Лекции Стечкина по матану

Тогда существует такое число C > 0 , что x Φ(x) ≥ C |x|2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно ограничиться случаем |x| = 1 , так как Φ(t x) = t2Φ(x) , |t x|2 = t2 |x|2 . Функция Φ(x) C(En) .

Множество |x| = 1 – сфера радиуса 1 – замкнутое ограниченное

и следовательно, компактное в евклидовом пространстве множество. По теореме о непрерывной на компактном множестве функции Φ(x) достигает на единичной сфере своего минимального значения. Значит, найдется точка x0 , |x0| = 1 , такая, что

min Φ(x) = Φ(x0) = C > 0 .

|x|=1

Тогда x , |x| = 1 , Φ(x) ≥ C .

58.5. Функциональная зависимость

Пусть

y1 = f1(x1, x2, x3) ,

y2 = f2(x1, x2, x3) ,

y3 = f3(x1, x2, x3)

– функции, заданные на некотором множестве D3 . Когда y3 – линейная функция y3 = Ay1 + By2 , мы имеем простейший вид

функциональной зависимости - линейную зависимость. Пусть

x0 = (x01, x02, x03) D3, y10 = f1(x0), y20 = f2(x0), y0 = ¡y10, y20¢ .

Если для какой-нибудь из функций yi , например, для y3 , существует функция Φ(y1, y2) , определенная в окрестности O2 ¡y0¢ такая, что для любого x из некоторой окрестности O3(x0)

y3 = f3(x1, x2, x3) = Φ (f1(x1, x2, x3), f2(x1, x2, x3)) ,

то будем говорить, что между функциями y1, y2, y3 существует

функциональная зависимость, именно, что f3 выражается через f1 и f2 .

Если функции f1, f2, f3 D		O3(x0)	и Φ(y1, y2) D O2	y0	,
то будем говорить, что эта	функциональная зависимость гладкая,
	¡	¢	¡	¡	¢¢

именно, что f3 гладко выражается через f1 и f2 .

Теорема. Необходимое и достаточное условие гладкой функциональной зависимости. Пусть f1, f2, f3 D ¡O3(x0)¢ .

291

Тогда для того, чтобы между функциями f1, f2, f3 существовала гладкая функциональная зависимость, необходимо и достаточ-

но, чтобы якобиан J = D(f1,f2,f3) ≡ 0 в некоторой окрестности

D(x1,x2,x3)

O3(x0) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть существует функция Φ(y1, y2) , определенная в окрестности O2 ¡y0¢ такая, что для любого x из окрестности O3(x0)

y3 = f3(x1, x2, x3) = Φ (f1(x1, x2, x3), f2(x1, x2, x3)) = Φ(y1, y2) .

Тогда для i = 1, 2, 3

∂f3

=

∂Φ

∂f1

+

∂Φ

∂f2

.

∂xi

∂y1 ∂xi

∂y2 ∂xi

Здесь коэффициенты

∂Φ

,

∂Φ

не зависят от i . Следовательно,

∂y2

∂y1

третья строка якобиана

¯

¯

∂f2

∂f2

∂f2

J = ¯

∂f1

∂f1

∂f1

¯

∂x

∂x

∂x

¯

∂x1

∂x2

∂x3

¯

1

2

3

¯

¯

¯

∂f3

∂f3

∂f3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

∂x1

∂x2

∂x3

¯

¯

¯

линейно выражается через две предыдущие строки с коэффициен-

тами

∂Φ

,

∂Φ

. По свойствам определителей отсюда следует, что

∂y1

∂y2

J ≡ 0 .

т а т о ч н о с т ь. Пусть известно, что J

≡

0 в окрестно-

Д о с 3

(x

0

сти O

) . Допустим, что ранг матрицы якобиана равен 2 и, для

¯

∂f1

∂f1

¯

¯

∂x1

∂x2

¯

3

0

определенности, пусть ¯¯

∂f2

∂f2

¯¯ 6= 0 x O

(x ) . Тогда, по

¯

∂x1

∂x2

¯

известной теореме о ранге матрицы из линейной алгебры, третья строка якобиана линейно выражается через первые две. Рассмотрим уравнения

½

f1(x1, x2, x3) − y1 = 0 . f2(x1, x2, x3) − y2 = 0

По теореме о неявной функции эта система эквивалентна системе

½

	x1	= ϕ1	(x3	, y1	, y2)	.
	x2 = ϕ2(x3, y1, y2)

292

Продифференцируем тождества

½ f2

(ϕ1

, ϕ2

, x3) = y2

f1

(ϕ1

, ϕ2

, x3) = y1

по x3 и получим

∂f1

·

∂ϕ1

+

∂f1

·

∂ϕ2

+

∂f1

= 0 ,

∂x1

∂x3

∂x2

∂x3

∂x3

∂f2

·

∂ϕ1

+

∂f2

·

∂ϕ2

+

∂f2

= 0 .

∂x1

∂x3

∂x2

∂x3

∂x3

Тогда и

∂f3

·

∂ϕ1

+

∂f3

·

∂ϕ2

+

∂f3

= 0

∂x1

∂x3

∂x2

∂x3

∂x3

как линейная комбинация двух предыдущих строк. Но

y3 = f3 (ϕ1(x3, y1, y2), ϕ2(x3, y1, y2), x3) = Φ(x3, y1, y2)

и

∂Φ = ∂f3 · ∂ϕ1 + ∂f3 · ∂ϕ2 + ∂f3 . ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x3

Следовательно, ∂Φ = 0 . Тогда y3 – это функция лишь перемен-

∂x3

ных y1 , y2 , т. е. y3 = Φ(y1, y2) .

Если все миноры якобиана второго порядка равны нулю, то все его строки пропорциональны и функции yi выражаются через какую-нибудь одну из них, например, через y1 , с помощью выражения вида yi = aiy1 + ci . Это и будет искомая функциональная зависимость в данном случае.

293

Литература

[1]Валле-Пуссен де ла Ш.-Ж. 3) Курс анализа бесконечно ма-

лых. Т.I. – Петроград: Гостехиздат, 1922.

[2]Виноградова И. А. , Олехник С. Н. , Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М. : Издательство Московского Университета, 1988.

[3]Гелбаум Б. , Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М. : Мир, 1967 .

[4]Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. : Наука, 1989.

[5]Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 2 т. – М. : Высшая школа, 1981.

[6]Ландау Э. Основы анализа. – М. : Государственное издатель-

ство иностранной литературы, 1947.

[7]Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М. : Наука, 1971.

[8]Погорелов А. В. Лекции по дифференциальной геометрии. –

Харьков: Наука, 1956.

[9]Рудин У. Основы математического анализа. – М. : Мир, 1957.

[10] Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. В 2 т.

–М. : Наука, 1964.

3)Знаком " " отмечена литература, рекомендованная С. Б. С. на лекциях. (Ред.)

294

[11]Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрально-

го исчисления. В 3 т. – М. : Наука, 1969.

[12]Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. – М. :

Гостехиздат, 1957.

[13]Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. – М. : Высшая школа, 2007.

295

Предметный указатель

Больцано – Вейерштрасса лемма, 55, 76

Буняковского неравенство, 213

Валле-Пуссена доказательство, 254

Вейерштрасса принцип непрерывности,

33, 54 теорема, 242

Гейне последовательность, 50 предел, 51

Гейне – Бореля лемма, 56

Дарбу критерий интегрируемос-

ти, 167 свойство, 77 сумма, 163 формулы, 164

Дедекинда принцип непрерывности,

31

Дирихле функция, 68, 173

Дюбуа – Реймона критерий интегрируемос-

ти, 171

Кантора

принцип непрерывности, 35

теорема, 35, 86, 170 Канторова диагональ, 29 Канторово

множество, 171 Коши

критерий, 57, 59 непрерывность функции,

62 неравенство, 213

последовательность, 57 предел, 40 теорема, 106

формула Тейлора, 117 Коши – Буняковского

неравенство, 212

Лагранжа метод, 285

многочлен, 197 теорема, 104 форма

остаточного члена, 114–116, 136, 268, 270

формула, 105 функция, 285

Лейбниц, 88 Лейбница

формула, 101 Липшица

условие, 90, 183, 199 Лопиталя

296

правило, 108

Минковского неравенство, 214

Ньютон, 89 Ньютона

бином, 49, 118

Пеано, 116

Римана интеграл, 160

критерий интегрируемости, 168

функция, 179 Римана – Стильтьеса интеграл, 200 суммы, 200

Ролля теорема, 104

Симпсона формула, 198

Тейлора многочлен, 111

формула, 109, 111, 113, 116, 117, 136, 191, 268, 270

для вектор-функции, 136

Ферма

теоремa, 103 Френе

формулы, 144, 146, 147

Хаусдорф множество связное, 245

Чебыш¨ева формулы, 193

Шварца теорема, 264

Юнга теорема, 262

архимедовость, 31 асимптотическое равенство,

60

билинейная функция, 135

билинейность, 135 бином Ньютона, 49, 118

вариация ограниченная, 198

вектор-функция, 134, 223, 256 дифференцируемость,

136 вогнутость, 127 выпуклость, 126

главная нормаль кривой, 144 грань

верхняя, 77 функции, 48

нижняя, 77

дифференциал, 97, 266 вектор-функции, 256 второй, 102, 267 дуги, 205 первого порядка

инвариантность, 260 функции, 89, 251

дифференцируемость

297

вектор-функции, 136 неявной функция, 276 функции, 251

длина, 170 кривой, 201, 203

множества, 170, 175

евклидово

пространство угол, 214 расстояние, 212

евклидово пространство, 212

задача интерполяции, 110

о квадратурах, 150

интеграл Римана, 160–162, 177

Римана – Стильтеса, 200 критерий, 166 критерий Дарбу, 167

критерий Дюбуа – Реймона, 171

критерий Римана, 168 неопределенный, 154, 156 определенный, 160, 171,

187 вычисление, 172, 193

приложения, 190, 206 сумма Дарбу, 163 сумма Римана, 160

функция предела интегрирования, 183

интегральная сумма, 162 сумма, 160

интегрирование замена переменной, 157 по частям, 157

298

по частям, 188 подстановка, 187 интерполяция, 110, 197

касательная, 89, 92, 139 к кривой, 139 плоскость, 251

квадратурная формула, 193

колебание функции, 65, 198 в точке, 169 на множестве, 65

компактность, 55, 233 относительная, 233, 234

континуум, 37 кривая, 138

главная нормаль, 144 дифференциал дуги, 205 естественный

трехгранник, 147 кривизна кривой, 143 круг кривизны, 145 кручение кривой, 146 основной триэдр, 147 параметризация, 138

нормальная, 143, 205 соприкасающаяся

плоскость, 141 спрямляемая, 201 эвольвента кривой, 146 эволюта кривой, 146 элементарная, 138

кривизна кривой, 143 критерий

Дарбу, 167 Дюбуа – Реймона, 171 Коши, 57, 59 Римана, 168 непрерывности

монотонной функции, 66

существования предела, 56

круг кривизны кривой, 145 кручение, 146

абсолютное, 146

лемма Больцано – Вейерштрас-

са, 76 Больцано – Вейерштрас-

са, 55 Гейне – Бореля, 56

метрическое пространство, 211

многочлен, 83, 109 Тейлора, 111 интерполяционный

Лагранжа, 197 множеств

система центрированная, 236

множества, 28, 218, 221 верхняя граница, 33 верхняя грань, 34 максимальный элемент,

33 мощность, 28

на числовой прямой, 73 нижняя грань, 34 отделимые, 244 покрытие, 56 простейшие, 32 равномощные, 28, 29

множество, 14, 217 Канторово, 171 внешность, 218

внутренность, 217 всюду плотное, 218 граница, 218 длина множества, 170

замкнутое, 39, 133, 218, 224, 225, 235

звездное, 268 клетка, 237

компактное, 233, 235, 239 мощность, 218 несчетное, 28 ограниченное, 33, 221,

239 открытое, 39, 133, 218,

224, 225, 233 производное, 39, 218 связное, 73, 245

по Хаусдорфу, 245 счетное, 28 точечное, 38

монотонность функции, 120

мощность, 218 множества, 28, 218

непрерывности принцип, 31, 33, 54

непрерывность

определение секвенциальное, 68

по Коши, 62 равномерная, 242 функции, 65, 72, 230, 231

в точке, 62 монотонной, 66 обратной, 79 равномерная, 86 сложной, 71

функций

299

элементарных, 83 неравенство

Буняковского, 213 Коши, 213 Коши – Буняковского,

212 Минковского, 214 треугольника, 211

норма отображения, 248

нормальная параметризация кривой, 143

окрестность точки, 133, 216 оператор, 101

дифференцирования, 101 остаточный член, 112, 113, 116, 117, 136, 191,

268, 270

вформе Коши, 117

Лагранжа, 114–116, 136, 268, 270

Пеано, 116

интегральной, 191 формулы Тейлора, 112,

113, 116, 117, 136, 191, 268, 270

отображение, 28 взаимно однозначное, 28

дифференцируемое, 261 линейное, 248 непрерывно дифферен-

цируемое, 262 непрерывное, 232, 241,

246 обратное, 243

отрезок, 133

первообразная, 152, 153

300

плоскость, 141 соприкасающаяся, 141

площадь, 150 вычисление, 190

подпоследовательность, 221 покрытие множества, 56 порядковое равенство, 60 последовательность, 50

Коши, 57, 221

вn -мерном

пространстве, 135

сходящаяся, 57, 135, 221, 222

точек, 221 последовательность отрезков,

54

правило Лопиталя, 108

предел вектор-функции, 223 замечательный

первый, 46 критерий существования,

56 односторонний, 46 определение

секвенциальное, 51 отображения, 223 по Гейне, 51

последовательности, 41, 57, 221

верхний, 57 нижний, 57 функции, 40, 59 двойной, 226

многозначной, 42 повторный, 226

предела

определение