- •Министерство образования и науки украины
- •Введение
- •Глава і Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах
- •§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства
- •§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях с сосредоточенными элементами
- •§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях
- •§1.4 Общий вид решения задачи анализа прохождения сигнала через устойчивую линейную цепь
- •Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях
- •§1.5. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами
- •§1.5.1. Классификация длинных линий
- •§1.5.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом
- •Глава іі Колебания в линейных параметрических системах Линейные параметрические цепи
- •§ 2.1. Изменение спектра входного сигнала при прохождении через линейные параметрические цепи
- •§ 2.2. Аксиоматика теории цепей в параметрическом случае
- •§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи
- •§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
- •§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с одной степенью свободы. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.5.1. Процессы в механической параметрической колебательной
- •§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.6. Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье
- •§ 2.7. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе. Синхронный режим. Асинхронный режим
- •§2.8. Параметрический генератор (параметрон)
- •§2.9. Двухконтурные параметрические системы
- •§2.9.1.Теорема Менли-Роу
- •§2.9.2 .Двухконтурный параметрический усилитель нерегененративного типа
- •§2.9.3 .Двухконтурный параметрический усилитель регененративного типа
- •§ 2.9.4 Параметрические умножение и деление частоты
- •§2.11. Некоторые приближенные методы исследования процессов в параметрических системах
- •§2.11.1. Метод «замороженного» параметра
- •§2.11.2. Алгоритм метода замороженного параметра для задачи о свободных и вынужденных колебаниях в параметрических цепях
- •§2.11.3 Метод последовательных приближений
- •§2.11.3. Метод вкб (Вентцеля-Крамера-Бриллюэна)
- •Глава ш Анализ колебаний в нелинейных цепях
- •§3.1. Нелинейные элементы цепей
- •§3.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
- •§3.3 Преобразование спектра колебаний нелинейной цепью
- •§3.4 Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях
- •§3.5 Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений
- •§3.6. Метод линеаризации
- •§3.7. Метод гармонической линеаризации (мгл)
- •§3.7.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов
- •§3.7.2. Автогенератор гармонических колебаний.
- •§3.8. Методы малого параметра. Метод последовательных приближений
- •§3.9. Метод медленно меняющихся амплитуд (ммма).
- •§3.10. Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде
- •§3.11. Метод фазовой плоскости
- •§3.11. 1.Метод фазовой плоскости. Метод изоклин
- •§3.11.2. Метод фазовой плоскости. Особые точки
- •§3.11.2.Исследование методом фазовой плоскости схемы на
- •§1.1. Преобразование Лапласа и его основные свойства 7
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
цепи первого порядка. Метод функции Туркина
К параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид
+ a(t)*S = f(t) (2.25)
Известно, что такие дифференциальные уравнения, как правило, допускают непосредственное интегрирование и их решение можно представить в квадратурах. Однако очень часто полученное решение нельзя выразить в известных функциях, кроме того, его форма может не соответствовать конечным целям исследования. Например, полученное выражение в замкнутом виде трудно поддается спектральному анализу, проверке на устойчивость и т.д.
Общий подход к анализу параметрических цепей первого порядка основан на традиционных методах решения дифференциальных уравнений и заключается в том, что сначала ищется решение однородного уравнения
+ a(t)*S = 0, (2.26)
а затем произвольная постоянная С заменяется на С(t), которая определяется после подстановки решения Sсв(t) однородного уравнения в искомое (метод Лагранжа).
Однако, так как получаемые этим методом решения не всегда удобны для анализа, в радиотехнике разработаны специальные приемы и методы решения указанных уравнений. Наибольший практический интерес представляет анализ параметрических цепей при постоянных и моногармонических воздействиях, так как все другие воздействия можно свести к суперпозиции этих воздействий. Рассмотрим примение метода и функий Туркина на следующем примере.
Пример 2.4. В цепи, изображенной на рис 2.7., генератор развивает напряжение e(t) = U0 eiωt, параметрическая емкость меняется по закону
C(t) = , где μ – коэффициент
модуляции емкости. Найти закон изменения и
определить спектральные составляющие тока в
цепи.
Рис.2.7. Параметрическая RC- цепь
Уравнение для тока в цепи рис.2.7. имеет вид:
R i + =e(t) (2.27)
и является интегродифференциальным уравнением.
Для того чтобы привести наше уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка запишем его относительно заряда, который связан с током по закону i(t) = . Кроме того, подставим выражения дляC(t) и e(t) в интегро-дифференциальное уравнение:
R + q = U0 eiωt, (2.28)
где x(τ) = q(τ), τ = Ωt, a =, b =, p =.
Общее решение данного уравнения известно:
x(τ) = e - [ e dτ + C ] .
Интегралы в показателях экспоненты являются табличными
x(τ) = .
Оставшийся интеграл не берется в известных функциях. Воспользуемся следующим разложением
= (2.29)
и, обозначив z = iaμ , перепишем последнее выражение в форме
x(τ) = J-n(z) e [a ] =
= C + a. (2.30)
Постоянная С определяется из начальных условий. Первый член этого выражения описывает свободный процесс, а второй – установившийся. Рассмотрим произведение рядов во втором члене:
Обозначив перепишем общее решение в виде
,
а затем
, (2.32)
где . (2.33)
Функции (2.34)
введены В.К.Туркиным и носят его имя, для этих функций составлены таблицы при различных значениях параметров .
Для установившегося режима окончательное выражение принимает вид:
. (2.35)
Свободный процесс описывается выражением
, (2.36)
где постоянная С определяется из условия qсв(0) = q0.
Полученные выражения дают полное решение задачи для установившегося режима как при гармоническом воздействии вида cosω0t, sin ω0t, e±it, так и при постоянном воздействии U0 = const, причем решение записывается в виде суммы гармонических составляющих.
Пример 2.5. Рассмотрим расчет установившегося процесса в случае, когда параметр может быть представлен любой периодической функцией. В этом случае колебания будут описываться дифференциальным уравнением первого порядка с параметрическим коэффициентом, изменение которого представляется любой периодической функцией
, (2.37)
где , что допускает его разложение в ряд Фурье. Считаем, что параметрический коэффициент может быть представлен в виде, тогда общее решение имеет вид
. (2.38)
Введем следующие обозначения
а , (2.39)
тогда получаем , (2.40)
Т.к. ипериодические функции, их можно разложить в ряд Фурье
; (2.41)
Тогда общий вид решения (2.40) примет вид:
, (2.42)
где свободные колебания описываются выражением:
. (2.43)
А выражение для установившегося процесса колебаний имеют вид:
(2.44)
Полученные выражения (2.32 – 2.36) и (2.43 – 2.44) позволяют исследовать процесс установления колебаний в параметрических цепях с полуцелой степенью свободы (параметрических цепях описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка) при постоянном или гармоническом воздействиях. При любом сложном периодическом воздействии решения параметрических уравнений первого порядка с периодическим коэффициентом будут представлять собой сумму решений, полученных при рассмотрении каждого воздействия в отдельности.
Пример 2.6. Найти установившийся процесс в цепи (рис.2.8), содержащей параметрический резистор и катушку индуктивности, у которой R(t)= (1+ + snΩt), где snΩt – меандровая характеристика и соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид :
,
Рис.2.8. Параметрическая RL-цепь
где введено безразмерное время τ = Ωt, (Ω = ), а разложение в обобщенный ряд Фурье функцииимеет вид:
.
В соответствии с общей методикой, изложенной выше (2.39) – (2.44), нужно найти вспомогательные формулы
и .
Выполним вычисления
.
Комплексную амплитуду рядов Фурье получаем в виде
.
Представленные интегралы вычисляются и их можно найти в любом справочнике. После несложных преобразований получаем
.
Чтобы не вычислять интеграл для нахождения можно получить формулы связии
.
В равенстве для Un делаем замену переменных: , тогда
.
Принимая во внимание свойство «нечетных рядов»: , а также то, что интеграл от периодической функции взятый по длине равной периоду не зависит от начала отсчета, получаем:
, где
.
Для установившегося процесса имеем следующий результат:
. (2.44)
Суммы, входящие в последние выражения известны, поэтому путем простых преобразований получаем:
, (2.45)
где .
Из выражений (2.45), как частные случаи, следуют решения целого ряда задач.
Пример 2.7. Рассмотрим параметрическую цепь (рис.2.9) в которой резистор R2 выключается с частотой Ω. Пусть к цепи приложено постоянное напряжение Е.
Необходимо найти ток, протекающий по такой цепи. Тогда константы и переменная τ в выражении (2.45) имеют следующие значения:
.
Рис.2.9. Эквивалентная схема параметрической RL–цепи
После простых преобразований выражения (2.45) примут вид
,
где .
Полученные выражения показывают, что в случае параметрического воздействия на цепь (рис.2.9) произошло обогащение спектра колебаний установившегося тока.