть очевидную связь равномерной и поточечной сходимости; см. замечание перед предложением 2.8.1).

Предложение 2.8.3. Если L (alg)[E], то (Meas)[E; L]∩B(E) B(E, L).

Доказательство. Воспользуемся схемой Лебега, фиксируя

f (Meas)[E; L] ∩ B(E).

(2.8.19)

С учетом (1.2.9), (2.8.2) и аксиом алгебры множеств получаем, что a

R b ]a, ∞[

f−1([a, b[ ) = f−1( ] −∞, b[ \ ] −∞, a[ ) = f−1( ] −∞, b[ ) \f−1( ] −∞, a[ ) L.

(2.8.20)

С учетом (2.8.19) подберем число c ] 0, ∞[, для которого

f(x) [−c, c[ x E.

118

Здесь мы использовали свойство ограниченности функции f. Если m N и k 0, m, то полагаем

(m)

2ck

yk

= (−c) +

.

m

Ясно, что при m N имеют место следующие свойства: yo(m)

= −c, ym(m) =

= c,

(yk(m))k

−→ [−c, c];

:

0, m

0,m

кроме того, имеем ys(m−1)

< ys(m) s

Легко видеть, что

1, m.

([yk(m−)1, yk(m)[)k

∆m([−c, c[, P( [−c, c[))

m N .

(2.8.21)

1,m

(m)

1

(m)

(m)

В силу (2.8.20)

[ ) L m N k 1, m. Из (2.8.21)

Lk

= f

−

( [yk−1, yk

по свойствам операции взятия прообраза получаем, что

()

Lk(m)	k		∆m(E, L) m N .
		1,m

Как следствие, мы имеем в согласии с (2.7.3) свойство:

	m
	∑i
	(m)	χLi(m) Bo(E, L) m N .	(2.8.22)
φm =	yi−1
	=1

Более того, как легко видеть, имеет место следующее свойство сходимости

(φm)mN f.

С учетом (2.7.25) и (2.8.22) получаем включение f B(E, L). Коль скоро

выбор f был произвольным, предложение полностью доказано.

2

Теорема 2.8.1. Если L (σ − alg)[E], то B(E, L) = (Meas)[E; L] ∩ B(E).

Доказательство получается непосредственной комбинацией (2.8.18) и предложения 2.8.3. Итак, для стандартного ИП ярусные и ограниченные измеримые функции — суть одно и то же. Уже в случае ИП с алгеброй множества это, вообще говоря, не так.

Пример. Рассмотрим случай, когда

−−−→

E = N , Z1 = {pr1(z), pr2(z) : z N × N}, Z2 = {m, ∞ : m N} Z = Z1 Z2

119