§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с одной степенью свободы. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы

§ 2.5.1. Процессы в механической параметрической колебательной

системе с одной степенью свободы

Рассмотрим задачу о качелях (рис.2.10). Это также параметрическая колебательная система. В крайнем положении, когда качели остановились, приседая, мы увеличиваем расстояние до точки подвеса. В момент, когда качели набрали максимальную угловую скорость, мы встаем, преодолевая

Рис.2.10. Модель механической параметрической колебательной системы

кроме силы тяжести еще центробежную силу, поэтому расстояние уменьшается и из соотношения mR²(t)ω(t)=const следует, что должна увеличиться угловая скорость ω(t). Это модель параметрической системы для механической колебательной системы.

§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы

Рассмотрим параметрический колебательный контур (рис.2.11.а). Пусть у нас будет параметрическим образом изменяющаяся емкость в колебательном контуре (рис.2.11.б).

Пусть конденсатор, включенный в колебательный контур, представляет собой плоский конденсатор, в котором можно менять расстояние между пластинами скачком с какой-то частотой. Так как колебания, которые возникли в цепи, приведут к тому, что на конденсаторе возникнет заряд, то пластины будут притягиваться друг к другу с какой-то силой. Раздвигая пластины, т.е. уменьшая емкость, мы совершаем работу по преодолению силы притяжения зарядов на пластинах конденсатора. Энергия, затраченная на перемещение пластин, может перейти только в энергию электрического поля конденсатора. Для того чтобы внести таким образом максимальной величины энергию необходимо, чтобы в момент времени, когда мы раздвигаем пластины, на них присутствовал заряд наибольшей величины, а емкость уменьшалась в моменты наибольшего напряжения, приложенного к пластинам конденсатора (рис.2.11.б.).

R L

C

а) б)

Рис.2.11.а) − колебательный контур; б) − закон изменения C(t) и U_вых(t)

Если в некоторый момент времени, когда U_с максимальна, мы быстро уменьшим емкость, то это приведет к увеличению напряжения U(t). Это следует из формулы q(t)=C(t)U(t)=const, так как заряд быстро измениться не может (т.к. тогда бы ток равнялся бесконечно большой величине). Если в момент времени, когдаU=0, мы снова увеличим емкость, то напряжение не изменится и никакая работа совершаться не будет (заряд в эти моменты времени равняется нулю). Поэтому, изменяя емкость во времени (параметрически), мы можем добиться, чтобы добавка энергии равнялась потерям в такой цепи, тогда у нас будут стационарные колебания (колебания с постоянной амплитудой). Если добавка энергии будет больше энергии потерь, то можно добиться раскачки колебаний. Если же внесенная энергия, за счет изменения емкости, меньше потерь, существующих в цепи, то у нас будут

Рис.2.12. Законы изменения u(t) и C(t) в зависимости от величины

модуляции параметрической емкости

затухающие колебания, но затухать они будут медленнее, чем в случае, когда энергия не вносится в контур. Этот случай соответствует регенеративному усилению. Следовательно, когда ΔС<0 (отрицательное приращение емкости) ему соответствуют положительные приращения ΔU>0, что обуславливает увеличение амплитуды колебаний напряжения U(t) (рис.2.12).

Рассмотрим режим стационарных колебаний в параметрическом контуре при оптимальном параметрическом возбуждении. Пусть емкость изменяется по закону, представленному на рис.2.13:

С(t)

∆C

C₀ =m –коэффициент модуляции параметра.

t

Рис.2.13. Закон изменения параметрической емкости С(t)

Энергия, запасаемая на конденсаторе − W_c ==. (2.46)

Вычислим приращение энергии в системе за счет однократного изменения емкости – ΔW_c:

ΔW_c = = _.

Пусть ΔС <<С₀ (а на практике такое соотношение и выполняется) тогда,

ΔW_c =(2.47) Изменение энергии в параметрических системах пропорционально величине накопленной энергии. Это свойственно только параметрическим системам.

Предположим, что уменьшение емкости происходит в те моменты, когда величина заряда максимальная, а увеличение емкости, когда q=0. Такое изменение емкости можно делать два раза за период. Следовательно, приращение энергии за период колебаний вследствие параметрического изменения емкости ΔW_c(t) , как следует из (2.47), равняется

ΔW_CT = 2m. (2.48)

Эта энергия расходуется на активном сопротивлении. Вычислим среднюю энергию, расходуемую на активном сопротивлении ΔW_R(t). Для этого зададим закон изменения q(t) и i(t):

q(t)=q_m sin ω₀t, i(t)= = q ω₀ cos ω₀t. (2.49)

Тогда энергия, расходуемая на активном сопротивлении, равна

ΔW_RT = =R q_m² ω₀² =Rq_m²ω₀²

=½Rq_mω₀²T=. (2.50)

Приравняем энергию потерь, расходуемую на активном сопротивлении (2.50), к энергии, вносимой параметрическим элементом (2.48):

ΔW_с(t) = ΔW_R(t),

тогда получаем:

; , (2.51)

где d – это затухание.

Для контуров получить добротность Q равную 100 достаточно легко, поэтому для такой добротности d= 1/Q = 0.01 и по формуле (2.51) находим m_кр =0.015=1.5%. Следовательно, модуляцию порядка нескольких процентов можно осуществлять с помощью варикапа, который будет работать в линейной области своей характеристики.

Рассматриваемый режим модуляции емкости С(t) является оптимальным при выполнении следующих условий:

• Накачка энергии в контур производится с максимальной частотой – 2 раза за период.

• Изменение емкости происходит скачком (это самое выгодное изменение параметра).

• Использован самый выгодный режим изменения параметра и входного сигнала (фазировки), т.е. уменьшение емкости происходит при максимуме заряда q_m , а увеличение при q_m=0.

Выводы. С помощью параметрической емкости можно как вносить энергию, так и отбирать её из колебательного контура. Для этого необходимо изменить фазировку параметра С(t) и входного сигнала U(t). Выше мы предполагали, что емкость меняется скачком за счет изменения расстояния между пластинами конденсатора. В связи с тем, что для получения стационарных колебаний в параметрическом контуре достаточна величина модуляции емкости в несколько процентов (m_кр = 0.015=1.5%), на практике это можно осуществлять с помощью варикапа. Подавая на него переменное напряжение, изменяющееся скачком, мы можем осуществлять модуляции емкости скачком. Напряжение и частоту переменного напряжения, приложенного к варикапу, называют соответственно напряжением и частотой накачки.