книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

1 7 0		ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ						[Гл. 4
коэффициенты a)(t) и свободные члены						b‘(t)	которой	определены и
непрерывны на интервале 7 ,					существует решение с произ­
вольными начальными		значениями
	U,x\,		... , х ”,		?1 < 7 о<<72,			(28)
определенное на всем		интервале			qi<^t <^qt. Мы покажем, что				тот
же самый оператор А (см. (10),					(И)), применявшийся при доказатель­
стве теоремы 2, по построенный					теперь при		помощи	правых частей
системы (27), порождает			последовательность векторных функций
	<Pu(0.		<Pi(0>		•••>	<Р;(0>	•••.	(29)
сходящуюся на	всем	интервале			q\<^t		причем	равномерно	на
любом отрезке,	содержащемся			в	этом интервале. При этом за ср0(7)
можно принять	произвольную			непрерывную векторную функцию,					за­

данную на интервале q\<^t<^q^. Для проведения метода последова­

тельных	приближений нам	здесь	потребуется	более	точно	оценить
числа |	| — ф; |1, i — 0,	1,2,	... При этом	будет	видно,	что в

рассматриваемом случае метод последовательных приближений не ук­

ладывается	в рамки метода			сжатых		отображений.
Пусть	А — оператор,		определенный				соотношениями		(10)	и	(11),
исходя из	системы (27)		дифференциальных уравнений и						начальных
значений (28). Оператор			А применим, очевидно, к любой непрерыв­
ной функции тр(7), определенной на интервале qi<^t<^q->. Из											пред­
ложения А) следует, что			система (27) с начальными условиями								(28)
равносильна		операторному		уравнению
					(р =	Аф,					(30)
для которого мы и найдем				решение, определенное на всем интервале
qt <C.t<Cq-i- Функции последовательности								(29), заданной индуктивным
соотношением
		(рг+, =	Д<рг,		7 =	0,	1,	2, ... ,			(31)
определены		на интервале	<7, 7 <72.				отрезок, содержащий			внутри
Пусть	rj	7 sg; г.2— произвольный
себя точку		70 и содержащийся			в интервале <7i<C^<C'7i>				так	что

<7.< П< h < r-i <q-i-

Покажем, что последовательность (29) равномерно сходится на отрез­ ке к решению уравнения (30). Для правых частей урав­ нений (27) мы имеем:

§ 211	СЛУЧАЙ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ								171
и потому при		имеют	место		неравенства
		ML	i,	j =	l ,	,	n,
		d x J
где К — некоторое		положительное		чгцло. Так			как функции		<р0(О и
4*1(0	ограничены на отрезке г1 ;=£Д<:г2, то на						этом	отрезке имеет
место	неравенство
		|<Pi(0 — Фо (01
где С — некоторая		константа. Далее, на том же отрезке мы полу­
чаем	последовательно (см. (5) и (6)):
I Фа(0 — <Pi (0 1=		К(/O '. <Pi (О) —/ ( t , фо (0)) dx | <						1
		to
		to
		t
Iq>3(0 —Фа (01= |j (/(*> фт CO) —/(*.ф! (0))*							|<
		h
	<	I ^I/О'.ф-i (0)					{n*K)*C		t - U \
			—/ ( т>Ф1(О)I dx					!
		to						2
IФ1+1 (0 — Ф; (0I =		| 5 ( / ( '- Ф1(0) —/ ( т>Ф.--1 (0 ))dt
		h
		—					{п*К)'С		t — U I'.
			/O'. ф*_1(“))I«f'c					П
Отсюда получаем:				W K(rt -		г,))«
		к м — ф«11<	с
					i

Так как числа С ^ ^ ^ образуют сходящийся ряд, то по­

следовательность (29) равномерно сходится на отрезке rl ^ . t - ^ . r i к некоторой непрерывной функции <р (t). Для этой функции мы имеем:

М ф« — л ф ! ; max I \ | / ( i(Mт , )ф—f(x, ф (0) \ d x \ ^

to

=E=S /Т-/\ (га — Г!> 1фг- — ф 1S

172					ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ					[Гл. 4
так	что		последовательность			функций
					Лфи,	Лф,,			Лф,-, ...
равномерно сходится к функции Лф па отрезке										=^г4. Перехо­
дя к		пределу в			соотношении		(31),	мы получаем:
							Ф =	Лф.
Так			как	r i ^	t ^ r 2 есть		произвольный отрезок,			содержащий точ­
ку t9 и содержащийся в интервале								qi< ^t< ^q it то последовательность
(29)	сходится в каждой точке интервала qi<Ct<^qi,									и потому функ­
ция	ф (0		определена на всем интервале qi<^ t <^qi и на всем этом ин­
тервале является					решением	уравнения (30).
Итак, теорема 3 доказана.
Пользуясь методом доказательства теоремы 3, установим нижесле­
дующее важное для дальнейшего предложение:										, i
Д)		Допустим, что заданная на						отрезке		непрерывная
(скалярная)				функция и (t) удовлетворяет					интегральному неравенству
					t
				и (О «S jj (а гг ( т ) р )				т,	а > 0 ,	(32)
					'о
оказывается				тогда, что она		удовлетворяет неравенству
					i/(/X -J -(e * l<- ,») — 1).					(33)
Для доказательства предложения Д) рассмотрим										наряду с интег­
ральным			неравенством (32)			интегральное' уравнение
							t
					®(0 =		$(аг,(х) +		РЫх	(34)
							h
и покажем,				что	имеет место неравенство					Для этого будем

решать интегральное уравнение (34) методом последовательных приб­ лижений. Так как подынтегральное выражение в (34) линейно относи­ тельно функции г>(0 . то последовательность приближений равномерно сходится на всем отрезке , (см. доказательство теоремы 3). За исходную функцию при построении последовательных приближе­ ний примем функцию г>#(£)==н(0- Далее положим:

t
^ +« (0 = $ (® ^ (т)-|-Р )аГ-с.	(35)

h

Мы докажем индукцией по I, что каждая функция vt (t) удовлетворяет интегральному неравенству

5 22 1 НППРОДОЛЖАПМЫЕ р е ш е н и я 173

При i — 0	это	неравенство верно, так как		v №(i) = u ( t ) (см. (32)).
Допустим,	что оно справедливо для функции Vj(i), и докажем его для
функции г>; + | (i).		В силу предположения индукции, мы имеем:
		11(0 = 5 (<* vi (О +	Р) dx	(t).
Таким образом,		i'o
				(37)
		V i , , ( 0 2 г ^ ,	( 0 .
Поэтому, ввиду		положительности числа а, мы получаем из (35):
		/

’A + i(0 =sS$(a*’i t.i(T) +

Л)

Проведенная индукция доказывает неравенство (36); одновременно установлено неравенство (37). Из этого следует, что предел v ( t ) последовательности г>0(t ) = и (/), г»,(7),..., v t (/),... не меньше каждой из функций Vi(t), и в частности v(t) ^ и (/).

Теперь для завершения доказательства предложения Д) достаточно показать, что решение v ( i ) интегрального уравнения (34) совпадает с правой частью неравенства (33). В силу предложения А) § 20 решение v(t) уравнения (34) совпадает с решением дифференциального уравнения

		v(t) — av(t) -(- р
при	начальном	условии v ( t 9) — 0, т.	е. с	правой частью неравец-
с Iва	(33). Таким	образом, предложение	Д)	доказано.

§22. Непродолжаемые решения

В§ 3 было введено понятие непродолжаемого решения (см. § 3, А)). Здесь при помощи совершенно элементарных соображений из теоре­

мы 2 будет выведено, что каждое решение может быть продолжено до решения, далее непродолжаемого (см. А)). В этом смысле пепродолжаемые решения исчерпывают совокупность всех решений. Далее, в предложениях Б) и В) будет установлено одно важное свойство непродолжаемых решений, которое найдет свои применения в следу­ ющих параграфах этой главы.

,, , Пусть

	x = f ( t ,	X)		( 1)
векторная .запись нормальной системы уравнений			(см. § 21,	( 1),
(3)),	правые части которой определены и непрерывны вместе со сво­
ими	частными производными ^	113 некотором	открытом	мно­

жестве Г пространства R переменных t, х *, ... , х п.

174		ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ	[Гл. 4
А)	1) Существует	непродолжаемое решение уравнения (1) с про­
извольными начальными значениями из Г.
2)	Если некоторое	непродолжаемое решение	уравнения (1) сов­

падает с некоторым другим решением уравнения ( 1) хотя бы при

одном	значении t, то оно является продолжением	этого решения.
3)	Если два непродолжаемых решения уравнения	(1)	совпадают
между	собой хотя бы для одного значения t, то	они	полностью

совпадают, т. е. имеют один и тот же интервал определения и равны

на нем.
Докажем предложение А).
Пусть (^0, лс0) — произвольная точка из Г. Построим	такое	ре­
шение л: = ф (0 уравнения ( 1) с начальными значениями	t0, л;0,	что

оно является продолжением любого решения уравнения ( 1) с началь­ ными значениями t0, л;#.

Каждому решению уравнения (1) с начальными значениями 10, jt0 соответствует свой интервал определения. Множество всех правых

концов

этих интервалов

обозначим

через R it а

множество

всех

их

левых

концов — через

R v

Точную

верхнюю

грань

множества

R2

обозначим через тг (в частности,

может

оказаться,

что /я2= оо), а

точную

нижнюю

грань

множества

R x обозначим

через

тх (в частнос­

ти, может оказаться, что

тi — — оо).

Построим

решение

x — (f(i)

с

начальными

значениями

t0,

лс0,

определенное

на

интер­

вале mx< ^t< ^m 4. Пусть

t* — произвольная точка

этого интервала.

Допустим для определенности, что

Так как /щ есть точная

верхняя грань множества R%, то существует решение л: = я|з(0 урав­

нения (1) с начальными значениями f0, лг0, интервал

определения

ко­

торого

содержит точку

t*,

и мы

положим ф(^*) = ф(/*).

Получен­

ное

значение функции q>

в точке t*

не зависит от случайно выбранного

решения л::= ф (/).

Действительно,

если

бы вместо

решения х — фД)

мы взяли решение

x =

%(t)

с начальными значениями

t0,

jc0 и

ин­

тервалом определения, также содержащим точку t*, то, в силу един­

ственности (см. теорему 2),

мы имели бы ф (t*) =

%(t*). Таким обра­

зом, функция (р(t) однозначно

определена

на

всем

интервале

т(

< ^t<^m 2. В то же

время

она является

решением

уравнения

(1)

с

начальными значениями t0, лс0, так как вблизи

каждой точки

t*

ин­

тервала nii<^t < д я 2 функция

(р(0 совпадает,

по

построению,

с

не­

которым решением уравнения ( 1).

Пусть теперь л: =

ср(0 — некоторое

решение уравнения (1)

с

на­

чальными значениями

^0, л;0, определенное

на

интервале

Тогда гу — элемент множества

R it а г2— элемент

множества

Rb

и

потому /Л !^Г[, г2^ /и .2,

т.

е.

интервал

rt < ^ < y 2

содержится

в ин­

тервале тх< ^ К ^ т г. Так

как

решения

ср(0

и

ф (t)

имеют одни

и те

же начальные значения, то,

в силу теоремы

2,

они

совпадают

всюду,

§ 22]	НЕПРОДОЛЖАЕМЫЕ РЕШЕНИЯ	175
где они оба	определены, т. е. на интервале rt < ^t< ^rit	а это и зна­

чит, что решение ф(() является продолжением решения ф(/)- Построенное решение ф(г“), очевидно, непродолжаемо. В самом

деле, пусть решение ty(t) является продолжением решения ф((). Тогда г1,,, лт0 можно принять за начальные значения решения ф(() и, в силу доказанного выше, решение q)(t) есть продолжение решения а это значит, что решения <р(() и г[>(^) полностью совпадают. Из таких же соображений следует, что (p(t) есть единственное пепродолжаемое

решение с начальными	значениями			х а.
Допустим теперь,	что	пепродолжаемое решение <p(f)						совпадает
с некоторым другим решением			ф(Л	хотя	бы при одном значении				t.
Обозначим это значение t		через	t0 и	положим		ф (^0) =	jc0.	Тогда	f„,
Л'о являются начальными значениями				для	непродолжаемого			решения
ф(() и для решения ф(£).		В силу доказанного				выше,	решение <р(/)

есть продолжение решения <р(0- Если решение ф(() непродолжаемо, то, в силу тех же соображений, оно является продолжением решения

ф(^), и потому решения ф (t) и ф (0 полностью совпадают. Итак, предложение А) доказано.

Б) Пусть Е — замкнутое ограниченное множество пространства R,

содержащееся в открытом множестве Г, и x — q>(0 — некоторое непродолжаемое решение (см. А)) уравнения (1), определенное на интер­

вале т1<^1<^тг. Тогда существуют такие						числа Г\ и r2,				< V |
<^гг<^тг, что точка (t, (p(t)) пространства R							находится			вне	мно­
жества Е, когда t не принадлежит отрезку						rlS^ / s c r 2.
Мы докажем лишь существование				такого числа r2<^wz2, что							при
r4<^ t <C.mz точка		(t, ф(0)	не принадлежит			множеству		Е.		Существо­
вание числа Т\ доказывается аналогично.					Если яг2= оо,			то		существо­
вание	числа г2 очевидно, так как при			t,	возрастающем				до	бесконеч­
ности,	точка (t, ф(0 )> первая координата которой						равна t,		обязательно
должна покинуть ограниченнее множество Е.
Будем считать		поэтому,	что /и2	оо,		и докажем		существование

числа г2. При этом мы используем оценку числа г, данную в предло­ жении Г) § 21. В пространстве R введем евклидову метрику. Так как множество Е замкнуто и ограничено, а дополнение к открытому мно­

жеству	Г	замкнуто, то расстояние р			между	множеством Е и		допол­
нением	к	множеству Г (см.		§ 32,	пример	3)	положительно.	Пусть
Е * — множество			всех точек	пространства R,		расстояние которых до
множества		Е не	превосходит числа ~р. Тогда				Е* — замкнутое огра­

ниченное множество, содержащееся в Г, так что правые части системы

( 1) и их производные	по	х \ / — 1, ..., п, определены на	множестве
Е* и ограничены на	нем.	Таким образом, для любой точки	((, х ) из

176

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

( Г л . 4

Е*

выполнены

неравенства

|/( /,

х ) |^ Ж ,

df‘(t,

х)

\К,

1,

j =

1,2,

( 2)

dxJ

где

М и К — некоторые положительные

числа. Выберем

два

таких

положительных числа q и а, что q"1-|- а1

Если

(t„, jc0) — неко­

торая точка

множества

£

и П — множество

всех точек (t, jc),

удов­

летворяющих

неравенствам

11— ta]

q,

| х — лг0 1=^ а,

то,

очевидно,

множество П содержится в £'*, и потому для всех точек (t, х)

мно­

жества П выполнены неравенства (21Таким

образом, если число г

удовлетворяет неравенствам (16), (19;, (22) §

21,

то

существует

ре­

шение je =

cp(0 уравнения ( 1) с начальными

значениями t0, jc„,

опре­

деленное

на

интервале 11— 4 | <С Г- Здесь важно лишь то, что найден­

ное

число

г

является о дни м

и

т е м

ж е

для

всех точек (/0,

jc„)

множества Е. Покажем, что за г,2 можно принять

число т.г—■г.

До­

пустим противное, т. е.

что при некотором

— г

точка (ta,

tp(f(,))

лежит в множестве Е.

Тогда мы можем

принять

величины

tn и

<р(^„)

за начальные значения решения х = ц>(() и, в силу сказанного выше,

интервал 11— ta\<^r		должен содержаться	в интервале т ,	<^пц.
Но это	противоречит	неравенству	— г. Таким образом,	пред­
ложение	Б) доказано.

Для автономной системы имеет место предложение В), анало­

гичное предложению Б) и непосредственно из пего вытекающее.										Пусть
				x = f ( X )						(3)
-— векторная	запись автономной системы уравнений,							правые		части
которых непрерывны вместе с их частными производными по х 1,										... , х п
в некотором	открытом		множестве		Д	пространства		5	переменных
Л'1, ..., х п.
В) Пусть F — замкнутое				ограниченное множество пространства 5,
целиком расположенное в Д, и х =					ф (0 — некоторое				пепродолжае-
мое решение	уравнения (3) с интервалом определения								mx<^t <^//1$.
Если «/4<^оо,		то существует такое			число г2, /и,		г2	т.ь что при t,
принадлежащем		интервалу		г2 t	ть	точка	q>(<)	находится вне
множества F. Точно гак			же, если /«,)> — оо, то существует							такое
число г1; //г,		т.2> что при t, принадлежащем					интервалу ml <^t

<^г|, точка <р(£) находится вне множества F.

При доказательстве предложения В) будем рассматривать лишь случай т2^ о о и установим существование числа г2. В пространстве R

всех точек (t, х),	где х — точка	из S,	определим открытое множе­
ство Г, состоящее	из всех точек	(t, х),	где t — произвольное		число,
а х — точка множества Д. Далее,		пусть	т — некоторое	число,	удов­
летворяющее условию тл <^т <^т 2. Обозначим через Е				множество,

§ 22 1	НЕПРОДОЛЖАЕМЫЕ -РЕШЕНИЯ									177
состоящее из всех точек (t, х),			где m ^ t		т.г,	а х	— точка множе­
ства	F. Очевидно, множествоЕ замкнуто, ограничено							и	содержится
в Г.	В силу предложения Б),		существует такое число						г.Рчто при t
принадлежащем интервалу О			t	/«.>, точка (t, <р(£))не					принадле­
жит	множеству Е. Очевидно,	мы		можем выбрать число					г4так, чтобы
это условие выполнялось и чтобы, кроме того,						было		т<^г.г.		Тогда
при	г2< ^ < ^ /7г.2 выполнены неравенства т ^ . t						и,	следовательно,
точка (f, ф(^)), у которой г.г		t		т.ь может	не	принадлежать				мно­

жеству Е лишь благодаря тому, что точка ср(£) не принадлежит мно­ жеству F. Таким образом, предложение В) доказано.

Пр и м е р ы

1.Для иллюстрации результатов этого параграфа рассмотрим автономное уравнение первого порядка:

где /( х ) — многочлен, все корни которого действительные и простые. Пусть а,, аь ..., ап — их запись в возрастающем порядке. Фазовым пространством уравнения (4) является прямая Р, а открытым мно­ жеством А для него служит совокупность всех точек прямой Р, за исключением а2, аг, ..., ап, гак как в них правая часть уравнения (4) обращается в бесконечность. Положим:

F{x) = \ f ( , ) d l

и

Тогда совокупность всех решений уравнения (4) описывается соотно­ шением

F(x) = t с.

Так как в автономном уравнении сдвиг времени на константу не ме­

няет траектории, то совокупность всех траекторий уравнения				(4)
вместе с описанием движения	по ним точки x(t)		дается соотношением
	F (*) =	*■
Рассмотрим движение точки	x(t) по	интервалу	ал < ^х <^а.2. Так	как

/( х ) сохраняет знак на интервале а ,< [х < ^ а .г, то F{a{) ф F (а.^. Для

определенности будем считать, что
ml = F(alX m i = F(ai).
Легко видеть, что в то время, когда t пробегает интервал /я,	<^t <^пгь
точка-х(£) пробегает интервал а !< ^ х < ^ а 4. Отсюда видно,	что	x(i)
есть непродолжаемое решение с интервалом определения
Здесь оба конца этого интервала конечны; эго объясняется	тем,	что

178	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ		[Г.1. 4
при подходе к концам интервала времени			точка	x(t)
подходит к граничным		точкам области Л.
2.	Предложение Б)	в некотором смысле отвечает	на вопрос,	по­

чему интервал определения непродолжаемого решения может оказаться

ограниченным справа или слеза. Последим			за	поведением		непродол­
жаемого	решения	X — <{i(t), ограничиваясь	для простоты			случаем,
когда множество		Г ограничено. Границу множества			Г обозначим		че­
рез О.	w j t	/л.2 — интервал определения		непродолжаемого			ре­
Пусть
шения х — ф(0-		Бак как множество Г ограничено,			то оба	числа	тЛ
н тл отличны от		ч-оо. Покажем, что при			расстояние течки

(t, <(■(/)) от множества О стремится к пулю. Пусть s — произвольное положительное число и П. — совокупность всех точек множества Г, расстояние которых до множества О больше или равно е. Легко до­ казывается, что множество /:, замкнуто в R и ограничено. В силу предложения Б) существует такое число г9<Дя.2, что при r.L< Д Д ///.2

точка (t, q>(0) не принадлежит множеству Ег и, следовательно, ее расстояние до множества Q меньше г. Таким образом, при

расстояние точки (t, tp(/)) до множества О стремится к нулю. При­

ближение точки (t, <р(0) при t ->

к границе О множества Г и

является причиной того, что решение x = <$(t) не может быть про­ должено за правый конец m.t интервала его определения.

§ 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и параметров

Учитывая зависимость решения заданной системы уравнений от начальных значений этого решения, мы приходим к решению как функции от независимого переменного и начальных значений. Различ­ ные свойства этой функции многих переменных имеют важное значе­ ние. Здесь будет доказана непрерывность этой функции по сово­ купности переменных. Доказательство непрерывной зависимости реше­ ния от начальных значений будет сведено к теореме о непрерывной зависимости решения при фиксированных начальных значениях от параметров, непрерывно входящих в правые части системы. Эта теорема будет доказана в первую очередь.

Н е п р е р ы в н а я з а в и с и м о с т ь р е ш е н и я от п а р а м е т р о в

Мы будем рассматривать нормальную систему уравнений:

х 1— / ‘ (t, x l, ... , хм, [Д, ... , [ Д / = 1, ..., п,

( 1)

правые части которых зависят от параметров jj.1, ..., и/ и определе­ ны в некотором открытом множестве Г пространства R переменных

§ 23 ]	НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯ							179
(, х 1....... х", (i1, . .		рЛ		Будет	предполагаться,		что правые	части
системы (1) и их частные производные
	др			/, ] =	1,	п,		Я
	дх!		’
по переменным х 1,		х п являются				в Г непрерывными функциями со­
вокупности всех переменных. Полагая
	X =	( х 1,		. . . , х '1);		fx = (р.1, . . . ,	ц'),
	/(А X,	I	=		X,	(.1),	X, р)),
мы запишем систему ( 1)				в векторной форме:
				x = f ( t ,		х, р).		(3)

А) Точку пространства R будем обозначать через (t, х , р). За­ фиксируем начальные значения f0> х 0 и обозначим через М совокуп­ ность всех таких jx, что точка (t0, х 0, (х) принадлежит множеству Г- Очевидно, что М является о т к р ы т ы м множеством в пространстве переменных р.1, . . р/. Каждой точке jx множества М соответствует непродолжаемое решение ф(А р) с начальными значениями f0, х и урав­ нения (3), определенное на интервале тх(jx) <^t<^ т.г(р) (см. § 22, А )), который, очевидно, может зависеть от |х, что и выражено в обо­ значениях. Множество Т всех пар t, р, для которых функция ф (t, р) определена, списывается, очевидно, условиями: точка р принадлежит множеству М, а число t удовлетворяет при этом неравенствам /tfi(p)<^

< ^ < « а (МО-

Т е о р е м а 13. Множество Т всех nap t, р, на которых опре­ делена функция ф (/, (х), являющаяся при каждом фиксированном jx непродолжаемым решением уравнения (3) с начальными значения­

ми t0, х 0, представляет				собой о т к р ы т о е множество прост­
ранства	переменных t,		pt\ ..., рА			Далее оказывается, что функ­
ция ф (t,	р)	есть непрерывная			функция пары переменных t,				jx на
множестве		Т.			на	нетривиальность и	важность		того
Следует		обратить внимание
факта, что множество Т является						о т к р ы т ы м .		точка	мно­
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть t*, р * — произвольная
жества Т. Докажем, что точка					t, |х, достаточно близкая к точке t*, р*,
принадлежит		множеству	Т и что			разность ф(А jx) — ф(**, р*)			мала.
Этим теорема будет доказана.
Сначала		мы будем считать, что				Так как решение ф(А р*)
определено при t = t*,			то	<С,Я2(Д*). и потому существует					такое
число гь	что		/иа(р*), так что решение ф (t,				р*)	определено
п частности		на всем отрезке				^.г%. Когда число		t пробегает
отрезок		точка		(t, ф(А		р*), р*) описывает в пространстве