книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

110	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2
пространстве 5 переменных х 1,				х п заключается			в	том,	что	мы
перестаем считать величину t координатой						точки, а	считаем		ее	па­
раметром. Таким образом, фазовая траектория L получается									из	кри­
вой	К в результате		п р о е к т и р о в а н и я			пространства R			на	про­
странство 5 в направлении оси t.
Геометрическую			наглядность	это	проектирование			приобретает
при	п =	2. В этом	случае пространство R трехмерно, а простран­
ство	5	представляет	собой плоскость		(см.	пример 4).

Пр и м е р ы

1.Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение

■*=/(•*)

(14)

первого порядка, правая часть которого

непрерывна

и имеет непре­

рывную производную на

всей

прямой Р

изменения

переменного

х.

Предположим

дополнительно,

что

нули

функции

/( х )

или,

что

то

же самое, положения равновесия уравнения (14), не

имеют

предель­

ных точек. В этом предположении

положения

равновесия

разбивают

прямую Р на систему

Е

интервалов. Каждый интервал (а, Ь)

системы

Е обладает тем свойством, что на

нем функция /( х )

не обращается

в нуль, а каждый конец

а или b его является

либо

нулем

функции

/(х ),

либо равен ± о о .

Таким образом, система

Е

состоит

из конеч­

ного

или счетного числа

конечных

интервалов

и не более

чем

двух

» • *

I

*'114

»

» < ■ I. . | ■ ч. » | | >

- ■ »

a

b

e

d

е

Рис.

17.

полубесконечных интервалов или же содержит только

один беско­

нечный

в обе

стороны

интервал (— оо,

-f- оо). Пусть

(а,

Ь) — неко­

торый

интервал системы

Е, х 0 — точка

этого

интервала

и х =

ср(£),

г, < ^ < С Г4>— непродолжаемое

решение уравнения

(14) с

начальными

значениями 0,

х„. Допустим для определенности,

что / ( х 0)]> 0;

тог­

да оказывается, что

ПРИ г, <[ ^ <С ''а,

(15)

limep(t) =

a,

lim <p(t) = b.

(16)

t -* ry

t -* r3

Далее, если число а,

или соответственно

b,

конечно,

то

число

rt

или соответственно г8, бесконечно.

Таким образом (рис. 17), каждый

интервал (а, Ь) представляет собой

одну-единетвенную фазовую

тра­

екторию уравнения (14).

§ 15]	АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ		111
Докажем соотношения (15),		(16). Из предположения f ( x 0)^>0	сле­
дует, что на	интервале (а, Ь)	функция f ( x ) положительна и потому

каждая точка этого интервала, описывая фазовую траекторию, дви­ жется слева направо. Таким образом, при возрастающем t точка f ( t ) может покинуть интервал (а, Ь), лишь перейдя его правый конец Ь. Допустим, что это происходит при некотором t — ti, тогда при t — t l имеем f ( t t) — b, а это значит, что две различные траектории х — ср(() и х = Ь пересекаются, что невозможно. Точно так же доказывается, что точка с?(t) не может покинуть интервал (а, Ь) при убывающем t.

Таким образом, соотношение (15) доказано.
Допустим теперь, что lim f (t) = с	Ь,	и	пусть ^(£) — решение
t -+ Г*	0,	с.	Так как /(с )^ > 0, то
уравнения (14) с начальными значениями

при некотором отрицательном значении t,2 имеем <{Дб2)<^с, а это зна­ чит, что две различные траектории -o(t) и ty(t) пересекаются, что не­

возможно. Таким образом,		доказано,		что	\\m y (t)= b .		Точно так же
доказывается и соотношение					t —г.
Пт <р(/) = а.							О)
t -> Г1
Допустим, наконец, что Ь<^оо,					и	-*—	6)
покажем, что тогда га = -{- ос.			Допустим			__о
противоположное,	именно,	ьго	г4<[ оо.				б)
Определим тогда	функцию	y(t),	положив
							Рис. 18.
Х(0 = <Р(0 при		И y ( i ) = b		'Фи
Очевидно,	что функция		у (0	не­

прерывна и

удовлетворяет уравнению

(14),

а это невозможно, так

как тогда

пересекаются

две

различные

траектории x — y (t) и х =

Ь.

Полученное

противоречие показывает, что г4 =

-|- оо.

Точно так

же

доказывается, что при а

— оо

имеем

rt =

— оо.

(14),

Пусть

Ь — произвольное

положение равновесия уравнения

а (а, Ь) и

(b, с) — два

интервала

системы

Е,

примыкающие к

нему

(соответственно слева

и

справа).

Каждый из интервалов (а, b),

(b,

с)

представляет собой одну траекторию. Если

обе точки,

описывающие

траектории

(а, Ь) и

(Ь,

с), п р и б л и ж а ю т с я

(при

возрастании

t)

к положению равновесия Ь, то положение

равновесия

b

называется

устойчивым

(рис.

18,

а). Если обе точки,

описывающие

траектории

(а, Ь) и {Ь,

с), у д а л я ю т с я от

точки

Ь,

то

положение

равновесия

b называется неустойчивым (рис 18, б). Если по одной из траекторий

точка приближается, а	по другой удаляется, то положение равнове­
сия Ь называется полуустойчивым (рис.		18, в). Для того чтобы
положение равновесия	b было устойчивым,	необходимо и достаточно,

чтобы функция /(л:) была положительна на интервале (а,				Ь) и отри­
цательна	на интервале	(b, с). Для того	чтобы положение	равновесия
b было	неустойчивым,	необходимо и	достаточно, чтобы функция

112	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл 2

f ( x ) была отрицательна на интервале (а, Ь) и положительна на ин­ тервале (b, с). Для того чтобы положение равновесия b было полуустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы функция f ( x ) имела один и тот же знак>на обоих интервалах (а, Ь) и (b, с).

Допустим, что /(Ь)-ф 0; тогда знак функции f ( x ) вблизи точ­ ки b совпадает со знаком величины f ( b ) ( x — b). Отсюда следует, что при f{b)<^ 0 положение равновесия b уравнения (14) устойчиво,

апри f(b)~^> 0 оно неустойчиво.

2.Рассмотрим уравнение

■*=/(•*). (17)

где f ( x ) есть периодическая функция с непрерывной первой про­ изводной. Для определенности будем считать, что период ее равен 2тс. Все сказанное в примере 1 относительно уравнения (14)

Рис. 19.

остается правильным и для уравнения (17), так как уравнение (17) является частным случаем уравнения (14). Однако, для того

чтобы	учесть		специфику уравнения (17) (периодичность функции
/ ( аг)) разумно			считать,		что	фазовым	пространством уравнения		(17)
является		не	прямая, а		о к р у ж н о с т ь К радиуса			единица,	на
которой	выбрано			некоторое		начало отсчета 0 и направление обхода
(например,		против		часовой		стрелки).	Каждому числу	х поставим

в соответствие точку £ окружности К, отложив от начала отсчета

против часовой стрелки дугу длины х

(рис. 19). При этом всем

числам x-(-2Air

(А— целое

число) будет соответствовать на окруж­

ности

одна

и

та

же точка

5.

Так как /(jc-f- 2 А и )= /(х ), то можно

положить /( $ ) = /( х ) ,

и

функция f

оказывается

заданной

на

окружности

К. Уравнение

(17)

задает

теперь

движение

точки

;

по окружности К ■Если

x(t)

есть некоторое решение уравнения (17),

то

соответствующая числу

х (t)

точка

\{t) движется по окружно­

сти

К.

Если

а — такая

точка

на окружности

К,

что

/(а ) =

0,

то

существует

такое

решение

x(t)

уравнения (17),

что

£(<) =

я,

и

*

§ 15]

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ

113

есть

положение

равновесия уравнения (17).

Допустим

для

просто­

ты,

что

положения

равновесия

уравнения

(17)

на

окружности

К

не

имеют

предельных

точек;

тогда

их

имеется

лишь

конечное

число или

нет вовсе (рис. 20).

Положения

равновесия

разбивают

окружность

на конечную систему Е интервалов. Если

положений

равновесия

вовсе нет, то система

Е

содержит

лишь

один «интер­

вал» (окружность). Если имеется лишь

одно

положение

равнове­

сия а, то система Е также содержит

лишь

один

интервал,

состоящий

из всех точек окружности К за исключением точки at.

В

первом

случае интервал вовсе не имеет концов, во втором оба

его

конца

совпадают.

Пусть

/ — некоторый

интервал

системы

Е

и

х ( 0 — некоторое

решение

уравнения

(17)

с

начальными

значе­

ниями 0, х„, где

есть

точка

интервала

/.

Решение

х (0

всегда

определено

для всех значений t, и точка l(t)

принадлежит

интер­

валу

/.

Если

интервал

I

имеет концы

(один

или

два),

то

точка

пробегает

интервал I в определенном направлении, причем каж­

дая

точка

интервала I проходится решением l(t) один раз. Если

интервал

/

совпадает

со

всей

окружностью,

то,

отправившись

из

положения

50, точка

через

некоторое

время

Т

вернется

в

нее,

так

что

£(0) =

с(7"). В этом

случае

l(t)

периодически

зависит

от

числа

t

с периодом

Т.

Соответствующее

движению

£(^)

числовое

решение

x ( t )

уравнения

(17)

удовлетворяет

условию

х (t -[- Т) — х (t) +

2тс.

Из этого примера видно, что фазовым пространством

системы

уравнений

не

всегда

целесообразно

считать

эвклидово

координат­

ное пространство, а иногда приходится считать более сложное

гео­

метрическое образование. Ниже, в примере 3,

мы столкнемся с этим

обстоятельством в более сложной обстановке,

чем

в

этом

примере.

3. Рассмотрим систему

уравнений

x ‘ =

f ‘( x \

х 3),

/ =

1,2,

(18)

где функции / ' (х1,

х 3)

являются

периодическими

относительно

обоих

аргументов

с периодами

2-ir:

/ ' (х1 - f 2kiz,

х 2 + 2Ы) =

f

(х1, х 3),

1 =

1,2.

Как

всегда,

будем

предполагать,

что

функции /

‘ (х*,

х 3)

непрерывны

и имеют непрерывные частные производные

первого порядка.

Ввиду

периодичности

функций

/ ‘(х1,

х 3) разумно

считать,

что

фазовым

пространством

системы

(18) является

не

плоскость, а более сложное

геометрическое образование, именно, поверхность тора или, как го­ ворят, тор (рис. 21). Опишем эту поверхность.

В трехмерном эвклидовом пространстве с декартовыми координа­ тами х, у, z выберем в плоскости х, z окружность К радиуса еди­ ница с центром в точке (2, 0, 0). Примем на этой окружности зз

114 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

начало отсчета точку с координатами (3, 0, 0). Тогда каждому числу jc1 будет поставлена в соответствие точка S1 окружности К (см. при­ мер 2). Будем теперь вращать плоскость (х, z) в пространстве (х,у, z) вокруг оси z. Описываемая при этом вращении окружностью К по­ верхность Р представляет собой тор. Пусть — некоторая точка

окружности К. В	результате поворота плоскости		(лег, г) на	угол х 4,
исчисляемый в радианах, точка		перейдет в некоторую точку		р тора
Р (рис. 21). Если сделать поворот не на угол д;2, а			на угол x iJ [-2kiг,
то мы придем к	той же точке	р тора Р. Таким	образом,	точка р

тора Р однозначно определяется двумя циклическими координатами £', Е2, и каждой паре циклических координат S2 соответствует на торе одна вполне определенная точка. Мы видим, таким образом, что функции f l (дЭ, jca) можно считать заданными не на плоскости, а на поверхности тора Р:

6s) = Л * 1, х*).

Пусть теперь х 1(t), дг2(<)— некоторое решение системы (18). Ставя в соответствие каждому из чисел дг1(<) и д:*(<) циклические координаты Е‘ (И) и £2(0> мы получаем точку S1(t), $2(f) тора Р. Таким образом, каждое решение x l (t), x 2(t) системы (18) может быть изображено движением точки по тору, причем закон движения в каждый момент времени определяется той точкой S1(t), S2 (t) тора, через которую траектория в этот момент проходит. Это объясняется тем, что функ­ ции / '( ; ', £*) заданы на торе. Таким образом, весь тор Р оказывается покрытым траекториями, каждые две из которых либо не пересекаются, либо совпадают. В частности, если траектория пересекает самое себя, то она либо замкнута, либо является положением равновесия.

Изображение ^фазовых траекторий системы (18) не на плоскости,

а на	поверхности	тора отражает специфическое свойство	системы
(18)	(периодичность	функций /') и удобно при ее изучении.

5 161

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

115

4. Каждое

решение автономной системы уравнений

х — — шу,

$ = wx

записывается

в виде:

X = г COS (oit -J- а),

у =

г sin (wt

а),

(19)

где г

и а — константы.

Система

уравнений (19)

определяет

в

трех­

мерном пространстве R

переменных

t,

х,

у

винтовую

спираль

при

г ф 0

и прямую линию (именно,

ось

f)

при г = 0 .

В фазовой плоскости

5 переменных л: и у

та

же система уравне­

ний (19) определяет окружность при г -ф 0

и точку (положение равно­

весия)

при г =

0. Переход от кривых

в

пространстве

R к

кривым

на плоскости

5

осуществляется

проектированием

в направлении оси

tна координатную плоскость ху.

5.Каждое решение неавтономной системы уравнений

ЛС=	1, J' j ~ t
шписывается в виде:
x — t4 - a ,	у - ~ Р - \ - Ь ,	(20)

где а и b — константы. Из общей теории известно (единственность решения), что в трехмерном пространстве R переменных t, х, у две кривые, определяемые системой уравнений (20), либо не пересекаются, либо совпадают. Для того, чтобы получить проекцию кривой, опреде­ ляемой системой (20), на плоскость 5 переменных х, у, следует из системы (20) исключить t. Производя это исключение, получаем:

			У= Y С* — a f - f b.
Это	уравнение определяет на			плоскости		х у	параболу	с осью, напра­
вленной вдоль положительной				полуоси х		и вершиной		в точке (а, Ь).
Две	такие	параболы:	одна	с вершиной в			точке (а„		Ьг), а другая
с вершиной		в точке (а4, Ьг) — не			пересекаются лишь в				случае, если
а 1 =	й4,	Если	же ах ф а4,		то соответствующие				параболы пе­

ресекаются (в	одной точке). Пересечение траекторий происходит по­
тому, что исходная система дифференциальных уравнений			н е а в т о ­
номна. Поэтому изображение решений		на плоскости х у	в случав
неавтономной	системы нецелесообразно.

§16. Фазовая плоскость линейной однородной системы

спостоянными коэффициентами

Здесь будут построены фазовые траектории на фазовой плоскости системы

= а\х1-{- а\х* , 1

0 )

х * = а у + а у , J

1 1 6 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

или в векторной форме

х = А х	(2)
с постоянными действительными коэффициентами а1.. При	этом нам

придется разобрать несколько различных случаев, так как фазовая картина траекторий системы существенно зависит от значений коэф­ фициентов.

Следует заметить, что начало координат (точка (0, 0)) всегда является положением равновесия системы (1). Это положение равно­ весия тогда и только тогда является единственным, когда детерми­

нант матрицы (а‘) отличен от нуля, или, что то же, оба собственных

значения этой матрицы отличны от нуля.

Допустим, что собственные значения матрицы А действительны, различны и отличны от нуля. Тогда, как эго следует из результатов § 14 (теорема 10) произвольное действительное решение уравнения (2)

можно	записать			в виде:
							(3)
Здесь	А,	и	А.г — действительные		линейно независимые собственные
векторы матрицы А\ X, и Ха — его действительные собственные зна­
чения,	а с 1 и		сг — действительные		константы.	Решение (3) разложим
по базису		(hlt Л4), положив
				х = S'fti + ^Л4;			(4)
тогда	мы	будем		иметь:
							(5)
Координаты S1,				на фазовой плоскости Р системы (1),			вообще говоря,
не являются			прямоугольными, поэтому отобразим аффинно фазовую
плоскость		Р	на вспомогательную плоскость Р*			таким	образом, чтобы

при этом векторы А„ А2 перешли во взаимно ортогональные еди­ ничные векторы плоскости Р*, направленные соответственно по оси абсцисс и оси ординат (рис. 22). Точка х — £‘Ai + плоскости Р перейдет при этом отображении в точку с декартовыми прямоуголь­ ными координатами S1, I® в плоскости Р*. Таким образом, траектория,

заданная параметрическими уравнениями (5)	в плоскости Р перейдет
в траекторию (которую мы также назовем	фазовой), заданную теми

же уравнениями в прямоугольных координатах плоскости Р*. Мы начертим сперва траектории, заданные уравнениями (5) в плоскости Р*, и затем отобразим их обратно в плоскость Р.

Наряду с фазовой траекторией (5) в плоскости Р * имеется траек­ тория, задаваемая уравнениями

V = c ' e Xlt, Е®= — Л Ха'

(6 )

§ 16]

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОП СИСТЕМЫ

117

а также траектория, задаваемая уравнениями

(7)

Траектория (6) получается из траектории (5) зеркальным отражением относительно оси абсцисс, а траектория (7) — относительно оси орди­ нат. Таким образом, указанные два зеркальных отображения оставляют

Рис. 22.

картину траекторий на плоскости Р* инвариантной. Из этого видно, что если вычертить траектории в первом квадранте, то уже легко представить себе всю фазовую картину в плоскости Р*.

Заметим, что при с1= с2 = 0 мы получаем движение точки, опи­ сывающее положение равновесия (0, 0). При с2 = 0, с*^>0 получаем движение, описывающее положительную полуось абсцисс, при с1= 0, с2^>0 получаем движение, описывающее положительную полуось

ординат.	Если	^ < ^ 0 , то	движение, описывающее		положительную
полуось	абсцисс, протекает		в направлении к н а ч а л у		к о о р д и н а т ,
если же Х,^>0, то движение это				имеет противоположное направле­
ние— от	н а ч а л а к о о р д и н а т .			В первом случае	точка движется,
неограниченно		приближаясь	к началу координат, во втором — неогра­
ниченно	удаляясь в бесконечность.			То же справедливо и относительно

движения, описывающего положительную полуось ординат. Если с* и с2 положительны, то движение точки протекает в первой четверти,

не выходя на ее границу.
Дальнейшее,	более детальное описание фазовой плоскости			прове­
дем отдельно	для нескольких	случаев — в	зависимости от	знаков
чисел Xj, Х9.
А) Узел.	Допустим, что	оба числа Х9	и Х9 отличны от нуля

и имеют один знак, причем

( 8 )

1 1 8	ЛИНЕШ1ЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ							[Гл . 2
Разберем		сперва случай, когда
		Х, <0 ,		Х4< 0 .
При	этих	предположениях	движение		по положительной		полуоси
абсцисс направлено к началу координат,					точно так же, как движе­
ние по положительной полуоси ординат.					Далее, движение	по		произ­
вольной траектории внутри первого квадранта состоит в						асимптоти­
ческом приближении точки			к	началу	координат, причем		траекто­

рия при этом касается оси абсцисс в начале координат. При t, стре­ мящемся к — сю, точка движется так, что абсцисса и ордината ее

г '

бесконечно возрастают, но возрастание ординаты сильнее, чем воз­ растание абсциссы, т. е. движение идет в направлении оси ординат. Эта фазовая картина называется устойчивым узлом (рис. 23, о). Если наряду с неравенством (8) выполнены неравенства

Х ,> 0 ,	Х *>0,
то траектории остаются прежними,	но движение по ним направлено
в противоположном направлении.	Мы	имеем неустойчивый узел
(рис. 23, б).		и Х,2 имеют противоположные
Б) Се дло . Допустим, что числа X!

знаки. Для определенности предположим, что Х1< 0 < Х 4.

В этом случае движение по положительной полуоси абсцисс идет к началу координат, а движение по положительной полуоси ординат —

§ 16] ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 119

от начала координат. Траектории, лежащие внутри первого квадран­

та, напоминают по своему виду гиперболы,									а движения по	ним про­
исходят в направлении к началу вдоль								оси	абсцисс, и и направлении
от начала вдоль оси ординат. Эта									£’
фазовая картина называется сед­
лом (рис. 24).
Рисунки 23, а, б и 24 дают
картину траекторий на вспомога­
тельной фазовой плоскости Р*.
Расположение траекторий на фа­
зовой плоскости Р получается из
этого с помощью аффинного пре­
образования и зависят от положе­
ния собственных векторов (см.,
например, рис. 25 и 26).
Рассмотрим			теперь		случай,
когда собственные значения мат­
рицы А комплексны.				В этом слу­
чае они комплексно сопряжены и
могут	быть	обозначены			через
X= [J. -f- h и		X = р, — h,			причем
v Ф 0.	Собственные векторы					матрицы		Д могут быть выбраны со­
пряженными,		так	что	их	можно		обозначить через h u h .			Положим:
					А =	5-	—
где ft,	и ft, — действительные					векторы.		Векторы ft, и ft, линейно
независимы, так как в случае линейной								зависимости между		ними	мы
имели бы линейную зависимость между								ft и ft. Итак, векторы ft,			и ft,
можно принять за базис фазовой плоскости Р уравнения (2).
Произвольное действительное решение уравнения (2) можно запи­
сать в	виде:
					X =	cheu -f- che*1,					(9)

где с — комплексная константа. Пусть

тогда мы имеем:

X = S’ft, + А,.

Отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Р* комплексного переменного С так, чтобы вектор fti