книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

2 1 0 УСТОЙЧИВОСТЬ (Гл. 5

(см. (4)),

<Ps(0) = q>(s, 1) =	Ч
(см. (11)). Таким образом, решения ф, (t)	и ф2(t) имеют общие началь­
ные значения и потому совпадают, а это	и означает, что соотноше­
ние (10) выполнено.

В доказательстве теоремы Ляпунова основную роль играет неко­ торая положительно определенная квадратичная форма, называемая функцией Ляпунова. Отметим сначала некоторые свойства положи­

тельно	определенных квадратичных	форм (см. Г)), а затем	построим
и самую функцию Ляпунова (см. Д)).
Г)	Пусть
	* = (-**,	.... х п)	(12)

— переменный вектор «-мерного пространства. Квадратичной формой от вектора л: называется его функция W (х), определяемая формулой

W ( x ) =	£
	i. j = 1
где w i] = W]i — действительные	числа.	Квадратичная форма W (х)
называется положительно определенной,		если при х Ф 0 имеем:

№ ( х ) > 0.

Оказывается, что для любой положительно определенной квадратичной формы W (х) всегда можно подобрать два таких положительных числа (х, v, что для произвольного вектора х имеют место неравенства

(х|х|'2< lF(x)==Sv | х \ \	(13)
Из этогоследует, что для произвольного х (см. (12)) имеет	место
неравенство
|* г|^ ] / 1 1 Г ( л ; ) .	(14)

Докажем существование чисел ц и v. Для этого рассмотрим значе­ ния функции W (|), когда вектор | принадлежит единичной сфере, т. е. удовлетворяет условию

1 1 1 = 1. 05)

Так как сфера (15) представляет собой замкнутое ограниченное мно­

жество, а функция 1^(1) непрерывна,				то на сфере	(15)	она достигает
своего	минимума fx	и	своего максимума ч. Так		как	все	векторы
сферы	(15) отличны	от	нуля, то числа |х и v положительны. Пусть х —
произвольныйвектор;		тогда мы имеем		х — а|, гдевектор |			при­

I 26!

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА

2 1 1

надлежит сфере (15), и потому для вектора | выполнена неравенства

fJL W (§) • < V.

Умножая это неравенство на X2, получаем неравенства (13). Перейдем теперь к построению функции Ляпунова.

Д) Пусть

П
х 1— V. a'V ,	1 = 1........ п	(16)
/= i J

— линейная однородная система уравнений с постоянными коэффи­ циентами, причем все собственные значения матрицы А — {ар‘ имеют отрицательные действительные части. Существует тогда положительно определенная квадратичная форма W (х ), производная которой в силу системы (16) (см. Б)) удовлетворяет неравенству

•								(1?)
где лг — произвольный вектор,					а	[3 — положительное число, не завися­
щее от вектора х.
Построим форму W (х). Будем считать, что система (16)								есть
скалярная запись векторного				уравнения			(5). Решение уравнения	(5)
с начальными	значениями		0,	|	будем, как и в предложении А),			обо­
значать через	ф (t,	|); тогда		мы		имеем:
			(* .& )=				(О	(18)
						i = 1
(см. (8)). Положим		теперь
					СО
				=	$		Ю1* л . -	09 )
					О
Мы имеем в силу (18)
	U '4 s)=		У			о	Ф_,(т))г/т.	(20)
			<\		1

Так как каждая функция ф,- (t) удовлетворяет неравенству (6), то каждый несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (20), сходится, и потому W (х ) есть квадратичная форма относительно вектора §. Эта квадратичная форма является положительно определен­ ной, так как при § ^ 0 подынтегральное выражение в формуле (19) положительно, и, следовательно, № 4|))>0. Вычислим теперь произ­

водную 1Г(16) (1) функции 1Г(|) в силу системы (16). Для этого, согласно предложению Б), мы проведем через точку | решение ф (г,

2 1 2 УСТОЙЧИЙОСТЬ гг». ч

и затем вычислим производную

при

1 =

0

от

функции

W (ф (1,

§)).

Заметим предварительно, что в силу В)

так что

ЧК*. Ч>(<.

§)) =

"ф (т -ф-

|),

со

S)) =

s

Ю) г *

=

о

оо

со

=

5

Ж

*

-

К

Ю

Р

^

Таким образом, мы имеем:

00

Wm {i)= *-t w w { t , & ) ) | , _ 0 =

й .5

ж

х. S)l‘ *

t = о

Итак, мы получили равенство

=

t , -

|

)

Ж |

*

|

^ (1е)(Ю= - | 1 Р.

по

в силу

второго из неравенств

(13)

имеем:

- | 6 Р

<

и

потому

получаем:

^ ( 1.) ( S ) < - ^ ( S ) -

Таким образом, неравенство (17) доказано.

Т е о р е м а Л я п у н о в а

Перейдем, наконец, к формулировке

н

доказательству

теоремы

Ляпунова.

Пусть

а =

{а\ ... ,

ап)

— положение

равновесия автономной

системы

(1). Положим:

х ‘ — а‘ -|-Д хг,

г =

1,

2,

...,

я,

(21)

и примем за

новые неизвестные функции величины

Дх1,

...,

Ьхп.

(22)

Производя подстановку (21) в системе

(1) и разлагая

правые

части

в

ряд Тейлора по переменным

(22),

получаем:

* 26] ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА 213

где	R1— член второго порядка малости относительно неизвестных (22).
Так	как а есть положение равновесия		системы	(1),	то
	Р (а ) =	0;
далее, полагая
	d f (а)					(24)
	д х >		'
мы	можем записать систему (23) в	виде:
	П
	t\xl = ^ a ^ x j - \-R \		l = 1,	...,	n.	(25)
	7= 1

Т е о р е м а 19. Если все собственные значения матрицы A — {alj)

(см. (24)) имеют отрицательные действительные части, то поло­ жение равновесия а системы (1) асимптотически устойчиво; более полно, существует настолько малое положительное число о, что

при | | — а |< ^ а

имеет место неравенство

|<Р&

I) — а | < г Ц — а\е~«,

(26)

где г и о. — положительные

числа,

не зависящие от

§.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Будем

считать, что положение равновесия а

системы (1) совпадает с началом

координат, т. е. что

а =

0.

Этого

всегда

можно

достичь, произведя параллельный перенос системы коор­

динат; при этом матрица А не изменится. Предполагая,

что а — 0, мы

имеем:

h x ‘ =

х 1,

и потому система (25) записывается

в виде:

П

(27)

х ‘ — 2

а}‘х/ - f

Rl,

I —

1, ...,

п, ,

где

у = 1

Т1

д*р (0л:)

Я' =

d x f d x k X Jx k.

Пусть

теперь

W (х ) — функция

Ляпунова

(см.

Д))

для

линейно;'!

системы

х ‘ —

2

а‘х',

I — 1,

..., п,

(28)

/= 1

получаемой

из

системы

(27)

линеаризацией, т. е.

отбрасыванием

остаточных членов R ‘. Вычислим производную

(х ) функции

W{X)

2 1 4

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гя. 6

в силу системы

(27). Мы имеем:

+ 2

dW(x)

;

2

дх<

Н

i. ;=i

i= l

--- ^(28) (X) ~Ь у

dW(x) pi

dxi

K '

i=1

Так как функция W (х)

удовлетворяет

условию

(17),

то

мы имеем:

& {П) (х) ^ — $W (х) + У

R г.

b” l

Выберем теперь

настолько малое

положительное число Ь, чтобы при

W ( x ) ^ b

(29)

вектор

х

принадлежал

множеству

Д

(такое

число

Ь

существует

в силу (13)). Вторые производные dxi'dxkL.

будучи

непрерывными

функциями, ограничены в эллипсоиде (29)

и потому в этом эллипсоиде

| Я ' к *|

г* П * ),

где k — некоторая

о

как

<jW(x)

есть

линейная

константа. Далее, так

—^

г

форма

относительно лг1,

...,

х п,

то

где / — некоторая

константа

(см.

(14)).

Таким

образом,

существует

такое

положительное число q, что при

W ( x ) ^ b мы

имеем:

*= 1

Выберем

теперь

положительное

число

с

таким

образом,

чтобы

было

cs^.b,

q Y с

Тогда

мы будем

иметь:

^ ( « ) ( * ) < — ! ИЧ*)>

если только выполнено

неравенство

W W

с-

(30 )

§ 261

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА

2 1 3

Полагая

—

получаем неравенство

W'(OT) (х) <

— 2t.\V (х),

справедливое, если для х

выполнено

неравенство

(30).

Пусть

|

— внутренняя

точка

эллипсоида (30),

т.

е. точка,

удо­

влетворяющая

неравенству

^ ( ? ) < с .

(31)

Решение

системы

(27)

с

начальными

значениями 0,

§,

как

и

раньше,

обозначим через

<р(£, |)

и

положим:

w { t ) ~ w ( q { t , D).

Функция

w(t)

определена для всех тех значений

t ^ O ,

для

кото­

рых определено

решение

ф (t, |),

и

в

силу

Б)

она

удовлетворяет

условию

w (t)s ^ — 2o.w(t)

(32)

до тех пор,

пока

для

нее

выполнено

неравенство

W (t )

С.

(33)

Если бы решение «р(<, §) существовало не для

всех

положительных

значений

t,

то

точка

x —

|)

непременно

должна

была

бы при

возрастающем

t

покинуть

эллипсоид (30) (см. §

22,

Б),

Допустим,

что точка л;=

ф (t, 5) покидает этот

эллипсоид и

пусть

г'^> 0 — то

значение

t,

при котором

она впервые попадает

на

его границу.

Тогда

на отрезке

0

точка ;p(t,

|)

принадлежит

эллипсоиду

(30), и

потому выполнено

неравенство (32),

так

что

w (t)

неположительно.

Следовательно,

с =

w (f)

w (0)

с, что

противоречиво.

Таким образом,

решение «р (f,

|),

а вместе

с ним и функция w(t)

определены для всех положительных значений t и для всех этих зна­

чений	выполнено	неравенство			(32).	Если	£ ^ 0,	то	0, и	мы
можем	произвести	следующие			выкладки, исходя			из	неравенства	(32)
	w (t) ^		t
		_2а.	Г	®_(^1 dt ^		— 2zt	при		0;
		’	3	w(t)
			и

In w (t) — In w (0) — 2<x t.

Последнее неравенство дает:

W4q> (t,

Из этого неравенства, используя неравенства (13), мы получаем:

6) 1* =

1 Г2е " ^ ’

(34)

причем это верно, если только для § выполнено неравенство (31).

2 1 6	УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл. 8
	В силу второго из неравенств (13), из соотношения
	Ш О = ] / т	(35)

следует неравенство (31). Таким образом, если выполнено неравен­ ство (35), то верно неравенство (34). Извлекая из него квадратный корень, получаем неравенство:

которое			совпадает		с неравенством (26),		причем г =		а а = 0.
Итак, теорема 19 доказана.
	Нижеследующее				предложение Е) описывает			случай, в некотором
смысле противоположный рассмотренному в теореме 19.
	Е) Положение равновесия а уравнения (2) будем называть вполне
неустойчивым, если существует такое положительное число с,										что
всякое			решение q>(t, |) уравнения (2),				начинающееся в точке \			Ф а
шара		\1 — а |< ^ о ,			обязательно покидает этот шар и больше в него
уже не возвращается, т. е. найдется такое положительное число									Т —	7(§),
что	при t —			T решение <р (t,		|) определено, и для всех значений t~^> Т,
для	которых			это	решение	определено,	оно удовлетворяет		неравен­
ству		| <р (t, |)		— а |	а. Оказывается, что если			все собственные		зна­
чения		матрицы			имеют положительные			действительные части,

то положение равновесия а уравнения (2) является вполне неустой­ чивым.

Для доказательства предложения Е) используем некоторые резуль­ таты, установленные в процессе доказательства теоремы 19; при этом, как и раньше, будем считать, что а = 0. Для этого, наряду с урав­ нением (2), для которого по предположению все собственные значе­

ния матрицы	имеют положительные действительные	части, рас­
смотрим уравнение	x — — f(x ),	(36)

для которого точка 0, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 19. В силу конструкции, данной при доказательстве теоремы 19, для уравнения (36) существует функция Ляпунова W (х), удовлетворяющая неравенству

W {M) ( x ) ^ — 2zW{x)

при условии (30). Выписывая левую часть этого неравенства в явном

виде (см. (9)), получаем:

П

WV; (*) = У	(*)) < ~ 2а Г (*),
1=	1

§ 26]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА

2 1 7

или, иначе,

W {i]( x ) ^ 2 a W ( x ) .

Это неравенство заведомо верно, когда выполнено неравенство (30). Пусть теперь | — некоторая внутренняя точка эллипсоида (30) (см. (31)). Положим:

				I)).
Для функции w{t) выполнено			неравенство
		w ( t ) ^ s ‘2oLw(i),					(37)
когда для нее имеет место		неравенство
			w (t)	с.
Так как § ^ 0, то		и можно произвести				следующие выкладки,
исходя из неравенства (37):
^	2а;	1" — ~ сit		2аt при		t ^	0;
w { t )		J » ( < )			р		’
		о
w(0	w(0) е2*';		W(<р (t, g)) ^		W(|) е2*'.
Из последнего неравенства		следует,		что при	росте t		точка д: = ф(^ |)

непременно выйдет на границу эллипсоида (30) и, следовательно, покинет его внутренность. Покажем, что после этого она уже не вернется внутрь эллипсоида (30). Допустим противоположное; тогда найдется такое положительное значение t', что w(t') — c, а при всех

положительных

достаточно

малых

значениях Д^

выполнено

неравен­

ство w ( f -j- ДО

с.

Из

последних

двух

соотношений

следует,

что

w (t')^ . 0,

а

эго

противоречит неравенству (37),

которое верно

при

t = t',

так

как w (t') =

с.

что траектория х — tp (t, |),

ф 0 —

Таким образом,

доказано,

где |

внутренняя

точка

эллипсоида

(30),

обязательно

уходит

из

эллип­

соида

(30)

и

больше

в

него

уже

не возвращается. В силу

второго

из неравенств (13), из неравенств (35) следует неравенство

(31),

так

что шар (35) содержится в

эллипсоиде (30). Ввиду этого

из дока­

занного следует

правильность

утверждения

Е).

Пр и м е р

Вдополнение к предложению А) покажем, что если матрица А имеет собственное значение л с положительной действительной частью, то положение равновесия л; = 0 уравнения (5) уже не является устой­ чивым по Ляпунову. Действительно, в силу предложения А) § 14 решением уравнения (б) является векторная функция x = chelt, где

с — произвольная действительная константа, a h — собственный

2 1 8		УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл. 5
вектор матрицы А с собственным значением X. Если X— действительное
число, то	при достаточно	малом с указанное решение начинается
в точке	ch, сколь угодно	близкой к положению равновесия	д; = 0,

но с течением времени становится сколь угодно большим по модулю. Если же X— комплексное число, то тем же свойством обладает ре­

шение c(helt -j- heXl) уравнения (5).

§ 27. Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского)

В современной технике благодаря изобилию

приборов

автомати­

ческого управления

чрезвычайно

большую

роль

играет

т е о р и я

а в т о м а т и ч е с к о г о

р е г у л и р о в а н и я .

Одним

из

важнейших

вопросов, возникающих перед кон­

Центробежный

структором

автоматического

регу­

регулятор

лятора,

является

вопрос

об у с т о й ­

ч и в о с т и

р а б о т ы

системы

ма­

шина — регулятор. Этот

вопрос

во

т многих

случаях

может быть

решен

на

основании

теоремы

Ляпунова

(см. § 26).

Наиболее давно

существующей

системой

автоматического

регули­

рования

является

система

паровая

машина — центробежный

регулятор

Уатта. Центробежный регулятор,

вполне

хорошо

справлявшийся

со

своей задачей в конце XVI11 и в

первой половине XIX века, в се­

редине XIX века ввиду его кон­

Рис.

41.

структивных изменений стал работать

ненадежно.

Широкие

круги

теоре­

тиков

и

инженеров

искали

выхода

из возникшего

кризиса. Вопрос

с полной

ясностью

и простотой

был

решен выдающимся русским инженером Вышнеградским, основателем теории автоматического регулирования. Работой Вышнеградского «О регуляторах прямого действия» (1876 г.) начинается теория регу­

лирования машин,	отвечающая	на	вопросы		промышленной практики.
В настоящем параграфе в упрощенном				виде	излагается	исследование
Вышнеградского.	регулятор	(рис.	41)	представляет		собой верти­
Центробежный

кальный стержень 5, могущий вращаться вокруг своей вертикаль­ ной оси, в верхнем конце которого на шарнирах прикреплены два одинаковых стержня /_, и L% с одинаковыми грузами на концах. Стержни Ц и Ц скреплены дополнительными шарнирами, гак что отклоняться от своего вертикального положения они могут лишь

§ 2 7 ]	ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ РЕГУЛЯТОР	21 9
одновременно	на один и тот же угол ср, находясь в одной	и той же
гертикальной плоскости, неподвижно связанной со стержнем S'. Когда
стержни L\ и	о т к л о н я ю т с я о т своего вертикального	положения

на угол ср,они при помощи шарниров приводят			в движение		специальную
муфту М, надетую	на стержень 5, так что		расстояние		этой	муфты
до верхнего конца	стержня	S пропорционально		cos ср. Длину		герти-
кальных стержней	Lt и Z.2	примем за единицу,		а массу каждого ив

грузов, прикрепленных на их концах, обозначим через т. Если стер­ жень 5 вращается с угловой скоростью 6, а стержни 1Л и Ы откло­

нены

от вертикального

положения

на

угол ср, то на

каждый

из

грузов дейст­

вует центробежная

сила

тВ* sin ?■

( 1)

Одновременно

на

каждый

груз действует

сила тяжести,

равная

mg.

(2)

Так как в направлении стержня Li

силы,

действующие на груз, уравновешиваются

реакцией стержня

Z;,то для расчета силы,

действующей на груз,

следует разложить

Рис.

42.

обе упомянутые силы по осям, первая из

которых направлена вдоль стержня, а

вторая — в перпендикулярном

направлении, в

сторону

возрастания

угла

ср.

Непосредственно видно

(рис. 42), что составляющая силы

(1)

в

направлении

возрастания

угла ср

равна

mb'-1sin ср cos ср,

(3)

а составляющая силы тяжести (2) в том же направлении равна

— mg sin ср.

(4)

Таким

образом,

равнодействующая

обеих

сил

(3)

и

(4)

задается

формулой

тВг sin ср cos ср — mg sin ср.

(5)

Упрощенное объяснение работы центробежного регулятора заклю­

чается в том, что при заданной угловой скорости 0

стержни

Lx и

Lt

отклоняются под действием сил (1),

(2)

на

угол

<р,

определяемый

из

равенства

тВг sin ср cos ср — mg sin ср = 0,

(6)

т. е. путем приравнивания нулю силы (5). Из соотношения (6) угол у определяется как однозначная монотонно возрастающая функция ско­

рости 0; в этом смысле	регулятор	Уатта может рассматриваться как
и з м е р и т е л ь скорости	вращения.	Это есть гак называемое стати -