Лекции Стечкина по матану

(ρ → 0) . Значит

p

(Δ ϕ1)2 + (Δ ϕ2)2

= O(ρ) . Тогда

F (x) = F (x + x) − F (x) =

+

∂y2

µ ∂x1

x1 +

∂x2

x2¶ +

= ∂y1

µ ∂x1

x1 + ∂x2

x2¶

∂f

∂ϕ1

∂ϕ1

∂f

∂ϕ2

∂ϕ2

+ o (ρ) =

=	µ ∂y1			∂x1	+ ∂y2 ∂x1 ¶		x1	+	µ ∂y1 ∂x2
		∂f		∂ϕ1		∂f ∂ϕ2				∂f ∂ϕ1

+ ∂y2 ∂x2		¶	x2+
	∂f ∂ϕ2
+ o (ρ)		(ρ → 0) .

Значит, сложная функция дифференцируема и

	∂F	=	∂f ∂ϕ1			+	∂f ∂ϕ2			,
	∂x1		∂y1 ∂x1				∂y2 ∂x1
	∂F	=	∂f ∂ϕ1			+	∂f ∂ϕ2			.
	∂x2		∂y1 ∂x2				∂y2 ∂x2

В частности мы вновь получили формулу для частной производной сложной функции.

54.6.Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Пусть z = F (x) = f (ϕ(x)) . По определению дифференциала

	∂F			∂F
dF =		dx1	+		dx2 .
	∂x1			∂x2

Это выражение, пользуясь полученными выше результатами, мы можем переписать как

	∂F			∂F			∂f			∂f
dF =		dx1	+		dx2	=		dy1	+		dy2 .
	∂x1			∂x2			∂y1			∂y2

Таким образом, форма для дифференциала первого порядка инвариантна.

261

54.7. Дифференциал сложного отображения

Пусть заданы	отображения				l	,	m
					z = f (y) E		y = ϕ(x) Em
		n	,					.
( x O(x0) E				y0 = ϕ(x0) ), f определено в O(y0) E
Тогда
					ϕ		f
z = F (x) = f (ϕ(x)) : En −→ Em							−→ El

– сложное отображение, определенное для x O(x0) En .

Теорема. Если отображение f дифференцируемо в точке y0 , и отображение ϕ дифференцируемо в точке x0 , то сложное отображение F дифференцируемо в точке x0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. По критерию дифференцируемости вектор-функции, F D(x0) тогда и только тогда, когда все функции Fi(x) = fi (ϕ(x)) ( i = 1, ..., l ) дифференцируемы в точке x0 .

Но так как f D(y0) , то fi D(y0) . Тогда, так как ϕ D(x0) ,

то и

Fi(x) = fi (ϕ(x)) D(x0)

по теореме о дифференцировании сложной функции. Следователь-

но, отображение F D(x0) .

Замечание. Пусть

y = ϕ = A x + o(ρ) (ρ → 0) , f = B y + o(r) (r → 0) .

Тогда F = B A x + o(ρ) (ρ → 0) .

Действительно, A = ϕ′(x0) , B = f ′(y0) . Если y0 = ϕ(x0) , то

C= F ′(x0) = f ′ (ϕ(x0)) · ϕ′(x0) = BA .

54.8.Непрерывная дифференцируемость

Пусть дано отображение y			=	n	f		m	n
				f (x) : E −→ E				и G E –
открытое множество из	E	n
			. Если x0 G и			f D(x0) , то диф-

ференциал df (x0) функции f (x) (п. 54.4 с. 257) определяется матрицей A(x0) L (En, Em) размера n × m из значений частных

производных, а именно, df = A(x0) dx .

Определение. Если для любой точки x G f D(x) , то говорят, что отображение f дифференцируемо в области G ( f D(G) ).

Если f	D(G) , то		дифференцирование функции f						порождает
			n	каждой точке x						G ставит
отображение области		G в E , которое
					n	, E	m	) .
в соответствие дифференциал A(x) L (E
262

f

Определение. Будем говорить, что отображение f : En −→ Em

непрерывно дифференцируемо в области G , если df (x) является непрерывным отображением из G в L (En, Em) .

Теперь мы можем сформулировать условия, при которых диф-

ференциал является непрерывным отображение в области.

Теорема о непрерывном дифференцировании. Отображение f : En → Em непрерывно дифференцируемо в области G тогда

и только тогда, когда частные производные ∂fi – непрерывные

∂xj

функции в области G .

До к а з а т е л ь с т в о. В силу критериев дифференцируемости и непрерывности вектор-функции следует необходимость.

До с т а т о ч н о с т ь. Отображение f непрерывно дифференцируемо в каждой точке области G, так как все его компоненты

непрерывно зависят от точки в силу критерия непрерывности отображения.

§55. Производные и дифференциалы высших порядков

55.1. Теоремы о смешанных производных

Пусть задана функция y = f (x) :				En	f
					−→ E1 . Пусть для простоты
записи n = 2 , т. е. задана функция					z =	f (x, y)	,	(x, y)		G , и
								∂f
существуют частные производные первого порядка								∂x = fx′ (x, y) и
∂f	= f ′ (x, y) . Если эти функции – дифференцируемые функции,
∂y	y
то получаем частные производные второго порядка
	fxx′′ (x, y) ,		fxy′′ (x, y) ,	fyx′′	(x, y) ,	fyy′′ (x, y) .
Вообще говоря, f ′′		= f ′′ .
	xy	6	yx

Теорема Юнга о равенстве смешанных производных. Пусть частные производные первого порядка fx′ и fy′ существуют в некоторой окрестности O(x, y) точки (x, y) и эти функции fx′ и fy′ дифференцируемы в самой точке (x, y) . Тогда в этой точке

fxy′′ (x, y) = fyx′′ (x, y) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вторую смешанную разность (см. схему знаков на рис. 12.6)

xy f (x, y) = f (x + h, y + h) − f (x + h, y) − f (x, y + h) + f (x, y) .

263

Рис. 12.6. К теореме Юнга.

Пусть ϕ(x) = f (x, y + h) − f (x, y) . Тогда

xy f (x, y) = ϕ(x + h) − ϕ(x) .

Применяя формулу Лагранжа, получим x y f (x, y) = ϕ′(x+θh)h . Но ϕ′(x) = fx′ (x, y + h) − fx′ (x, y) . Значит

xy f (x, y) = h {fx′ (x + θh, y + h) − fx′ (x + θh, y)} .

Воспользуемся тем, что функция fx′ дифференцируема в точке (x, y) . Тогда при h → 0

fx′ (x + θh, y + h) − fx′ (x, y) = fxx′′ (x, y)θh + fxy′′ (x, y)h + o(h),

fx′ (x + θh, y) − fx′ (x, y) = fxx′′ (x, y)θh + o(h) .

Отсюда
x y	f (x, y) = h2f ′′	(x, y) + o(h2) (h	→	0) .
	xy

Аналогично, полагая ψ(y) = f (x + h, y) − f (x, y) , получим

x y	f (x, y) = h2f ′′	(x, y) + o(h2) (h	→	0) .
	yx

Приравняв полученные выражения, разделив на h2 и устремив h к нулю, получим что fxy′′ (x, y) = fyx′′ (x, y) .

264

2 семестр Лекция 23 (27.04.68)

В теореме Юнга для равенства смешанных производных предполагается существование всех четырех частных производных второго порядка в точке (x, y) . В следующей теореме предполагается су-

ществование одной смешанной производной в некоторой окрестнос-

ти точки (x, y) и ее непрерывность в точке (x, y) .

Теорема Шварца (о существовании второй смешанной производной и их совпадении). Пусть функция f (x, y) определе-

на в окрестности O(x, y) точки (x, y) и в этой окрестности существуют частные производные fx′ , fy′ , fxy′′ . Пусть смешанная производная fxy′′ C(x, y) . Тогда в точке (x, y) существует

вторая смешанная производная fyx′′ , причем fyx′′ (x, y) = fxy′′ (x, y) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим выражение

δ = f (x + h, y + k) − f (x + h, y) − f (x, y + k) + f (x, y) .

Положим

ϕ(x) = f (x, y + k) − f (x, y) = ϕ(x, k) .

Тогда δ = ϕ(x+ h) −ϕ(x) . Применив формулу Лагранжа, получим,

что

δ = hϕ′(x + θh) = h {fx′ (x + θh, y + k) − fx′ (x + θh, y)} .

По условию fxy′′ существует. Значит, по формуле Лагранжа

					δ = h kfxy′′		(x + θh, y + θ1k) .
Воспользуемся тем, что fxy′′						C(x, y) . Тогда
			fxy′′ (x + θh, y + θ1k) = fxy′′ (x, y) + o(1)
√
		2	+ h	2	→ 0 . Отсюда получаем, что
при ρ = k
			δ = h k ©fxy′′			(x, y) + o(1)ª		(ρ → 0)
и следовательно,
		ϕ(x + h) − ϕ(x)				−	f ′′ (x, y) = o(1) (ρ		→	0) .
					hk		xy

265

Значит ε > 0

h0 > 0, k0 > 0

h, k ,

0 < |h| < h0 , 0 < |k| < k0 ,

¯ ϕ(x + hk−

− fxy′′

(x, y)¯ < ε ,

¯

h)

ϕ(x)

¯

¯

¯

же самое, при каждом фиксированном h

или, что есть то ¯

¯

¯ h ½

k

−

k

¾ − fxy′′ (x, y)¯ < ε .

¯

1

ϕ(x + h, k)

ϕ(x, k)

¯

¯

¯

Так как ϕ(

¯

f (x, y)

и

¯

x) = f (x, y + k)

−

lim

ϕ(x, k)

= f ′ (x, y) ,

lim

ϕ(x + h, k)

= f ′ (x + h, y) ,

k→0

k

y

k→0

k

y

то отсюда получим

− fxy′′ (x, y)¯ ≤ ε

¯ fy′ (x + h, yh −

y′

(x, y)

¯

)

f

¯

¯

¯

¯

h

< h

0

¯

для любых h таких, что 0 <

|

|

. Это значит, что предел

f

′ (x + h, y)

f ′ (x, y)

fyx′′ (x, y) = lim

y

− y

h

h→0

существует и равен fxy′′

(x, y) . Значит, вторая смешанная производ-

ная fyx′′ существует и справедливо fyx′′

(x, y) = fxy′′ (x, y) .

Обычно теорема применяется в ослабленной форме: если смешанные производные непрерывны, то они равны (см. [10], [11]). Как следствие получаем, что, если смешанные производные непрерывны, то они равны, если они отличаются только порядком дифференцирования. Например, fxyx′′′ = fxxy′′′ , если эти производные не-

прерывны, так как можно применить теорему к двум последним дифференцированиям.

55.2.Дифференциалы высших порядков (для скалярных функций)

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности O(x, y) точки (x, y) = p . Линейное отображение L , связанное с

266

∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂x

точкой (x, y) и определяемое вектором

∂f

, и вектор при-

∂y

ращений (dx, dy) определяют

дифференциал функции

f (x, y)

по

формуле

df = ∂f dx +

∂f dy =

∂f

(dx, dy) .

∂f

∂x

∂y

∂x

∂y

Таким образом, с функцией можно связать линейную форму

Л = ∂f∂x ξ + ∂f∂y η ,

которую мы будем обозначать через Л ((x, y), (ξ, η)) . Тогда дифференциал первого порядка функции f (x, y) есть

df = Л ((x, y), (dx, dy)) .

Определение. Функцию f (x, y) будем называть дифференцируемой в точке (x, y) , если соответствующая ей линейная форма Л определена в некоторой окрестности точки (x, y) , а в самой точке (x, y) при любых фиксированных ξ , η будет иметь дифференциал.

Пусть частные производные , определены в окрестности точки (x, y) и дифференцируемы в точке (x, y) . Придадим x и y новые приращения δx и δy . Рассмотрим дифференциал выражения df = Л ((x, y), (dx, dy)) , воспользуемся при этом тем, что по

теореме Юнга

∂2f

=

∂2f

в точке (x, y) :

∂x∂y

∂y∂x

∂f

∂f

∂f

∂f

δ d f (x, y) = δ ½

dx +

dy¾ = δ

dx + δ

dy =

∂x

∂y

∂x

∂y

∂2f

∂2f

∂2f

∂2f

= µ

δx +

δy¶ dx + µ

δx +

δy¶ dy =

∂x2

∂y∂x

∂x∂y

∂y2

∂2f

∂2f

∂2f

=

dx δx +

(δ x dy + δ y d x) +

d y δ y .

∂x2

∂x∂y

∂y2

Полученная билинейная форма называется повторным дифференциалом функции f (x, y) в точке (x, y) . Если положим δ = d , то

267

получим дифференциал второго порядка

	d2f (x, y) =	∂2f	dx2	+ 2	∂2f	dxdy +	∂2f	dy2 .
		∂x2			∂x∂y		∂y2

§56. Формула Тейлора для функции многих переменных

Мы рассмотрим отображение En → E1 для случая n = 2 , определенное в некоторой окрестности O(x, y) . Положим h = dx , k = dy . Пусть f D(x, y) . Тогда

f = f (x + h, y + k) − f (x, y) = ∂f∂x h + ∂f∂y k + o(ρ),

√

где ρ = h2 + k2 → 0 .

56.1.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Пусть функция f (x, y) определенна в некоторой окрестности O(x, y) точки (x, y) и во всей этой окрестности имеет дифференциалы df, d2f, ..., dnf порядка 1, 2, . . . , n соответственно. Мы будем

символически записывать

µ

df = ∂f∂x dx + ∂f∂y dy =

			2
d2f =	µ ∂x dx +	∂y dy¶
	∂	∂
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
			n
dnf =	µ ∂x dx +	∂y dy¶
	∂	∂

∂x dx +	∂y dy¶ f ;
∂	∂
f ;
f .

Замечание. Если x = x(t) , y = y(t) , то dx = dxdt dt = ϕ(t)dt ,

значит, дифференциалы зависимых переменных мы не можем считать постоянными. Но если x = a + ct , y = b + et , то dx = cdt , dy = edt , и формулы для дифференциалов высших порядков остаются такими же, как если бы x и y были независимыми переменными а dx , dy – постоянные приращения.

268

	2 семестр
	Лекция 24
	(04.05.68)
Пусть функция z	= f (x, y) определена в открытом множестве
G и точка (x0, y0)	G . Тогда существует ε > 0 такое, что

Oε(x0, y0) G . Возьмем ε1 , 0 < ε1 < ε , и рассмотрим множе-

ство

F0 = {(x, y) G : ρ ((x, y), (x0, y0)) ≤ ε1} G .

Это множество является частным случаем подмножеств множества G , обладающих следующим свойством: если (x, y) F0 , то и отрезок, соединяющий точки (x0, y0) и (x, y) , целиком содержится в F0 . Множества, обладающие таким свойством, называются звездными множествами относительно точки (x0, y0) . Из определения не следует, что множество F0 выпукло, так как точка (x0, y0)

фиксирована. Множество

F0 = {(x, y) G : ρ ((x, y), (x0, y0)) ≤ ε1} G ,

приведенное выше, является наиболее простым звездным множеством и представляет собой замкнутый круг с центром в точке (x0, y0) (рис. 12.7).

Рис. 12.7. Круг с границей – наиболее простое звездное множество.

Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция z = f (x, y) определена в неко-

тором звездном относительно точки (x0, y0) множестве F0 . Пусть в каждой точке множества F0 функция f (x, y) имеет

269

дифференциалы 1-го, 2-го, . . . ,n-го порядков. Положим x = x0 + h , y = y0 + k . Тогда справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

f (x, y) = f (x0, y0) + 1!

µ ∂x h + ∂y k¶ f (x0, y0)+

1

∂

∂

+ 2! µ

∂x h +

∂y k¶

2

f (x0, y0) + ...+

1

∂

∂

1

∂

∂

n−1

+

µ

h +

k¶

f (x0, y0)+

(n − 1)!

∂x

∂y

+ n!

µ ∂x h +

∂y k¶

n

f (x0 + θh, y0 + θk) ,

1

∂

∂

где 0 < θ < 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательную функцию

F (t) = f (x0 + th, y0 + tk), где 0 ≤ t ≤ 1 .

Отметим, что F (0) = f (x0, y0) , F (1) = f (x0 + h, y0 + k) = f (x, y) . Эта функция есть сложная функция F (t) = f (ξ, η) , где ξ = x0 +th , η = y0 + tk . Так как дифференциал функции f существует, то су-

ществует производная F ′		функции F :				∂η k¶ f .
F ′(t) = ∂ξ h + ∂η k =				µ ∂ξ h +
	∂f		∂f		∂	∂

Так как второй, . . . , n-ый дифференциалы функции f существуют, то существуют также и вторая, . . . , n-ая производные функции F (t) . Значит, для функции F (t) мы можем написать формулу Тей-

лора с остаточным членом в форме Лагранжа:

F (t) = F (0) +

t

F ′(0) + ... +

tn−1

F (n−1)

(0) +

tn

F (n)(θt),

1!

(n − 1)!

n!

где 0 < θ < 1 . Положим t = 1 . Тогда имеем

F (1) = F (0) +

1

F ′(0) + ... +

1

F (n−1)(0) +

1

F (n)(θ)

(n − 1)!

1!

n!

(0 < θ < 1) .

270