- •Министерство образования и науки украины
- •Введение
- •Глава і Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах
- •§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства
- •§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях с сосредоточенными элементами
- •§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях
- •§1.4 Общий вид решения задачи анализа прохождения сигнала через устойчивую линейную цепь
- •Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях
- •§1.5. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами
- •§1.5.1. Классификация длинных линий
- •§1.5.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом
- •Глава іі Колебания в линейных параметрических системах Линейные параметрические цепи
- •§ 2.1. Изменение спектра входного сигнала при прохождении через линейные параметрические цепи
- •§ 2.2. Аксиоматика теории цепей в параметрическом случае
- •§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи
- •§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
- •§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с одной степенью свободы. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.5.1. Процессы в механической параметрической колебательной
- •§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.6. Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье
- •§ 2.7. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе. Синхронный режим. Асинхронный режим
- •§2.8. Параметрический генератор (параметрон)
- •§2.9. Двухконтурные параметрические системы
- •§2.9.1.Теорема Менли-Роу
- •§2.9.2 .Двухконтурный параметрический усилитель нерегененративного типа
- •§2.9.3 .Двухконтурный параметрический усилитель регененративного типа
- •§ 2.9.4 Параметрические умножение и деление частоты
- •§2.11. Некоторые приближенные методы исследования процессов в параметрических системах
- •§2.11.1. Метод «замороженного» параметра
- •§2.11.2. Алгоритм метода замороженного параметра для задачи о свободных и вынужденных колебаниях в параметрических цепях
- •§2.11.3 Метод последовательных приближений
- •§2.11.3. Метод вкб (Вентцеля-Крамера-Бриллюэна)
- •Глава ш Анализ колебаний в нелинейных цепях
- •§3.1. Нелинейные элементы цепей
- •§3.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
- •§3.3 Преобразование спектра колебаний нелинейной цепью
- •§3.4 Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях
- •§3.5 Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений
- •§3.6. Метод линеаризации
- •§3.7. Метод гармонической линеаризации (мгл)
- •§3.7.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов
- •§3.7.2. Автогенератор гармонических колебаний.
- •§3.8. Методы малого параметра. Метод последовательных приближений
- •§3.9. Метод медленно меняющихся амплитуд (ммма).
- •§3.10. Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде
- •§3.11. Метод фазовой плоскости
- •§3.11. 1.Метод фазовой плоскости. Метод изоклин
- •§3.11.2. Метод фазовой плоскости. Особые точки
- •§3.11.2.Исследование методом фазовой плоскости схемы на
- •§1.1. Преобразование Лапласа и его основные свойства 7
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
§3.11. 1.Метод фазовой плоскости. Метод изоклин
Поскольку последнее уравнение (3.110), так же как и предыдущее (3.107) не удается решить аналитически прибегают к построению фазовых траекторий методом изоклин. Для этого полагают, что , и, задавая различные значения одной из величинx или y, можно рассчитать и построить на фазовой плоскости график функции называемой изоклиной, т.к. она определяет линии, проходящие через интегральные кривые в точках с одинаковым углом наклона=tg α.
Рис. 3.56. Фазовый портрет автогенератора гармонических колебаний,
построенный методом изоклин
Изменяя значения соnst (от - ∞ до + ∞ ) можно построить поле изоклин, а после этого построить фазовый портрет. Например, для уравнения Ван-дер-Поля (3.97)
поле изоклин и фазовые портреты имеют вид рис.3.56.
§3.11.2. Метод фазовой плоскости. Особые точки
Заполнение фазовой плоскости полем направлений – трудоемкий процесс. Поэтому, часто для определения характера фазовых траекторий используют метод, основанный на построении особых точек и особых линий. Общее количество особых точек невелико, характер фазовых траекторий вблизи них хорошо изучен. Если еще удается построить предельные циклы и сепаратриссы, что является очень трудоемкой задачей, то вид фазовых траекторий на плоскости удается установить без построения изоклин. ″До сих пор не существует достаточно общих теоретических методов для решения вопроса о существовании предельных циклов и определения места их расположения, за исключением случая систем близких к линейным (ε « 1)″ (Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний»).
Для определения координат особых точек вспомним, что через эту точку проходит либо много фазовых траекторий, либо ни одной. Это значит, что в этой точке не определена фазовая скорость vф = , а это возможно, если одновременно равняются нулюи. Тогда для определения координат особых точек на фазовой плоскости необходимо решить систему уравнений
, (3.111)
для случая, когда колебания задаются одним уравнением второго порядка (3.107) и
, (3.112)
для случая, когда колебания задаются системой уравнений (3.110).
Если рассматривать малые области отклонения колебаний вокруг особых точек, то уравнения описывающие колебания можно линеаризовать и по полученному виду определить характер особой точки. После линеаризации дифференциальное уравнение (3.107) принимает вид
. (3.113)
Т.к. это уравнение линейное, то для его анализа можно применять любой из методов теории линейных цепей, например, операторный метод. Тогда характеристическое уравнение для уравнения (3.113) имеет вид
p2 + a1 p + a2 = 0. (3.114)
Корни характеристического уравнения (3.114)
p1,2 = –
могут принимать различные значения в зависимости от знаков и величин коэффициентов а1 и а2 .
1) Пусть коэффициента характеристического уравнения (3.113), есть:
а1 = 0; а2 › 0,
тогда p1,2 = ± j ω, где ω = , а колебания переменных имеют вид
. (3.115)
Исключая из уравнений явно содержащееся время t, получим уравнение относительно переменных y(x)
, (3.116)
которое описывает в качестве фазовых траекторий, вложенные в друг друга эллипсы − замкнутые траектории, т.е периодические колебания (рис.3.57).
Рис.3.57. Фазовые траектории особой точки типа центр
2) Пусть коэффициенты характеристического уравнения (3.113), есть:
а1 › 0; а2 › 0; а2 › ()2 .
Корни характеристического полинома для этого случая:
p1,2 = .
В этом случае решение для переменных х и у представляет собой экспоненциально затухающие гармонические колебания:
, (3.117)
тогда для случая ω » δ,
. (3.118)
Вводя полярные координаты
и обозначения
,
получаем уравнение траекторий колебаний на фазовой плоскости в полярных координатах
ρ = ω А , (3.119)
т.е. накручивающуюся на особую точку спираль (рис.3.58).
Рис. 3.58. Фазовые траектории для особой точки – устойчивый фокус и
законы изменения y(t) и x(t)
3) Пусть коэффициенты характеристического уравнения (3.113), есть:
а1 < 0; а2 > 0; а2 > ()2.
Корни характеристического полинома для этого случая равны
p1,2 = .
В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально нарастающие гармонические колебания
,
тогда для случая ω » δ
.
Вводя полярные координаты
и обозначение
,
получаем уравнение траекторий колебаний на фазовой плоскости в полярных координатах
ρ=ωА, (3.120)
т.е. раскручивающуюся от особой точки спираль (рис.3.59).
Рис.3.59. Фазовые траектории для особой точки – неустойчивый фокус и
законы изменения y(t) и x(t)
4) Пусть коэффициента характеристического уравнения (3.113), есть:
а1< 0; а2 > 0; а2 > ()2 .
Корни характеристического полинома для этого случая равны
p1 = - δ1 и p2 = - δ2.
В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально убывающие апериодические колебания (рис.3.60).
. (3.121)
Рис.3.60. Фазовые траектории для особой точки – устойчивый узел и
законы изменения y(t) и x(t)
5). Пусть коэффициенты характеристического уравнения (3.113), есть:
а1 > 0; а2 > 0; а2 < ()2.
Корни характеристического полинома для этого случая равны
p1 = + δ1 и p2 = + δ2.
В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально нарастающие апериодические колебания (рис.3.61)
. (3.122)
Рис.3.61. Фазовые траектории для особой точки – неустойчивый узел и
законы изменения y(t) и x(t)
6). Пусть коэффициенты характеристического уравнения (3.113), есть:
а2 < 0, тогда p1 = + δ1 и p2 = - δ2 а фазовые траектории имеют вид прелставленным на (рис.3.62).
Рис.3.62. Фазовые траектории для особой точки – седло
Прямые линии – называются сепаратриссами. Они разделяют фазовую плоскость на области притяжения к двум устойчивым особым точкам 1 и 2. На плоскости значений коэффициентов а1 и а2, принадлежность особых точек, какому- то типу может быть представлена в виде следующего графика рис.3.63
или таблицы 3:
Рис.3.63. Расположение особых точек на плоскости координат
коэффициентов а1 и а2
Таблица 3
а1
а2 |
а1 > 0 |
а1= 0 |
а1< 0 | ||
а2 < ()2 |
а2 > ()2 |
----
|
а2 < ()2 |
а2 > ()2 | |
а2>0 |
уст. узел |
Уст. фокус |
центр |
не уст. узел |
не уст. фокус |
а2 < 0 |
седло |