Лекции Стечкина по матану

Пример. Для функции

(

1, x =6 0, y =6 0 ,

z = f (x, y) =

0, x = 0, или y = 0 ,

существуют fx′ (0, 0) = 0 , fy′ (0, 0) = 0 , но функция разрывна в точке (0,0) 1) .

При вычислении частных производных функции двух переменных поведение функции рассматривается не в окрестности точки, а только на горизонтальной и вертикальной прямых, проходящих через заданную точку p 0 .

54.2.Дифференциал первого порядка функции многих переменных

Рис. 12.1. Касательная плоскость.

Касательная плоскость (рис. 12.1) – аналог касательной к графику функции одной переменной. Рассмотрим точку (x0, y0, z0) . Уравне-

ние наклонной плоскости, проходящей через эту точку, может быть записано в следующем виде:

z − z0 = a(x − x0) + b(y − y0),

или z = L(x, y) , где L(x, y) = z0 + a(x − x0) + b(y − y0) – линейная

неоднородная функция.

1) Пример функции, разрывной в точке (0,0) и имеющей частные производные всюду в окрестности точки (0,0), смотри в книге [3] на с. 148. (Ред.)

251

Определение. Плоскость	z	=	L(x, y)	называется касательной
плоскостью к поверхности	ζ	=	f (x, y)	в точке (x0, y0, z0) , где
z0 = f (x0, y0) , если

f (x, y) − L(x, y) = o (ρ(p, p0)) , ρ(p, p0) → 0 ,

где p = (x, y) , p 0 = (x0, y0) .

Таким образом, касательная плоскость к поверхности в точке – это такая плоскость, которая имеет в окрестности точки соприкос-

новение с поверхностью порядка выше первого.

Определение. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке p 0 = (x0, y0) , если ее приращение имеет главную

линейную часть относительно приращения аргументов, т. е. если

f (x0, y0) = f (x, y) −f (x0, y0) = a(x−x0) + b(y −y0) + o(ρ), ρ → 0 ,

p

где ρ = (x − x0)2 + (y − y0)2 . Другими словами, если f (x0, y0) = a x0 + b y0 + o(ρ), ρ → 0 .

Упражнение. Доказать, что поверхность ζ = f (x, y) имеет касательную плоскость в точке (x0, y0, f (x0, y0)) тогда и только тогда,

когда функция f (x, y) дифференцируема в точке p 0 = (x0, y0) .

Определение. Главная линейная часть приращения функции

a x0 + b y0 ,

если она существует, называется дифференциалом функции f (x, y)

в точке (x0, y0) .

Обозначим x0 = dx0 , y0 = dy0 . Если дифференциал функции обозначить через df (x, y) , то

df (x, y) = adx + bdy,

f (x, y) = ad x + b d y + o(ρ) (ρ → 0) .

Введем следующие обозначения:

xf (x0, y0) = f (x, y0) − f (x0, y0) ;

y f (x0, y0) = f (x0, y) − f (x0, y0) ;

x y f (x0, y0) = f (x, y) − f (x0, y) − f (x, y0) + f (x0, y0) ;

252

∂x (x0, y0) =	µ ∂x ¶0 ;		∂y (x0, y0) =	µ ∂y ¶0 .
∂f		∂f	∂f	∂f

Замечание 1 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция дифференцируема в точке (x0, y0) , то она

непрерывна в этой точке.

Замечание 2 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция f (x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) , то она в этой точке имеет частные производные первого порядка.

Действительно, если		y0 = 0 , то
	f (x, y0) − f (x0, y0) = a x0 + o(ρ) (ρ → 0) ,
откуда		= a + o µ		¶	= a + o(1) (ρ → 0) .
	x0		x0
	xf (x0, y0)		ρ

Значит, ∂f∂x (x0, y0) существует и равна a . Аналогично ∂f∂y (x0, y0) существует и равна b .

Таким образом, получаем основную формулу для дифференциа-

ла функции:

df = ∂f∂x dx + ∂f∂y dy .

Отсюда, в частности, следует единственность дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала функции многих пере-

менных – приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 12.2).

Замечание 3 (достаточное условие дифференцируемости функции в точке). Пусть f (x, y) имеет частные производные ∂f∂x , ∂f∂y в некоторой окрестности O(x0, y0) точки (x0, y0) , и ∂f∂x ,

∂f∂y непрерывны в самой точке (x0, y0) . Тогда функция f (x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) .

В самом деле, применяя формулу Лагранжа, получим

f (x0, y0) = f (x, y) − f (x0, y0) =
= f (x, y) − f (x, y0) + f (x, y0) − f (x0, y0) =
=	∂f			∂f
		(x, y0 + ϑ1 y0)Δy0	+			(x0	+ ϑ2	x0	, y0)Δ x0 .
	∂y				∂x

253

Рис. 12.2. Геометрический смысл дифференциала – приращение аппликаты касательной плоскости.

По непрерывности частных производных в точке (x0, y0)

∂f

(x0

+ ϑ2

x0, y0) =

∂f

(x0

, y0) + α(x, y),

∂x

∂x

где

α → 0 при

(x, y) → (x0, y0) ,

∂f

∂f

(x, y0 + ϑ2

y0) =

(x0, y0) + β(x, y),

∂y

∂y

где

β → 0 при

(x, y) → (x0, y0) .

Значит,

f =

∂f

x0

+

∂f

y0 + α x0

+ β y0 =

∂x

∂y

y0 + o(ρ) (ρ → 0) ,

= µ ∂x ¶0

x0

+ µ ∂y ¶0

∂f

∂f

откуда и следует дифференцируемость.

254

2 семестр Лекция 21 (24.04.68)

Рис. 12.3. Схема знаков для составления второй смешанной разности.

Теорема (критерий дифференцируемости функции двух

переменных). Для того, чтобы функция											z = f (x, y) была диф-
ференцируема в точке					(x0, y0)		необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие два условия:										³ ´
2)						³		´
1) частные производные						∂f			и	∂f	существуют;
						∂x		0		∂y	0
				) = o(ρ) ( ρ					0 ).
	x y	f (x	, y				→
		0	0

Д о к а з а т е л ь с т в о (по Валле-Пуссену [1] с. 149). Необходимость условия 1) очевидна. Рассмотрим тождество

f (x, y) − f (x0, y0) =

= f (x, y0) − f (x0, y0) + f (x, y0) − f (x0, y0) + x y f (x0, y0)

(см. на рис. 12.3 схему знаков для составления второй смешанной

разности). В силу условия 1) при ρ → 0

f (x, y0) − f (x0, y0) = µ ∂x ¶0

x0

+ o(Δ x0) = µ ∂x ¶0

x0 + o(ρ) ,

∂f

∂f

f (x0, y) − f (x0, y0) =

µ ∂y ¶0

y0 + o(ρ) .

∂f

Тогда получим

f (x, y) − f (x0, y0) =

y0 +

x y f (x0, y0) + o(ρ) (ρ → 0) ,

= µ ∂x ¶0

x0 + µ ∂y ¶0

∂f

∂f

255

и для того, чтобы		∂f		x0 +	∂f	y0	= df (x0, y0)	необходимо
		∂x			∂y
			0			0
и достаточно,	чтобы выполнялось условие
	³	´		³		´
	x y f (x0, y0) + o(ρ) = o(ρ) (ρ → 0) ,
откуда следует условие				x y f (x0, y0) = o(ρ) (ρ → 0) .

54.3. Частные производные сложной функции

		u = ϕ(x, y)
Пусть отображение Φ :		½ v = ψ(x, y)		определено в окрестнос-
ти O(x0, y0)	точки (x0, y0) ,		Φ(x0, y0)	=	(u0, v0) и функция
z = f (u, v)	определена	в	окрестности		O(u0, v0) . Рассмотрим

сложную функцию z = f (ϕ(x, y), ψ(x, y)) = F (x, y) .

Теорема (производная сложной функции). Пусть функция f (u, v) дифференцируема в точке (u0, v0) . Если функции ϕ , ψ

³´ ³ ´

имеют частные производные

∂ϕ

,

∂ψ

в точке (x0

, y0) , то

∂x

∂x

0

0

∂F

сложная функция

F (x, y) имеет частную производную

0 в

∂x

производ-

точке (x0, y0) .

Если функции

ϕ , ψ

имеют частные

¡

¢

³

´

³

´

ные

∂ϕ

,

∂ψ

в точке (x0, y0) , то сложная функция F (x, y)

∂y

0

∂y

0

³

∂F

´

в точке (x0, y0) .

имеет частную производную

∂y

0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция f (u, v) дифференцируема в точке (u0, v0) , то

f (u, v) − f (u0, v0) =				u0 + µ ∂v ¶0		v0 + o µ			(Δu0)2 + (Δv0)2¶
	= µ ∂u ¶0
		∂f			∂f			q
при u0	→ 0 ,		v0	→ 0 . Эта формула справедлива при любых
приращениях u0			и	v0 . Возьмем приращения специального ви-
да. Рассмотрим функции u = ϕ(x, y0) ,							v = ψ(x, y0) . Тогда при-
ращения	u0 = ϕ(x, y0) − ϕ(x0, y0)					и	v0 = ψ(x, y0) − ψ(x0, y0) .

Заметим, что так как функции ϕ и ψ в точке (x0, y0) имеют частные производные, то u0 → 0 и v0 → 0 когда x0 → 0 , и более

256

того,

u0 и

v0 ограничены. Теперь

x0

x0

F (x0 + x0, y) − F (x0, y0)

=

x0

0

0

x0 −

+

= µ ∂u ¶0

∂f

ϕ(x + x

, y0)

ϕ(x0, y0)

+

µ ∂v ¶0

ψ(x

0

+ x

0

x0−

ψ(x

0

, y

0

)

+ o(1)

∂f

, y)

при

x0 → 0 . Перейдем в этом равенстве к пределу при

x0 → 0 .

Получим, что функция F (x, y)

имеет частную производную по x

и эта производная выражается следующей формулой

∂F∂x = ∂f∂u ∂ϕ∂x + ∂f∂v ∂ψ∂x .

Аналогично получим, что

∂F∂y = ∂f∂u ∂ϕ∂y + ∂f∂v ∂ψ∂y .

В частности, если u = ϕ(x) , v = ψ(x) , F (x) = f (ϕ(x), ψ(x)) ,

то получим формулу:

dFdx = ∂f∂u dϕdx + ∂f∂v dψdx .

54.4. Дифференциал вектор-функции

Мы рассматриваем отображение f :

En → Em , где n > 1 ,

m > 1 . В частности при n = 2 , m = 2

(x, y) → f (x, y) = (u, v) .

Пусть отображение f определено в окрестности

O(x0, y0) точки

p 0 = (x0, y0) .

Определение. Линейное отображение

A

L

n

m

простран-

ства E

n

в E

m

2)(E

, E

)

называется дифференциалом

функции f в точке

p 0 , если

kf (p) − f (p 0) − A(p − p 0)km

→

0

kp − p 0kn

2) Смотри, например, [5], т.2, § 41. (Ред.)

257

при p → p 0 , или

f (p) − f (p 0) = A(p − p 0) + r(p − p 0),

где kr(p − p 0)km = o (kp − p 0kn) при p → p 0 ; будем говорить, что функция f дифференцируема в точке p 0 , ее дифференциал в этой

точке равен df = A(p − p 0) и f ′ = A .

Геометрическая интерпретация дифференциала вектор-функ- ции – это отображение, касательное к данному (рис. 12.4).

Рис. 12.4. Отображение, касательное к данному.

Теорема (критерий дифференцируемости вектор-функ- ции). Пусть вектор-функция f (x, y) = {ϕ(x, y), ψ(x, y)} , опреде-

ленна в некоторой окрестности O(x0, y0) точки p 0 = (x0, y0) . Для того, чтобы эта вектор-функция имела в точке p 0 дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы существовали дифференциалы dϕ и dψ функций ϕ и ψ в точке p 0 = (x0, y0) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Из векторного равенства

f (p) − f (p 0) = A(p − p 0) + r(p − p 0) ,

где kr(p − p 0)km = o (kp − p 0kn) при p → p 0 , следует, что

ϕ(x, y) − ϕ(x0, y0) = a x0 + b y0 + o(ρ) (ρ → 0),

и аналогичное равенство имеет место для функции ψ . Значит, все компоненты функции f дифференцируемы.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть существуют dϕ(x0, y0) и dψ(x0, y0) .

Докажем, что

f (p) − f (p 0) − A(p − p 0) = o(p − p 0) (p → p) .

258

В силу критерия существования предела вектор-функции, предел существует, если он существует для компонент вектор-функции. Но он и существует для компонент, что следует из покомпонентной дифференцируемости функций ϕ и ψ .

				2 семестр
				Лекция 22
				(26.04.68)
Пусть En	– евклидово пространство и точка			p 0 En . Пусть в
окрестности		O(p 0)	задано отображение y =	f (x) ( x O(p 0) ,
y Em ):

			y1 = ϕ1(x1, ..., xn)
			y2 = ϕ2(x1, ..., xn)	.
			...........................
			ym = ϕm(x1, ..., xn)
	Следствие. Если все частные производные
	∂ϕi		(i = 1, ..., m ; j = 1, ..., n)
	∂xj

существуют в некоторой окрестности точки p 0 и в самой точке p 0 непрерывны, то отображение y = f (x) дифференцируемо в точке p 0 .

Введем обозначение: f D(y0) означает, что функция f диффе-

ренцируема в точке	y0 . Матрица	³	∂ϕi	´ из частных производных
			∂xj

называется матрицей Якоби.

Геометрический смысл дифференциала – это главная линейная часть приращения функции (рис. 12.5).

54.5. Дифференцирование сложной функции

Пусть заданы отображения

z

=

f (y)

E1 ,

y

= ϕ(x)

Em

( x O(x0) E

n

m

.

, y0 = ϕ(x0) ),

f определена в O(y0) E

Тогда

z = F (x) = f (ϕ(x)) : En

ϕ

f

−→ Em

−→ E1

– сложная функция, определенная для x O(x0) En .

259

Рис. 12.5. Геометрический смысл дифференциала.

Теорема о дифференцировании сложной функции. Пусть

дана сложная функция z = F (x) = f (ϕ(x)) . Пусть

f D(y0) ,

ϕ D(x0) ( y0 = ϕ(x0) ). Тогда сложная функция F (x)

дифферен-

цируема в точке

x0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем писать

x0 = x ,

x = (x1, x2) ,

y = (y1, y2) . Докажем, что

F (x) = F (x + x) − F (x) = A x1 + B x2 + o(ρ) =

∂F

x1 +

∂F

x2 + o(ρ) (ρ → 0) ,

∂ x1

∂ x2

где ρ =

(Δ x1)2 + (Δ x2)2 . По условию функция f D(y0) . Это

значит,

что

p

f (y) = f (y + y) − f (y) =

∂f

∂f

=

y1 +

y2 + o ³p(Δ y1)2 + (Δ y2)2´ .

∂y1

∂y2

Так как функция

y1 = ϕ1(x1, x2)

¾ = ϕ дифференцируема в точ-

y2 = ϕ2(x1, x2)

ке (x1, x2) , то

ϕ1 =

∂ϕ1

x1 +

∂ϕ1

x2 + o (ρ) ,

∂x1

∂x2

ϕ2 =

∂ϕ2

x1 +

∂ϕ2

x2 + o (ρ) ,

∂x1

∂x2

при ρ → 0 . Отсюда

следует, что

ϕ1

= O(ρ) ,

ϕ2 = O(ρ)

260