книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

160 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ [Гл. 4

Выберем теперь, как и прежде, в открытом множестве Г прямо­ угольник IIс центром в точке (£0, х 0), а затем прямоугольник Пг таким образом, чтобы число г кроме неравенств (14), (17), (20)

удовлетворяло еще тому условию,	что при 11— ^0 |<с;г функции ф
и х определены и удовлетворяют неравенствам
И»(0 —	\'i(t) — X b \ ^ a .

Это возможно, так как функции ф(<) и y(t) непрерывны. Тогда функции ф(0 и y(t), рассматриваемые па отрезке 11 — f0 |s ^ r, входят в семейство Qr, и, следовательно, в силу неравенства (16) и соотно­ шений (24) получаем:

И' — /.II = I

I

И

»

— х|.

а это возможно только тогда, когда

||ф—

[|

0»т- е. когда функции 'ф

и х совпадают на отрезке

\t

—£01^

г.

Докажем

теперь,

что

функции

ф(<) и х(0

совпадают

на всем

интервале

г, < ^ < ^ г 9.

Допустим

противоположное, именно, что су­

ществует

точка

t*

интервала

г, < ^ < Д .2, для

которой ф(£*) -ф. y(t*).

Ясно, что

t* -ф

Для

определенности

будем

считать,

что

Обозначим через

N

множество

всех тех точек t отрезка

<сТ*, для

которых ф (t) —

y(t),

и докажем,

что множество N

замкнуто.

В самом деле, пусть х,,

тг, ... — последовательность точек множества/V,

сходящаяся

к

некоторой

точке

т.

Тогда

ф(д) = х(д)> и потому, в

силу непрерывности

функций ф и

у.

ф (т) = 1i ni ф (т,) = lim х (тг) = X (х)>

i—оо

i—оо

т. е. точка z также принадлежит множеству N.

N. Так как

Обозначим через

точную

верхнюю грань множества

N замкнуто, то ^ принадлежит этому

множеству, т.

е. ф(^) = х(^);

следовательно,

tv

t*.

Но тогда,

в силу ранее доказанного, функции

ф(^) и х (0 должны

совпадать

па

некотором

интервале

11— ^ j< ^ r,

и точка

t y

пе

может

быть

точной

верхней

гранью

множества N .

Таким образом, мы пришли к противоречию. _

Итак,

теорема

1

доказана.

П р и м е р

Для весьма простого уравнения

х = х

найдем решение методом последовательных приближений. Решение будем искать с начальными значениями

= 0,

х^ = 1.

§ 21 i

СЛУЧАЯ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ

161

Соответствующее интегральное уравнение запишется в виде; t

= 1 - f \ ? (т) Л .

о

Будем строить теперь последовательность

<Р». ъ> •••»?<>

Мы имеем:
?о(0 =	С
<Pi (О — 1		^	=	1
		о
<?а ( О	—	1 “ Ь		^	d i1 — +		1 х-t)f -Н — 2^Г ’
		о
		t
ъ (0 =	1 +	J ( I +		* +	i	^	^	=	1 -Ь ' ■+ **+ ж '3>
<Р« (О--- 1 +		t +	"оГ t* -j-		-тгг	+	. . . +		ЛГ *".
Пределом	этой	последовательности						(равномерно сходящейся на лю­
бом отрезке числовой				оси)	является			функция <р (t) = e‘ .

§ 21. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений

Здесь будет доказана сформулированная в § 3 теорема 2 суще­ ствования и единственности для нормальной системы уравнений

x l = f { t ,		х', х 2, ...	,	х п),	i =	\ , ...	,	п,	(1)
правые части / ' (t, jt1,		......... х п)		которой вместе			с	их	частными
производными	д-1	хп\	l>J — Ь		•••	> п>	определены и
	’ дх’ / ' ' ’---- ">

непрерывны на некотором открытом множестве Г пространства пере­

менных t, хл , ...	, х п.	Полагая
		лг = (лг1, . . . . х п),		(2)
f(t,	X) =	( f l (t, х ) , f 2(t,	X), ... , f n(t,	x)),
мы перепишем систему		(1) в векторной форме (ср.		§ 14, А)):
		х = / (t,	X).	( 3)

6 Понтрягни Л . С.

162

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

[Гл. 4

Доказательство будет проводиться в векторной форме методом по­ следовательных приближений и будет представлять собой почти буквальное повторение доказательства теоремы 1, данного в преды­ дущем параграфе. Кроме доказательства теоремы 2 здесь будет дано доказательство теоремы 3, также методом последовательных при­ ближений, но несколько видоизмененным по сравнению с доказатель­ ством теоремы 2.

В с п о м о г а т е л ь н ы е п р е д л о ж е н и я

Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозна­ чениями, установим прежде всего некоторые естественные определе­ ния и простые неравенства для векторов и векторных функций.

Длина или модуль \ X | вектора (2), как известно, определяется формулой

I * I = + v V ) 'S L ...

(хУ -

*\

Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два век­ тора, то имеет место неравенство

	\ х - \ - у \ ^ \ х \ +		\ у\ .
Из этого неравенства	следует	аналогичное неравенство и			для про­
извольного числа векторов x it		... , X t, именно:
I •*!	• • • ~г x i I	I -*4 1 +	• • •	I x t |.	(4)
Пусть <р(t) = (ср1(<),	... , <р"(0) — непрерывная			векторная	функция

действительного переменного t, т. е. вектор, координаты которого являются непрерывными функциями переменного t. Если функция ф(<)

определена на интервале rv<^t<^rb то			при гг<^{„<^гг на том же
интервале можно определить векторную			функцию
		t
	Ч> (0 =	$ Ф (х) dx>
		h
задав компоненты ф1(0 >	» фл (£)	вектора tj>(/) формулами
	/

ср*(х)rfx;

Л>

при этом имеет место неравенство

t	t
1$ ф (х)оН < | $		(5)

/о h

§21]

СЛУЧАЙ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ

Ш

Для доказательства

этого

неравенства

разобьем

отрезок интегриро­

вания

па т равных

частей, положив:

t — tn

1к — -{-АА,

k — 1,

, т

(число

А

будет

положительным

при

t^> t0

и

отрицательным

при

2< ^ 0). Тогда

согласно определению интеграла

от векторной функ­

ции и в силу (4), мы имеем:

Г

I =

т

т

J <р (х) d-

|

Пт

£ q > (f* )A |<

Jim

) £ |ф (* А) | - Щ

т-а> А=?1

т - о о

л==1

= j S

^0

Установим

еще одно неравенство для

векторной функции

g ( X ) =

{ g l ( x \

, х п), ...

,

g ' i x 1......... X я))

векторного переменного X, заданной на выпуклом множестве А про­ странства переменных х 1, ... , х п. Предположим, что имеют место неравенства:

dgl (а1, ... , х'г)		■К ,
	дх>
где К — положительное	число. Оказывается		тогда, что для двух	лю­
бых точек х и у множества А выполнены			неравенства
\ g ( x )	— g { y ) \ ^ n * К \ х — у \ .			(6)

Для доказательства неравенства (6) введем в рассмотрение отре­ зок, соединяющий точки х я у, именно положим:

•г (s) =з> -j- s (л: — у).

Когда s пробегает значения O ^ s ^ l , точка z(s) пробегает отрезок, соединяющий точки х и у, и, ввиду выпуклости множества А, все время остается в нем. Мы получаем (применяя формулу Лагранжа):

	g ‘ (х) — g ‘(.у) = g ‘ (z(l)) — g ‘ (z (0)) =					.dg‘(z (s))
						ds
Вычисляя производную dgl (г (s)) по формуле					производной от сложной
функции,	получаем:
dg‘ (г (s))	_ dg‘ (г1(s)........ zn (s)) _
dsП	ds		dzk(s)__	Vdgl(z'(s)' ••• . zn(s))ftJl
\ dgl {zl (s), ... ,		zn {s))						у >'
Z	fait	:	- Й7~~—	Z		375	V*
Li			ds			dxk

i

164		ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ								1Гл. 4
Таким	образом,
	— Я''(У)1 < 2		К \ х к — /			| <	У )		К | л: — у | sg:п К \ х — у | .
		*=i						*=1
Возводя последнее неравенство в квадрат, суммируя его по I,										и из­
влекая корень,		получаем:		_з
	| g (*) — g (у) | ^			п 2К | л;— у | ^					и2К | л: —у |.
Так	же, как при доказательстве						теоремы 1, от дифференциаль­
ного уравнения		(3) перейдем		к	интегральному.
A)	Пусть	jt = q>(f) — некоторое						решение дифференциального
уравнения (3),		так что	выполнено			тождество
и пусть								ч>(0).		(7)
				ф	( *	о )	=	*	о
— начальное условие,			которому		это		решение удовлетворяет.			Оказы­

вается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному

соотношению

t

ф(0 = *о +	Ч ( ' ) ) d x -					(9)
	Л)
Докажем это. Допустим, что	выполнено интегральное			тождество
(9). Подставляя в него t — t^, получаем		равенство	(8), а	дифферен­
цируя его по t, получаем тождество (7).		Допустим	теперь,		что	вы­
полнены соотношения (7) и (8). Интегрируя соотношение (7)					в	пре­
делах от t0 до t и принимая во внимание соотношение (8),				мы полу­
чаем соотношение (9).

Б) Пользуясь правой частью тождества(9), каждой векторной

функции ф (i),	график которой проходит в множестве Г,					поставим
в соответствие	функцию ф* (t), положив:
			t
	ф* (0 = ^о + 5 / ( х>Ф(т» й?х-					(Ю)
			t<s
Кратко, в операторной форме то			же	соотношение запишем		в виде:
	ф* =		Дф.			(11)
Уравнение (9) теперь может быть			записано		в виде:
	Ф = А ф .					(12)
B) Пусть ф(<) — непрерывная		векторная			функция, заданная на от­
резке	Определим норму			||ф || этой функции, положив:
	||ф ||=	max		[ф(0|.	-

/Г :£/=£/•!(

§ 21 1 СЛУЧАЙ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 165

Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равно­ мерной сходимости последовательности

фо> фь ...»	ф<> •••		(13)
непрерывных векторных функций, заданных на отрезке			=s:ra.
Последовательность (13) векторных	функций	равномерно	сходится
к непрерывной функции ф, заданной	на том же	отрезке
если

11т ||ф — ф; || = 0.

Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, дос­ таточно, чтобы были выполнены неравенства

		1|ф<+1 — фг II ^	a t>
где	числа а0,	а ..........а;, ... образуют сходящийся ряд.
	Перейдем, теперь к доказательству теоремы 2.
		Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2
	Так как точка (£0, лг0) = (£0, Jcj, -зс®,		..., х") принадлежит	откры­
тому множеству Г, то существуют такие положительные числа				q u a ,
что	все точки	(t , х), удовлетворяющие	условиям
		\t — U \ ^ q , \Х — ЛГ0 |г ^ а ,		(14)

лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех то­ чек (t, х ), удовлетворяющих условиям (14), замкнуто и ограничено (рис. 40), го непрерывные функции

If(t, JC)| и	df‘(t, х)		l , j = 1,	я,
	dxf
ограничены на нем, т. е.	существуют такие положительные				числа М
и К, что
If i t , х ) \ ^ М ,	dfl(t, х)	^ К ,	i , j —	1, . . . , п,	(15)
	дх'

на множестве П.

Наряду с множеством П рассмотрим содержащееся в нем мно­ жество Пл, определяемое неравенствами

\t — t f,\ ^ r , \ х — X v \ ^ a ,

где

r ^ q

( 16)

166	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ				[Гл. 4
(рис. 40).	Обозначим через 2 Г семейство	всех	непрерывных		вектор­
ных функций, заданных на отрезке			графики		которых
проходят	в П,.. Таким образом, функция	ф, определенная		на	отрезке
\ t — Ъ \ ^ г , тогда и только тогда принадлежит			семейству	2 ,., когда

для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

| Ф (0 —лг01^

а.

(17)

Постараемся выбрать теперь число г таким образом, чтобы

были

выполнены следующие два условия:

а) Если функция ф принадлежит

семейству 2 Г, то функция ф* —

— Aif (см. (10),

(11)) также принадлежит семейству 2,..

б) Существует такое

число к, 0 < ^ к < ^\, что для

любых

двух

функций ф и 7

семейства

2 , имеет место неравенство

И Ф — АхЦ ^/гЦф -йЦ .

( 18)

Рассмотрим

условие а). Для того чтобы

функция ф* =

Лф

при­

надлежала

семейству

2 Л,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

при

jt

— 4 1 ^ г

было выполнено

неравенство:

| Ф* (0 — * 0 1==£ а.

В

силу (10),

(5)

и (15) мы имеем:

Iф* (t) — Х01=

t

t

Mr.

| $/(?, Ф (t))

| <

{5 |/(т , Ф (т)) I </т | <

*0

Из этого видно,

что

при

а

Ж	(19)

условие а) выполнено.

§ 21]

СЛУЧАЯ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ

167

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

t

Ч>* (0— X*(О Н $(/(х,Ф(х)) ■-/(х, х(х))) (h I

< 1$|/(х. Ф(х)) —/(х,х(х)) |rfx |. (20)

^0

Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь не­ равенствами (6) и (15):

	|/(х . * (х)) - /(X, X (х)) | ^		«-/С f (X) - X (х) I.	(21)
Из (20)	и (21)	следует
	II ^ф - А% |= Iф*—х*[К n*Kr 1'Ф—XII-
Таким образом,		условие б) выполнено, если
		_ k		(22)
		ii-K	’
где k	I.
Итак, если		число г удовлетворяет	неравенствам (16),	(19), (22)

(которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то для семейства 9,. выполнены условия а) и б).

Построим теперь последовательность векторных функций

ф0(0 = лг0,

<Pi(0>

•••>

Ф<(0>

•••.

(23)

определенных на отрезке

11— £0 |s ^ r,

положив

ф ,и =

Лф£,

/ — 0,

1,

...

(24)

Так как

функция ф0 принадлежит

семейству

Qr, то и все функции

последовательности

(23)

принадлежат

этому

же

семейству (см. усло­

вие а)). Далее,

мы

имеем (см. (17)):

I

Ф

г

—

Ф

в

II

=

В силу (18) получаем:

К - AiK/-

II Фм — Ф/ II =

II Лф» — Дфг-i || ^

k 1 ф, — ф,_, I ,

откуда

IIФ<+1 — Фг II

^

а^ 1'

•

(25)

Таким образом, в силу В) последовательность (23)

равномерно

схо­

дится

к некоторой

непрерывной

функции

ф,

принадлежащей семей­

ству

9 Л.

Покажем,

что

функция ф

удовлетворяет

уравнению

(12).

Для этого заметим, что

последовательность

Лф0.

Лф1,

...»

Лф^ ...

168

ТЕОРЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ

|Г.л 4

равномерно

сходится

к

функции

/ 1ф;

действительно,

мы

имеем

(см. (18)):

1.4cf>

Лф,-1^

к Itp

ср; I .

Переходя

в

соотношении (24)

к пределу

при / * оо, получаем:

Ф =

Лф.

Итак, с у щ е с т в о в а н и е

р е ш е н и и

дг =

ф(/) у р а в н е н и и

(3), удо­

в л е т в о р я ю щ е г о

н а ч а л ь н о м у

у с л о в и ю

(8), д о к а з а н о ;

при

э т о м

у с т а н о в л е н о , ч т о р е ш е н и е X — ф (0 о п р е д е л е н о на и н т е р в а л е

11 — <„ | < V ,

г ^е

г — п р о и з в о л ь н о е

число,

у д о в л е т в о р я ю щ е е н е р а в е н ­

с т в а м (10), (19),

(22).

Перейдем теперь к доказательству

единственности. Пустьдг =

ф (0

и х =

%(() — Два

решения уравнения

(3)

с общими

начальными

зна­

чениями

10,

х 0

и r j < ^ < V 2— интервал,

являющийся

пересечением

интервалов

существования

решений ф и х: очевидно,

что

г1<^/0<^л.2.

Покажем, что если решения ф(?)

и х (0

совпадают в некоторой точ­

ке 11 интервала

r ,< ^ < V .2. то они

совпадают и на некотором

интер­

вале

\t — /| |< у ,

где

г — достаточно

малое

положительное

число.

Положим

д:1=

ф(г‘1) — x(^i);

тогда

величины

1Ь a'i

могут

быть

при­

няты

за

начальные

значения

обоих

решений

х = ф (0

и

лг=

х (0 -

В этом смысле

точка

(th

jrt)

ничем

не

отличается

от точки

(/,,,

х (<)

и потому мы сохраним за точкой

(t{,

х 2)

обозначение

(f0, х 0);

это

позволит

нам сохранить

и другие

прежние

обозначения.

Переходя

от дифференциального уравнения (3) к интегральному уравнению (9),

мы	получаем для обеих функций ф (/) и х (0 интегральные равенства,
которые		в операторной			форме могут быть записаны в виде:
					ф = Д ф ,		Х=ЛХ-				(2G)
Выберем теперь, как и прежде, в множестве Г множество II с цент­
ром	в	точке	(f0,	х 0)	(см. неравенства (14)),					содержащееся	в Г,
а затем		множество		Пг	таким образом,			чтобы		число г, кроме не­
равенств		(16),	(19),	(22),		удовлетворяло			еще	тому условию,	что
при	1 1 — / 0 й1 г с г функции				ф	и х определены и				удовлетворяют	нера­
венствам:
			IФ (0 — Л'о I < а >				IX (0 — Х а | ■ < а.
Эго возможно, гак как					функции		ф (0	и	х (0	непрерывны. Тогда
функции ф(^)			и Х(0> рассматриваемые					на	отрезке 11— ^olsSCf,		вхо­

дят в семейство 12,. и, следовательно, в силу неравенства (18) и

соотношений (26),		получаем:
	!Ф — х 1= М ф — л х И ^ И Ф — х ! .
а это	возможно	только тогда, когда ||ф — у, || = 0, т, е. когда
функции	ф и х совпадают на отрезке |i — /о|=ё=г*

§ 21 Т

СЛУЧАЯ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ

169

Докажем

теперь,

что функции ф(г') и

х (0

совпадают

на

псем

интервале

Допустим противоположное, именно, что суще­

ствует точка

t*

интервала

rx< ^t< ^rb

для которой

ф (t*) -ф х (t*).

Ясно, что t* ф tQ. Для

определенности

будем

считать,

что

t*^>10.

Обозначим через N множество всех тех точек t отрезка

для которых

ф(/) =

х(0>

и докажем,

что

множество

N

замкнуто.

Ё самом деле, пусть

тг, ... — последовательность точек множества

N, сходящаяся к некоторой точке т. Тогда

ф (т() = х (т*)>

и потому, в

силу непрерывности функций ф и х*

ФС0 =

Нт ф (";) =

lim кК ') =

хМ ,

I — СО

/—>00

т. е. точка т также принадлежит множеству N.

N.

Обозначим

через

точную

верхнюю

грань множества

Так

как N замкнуто, то

tx принадлежит

этому

множеству,

т.

е.

ф (/,) =

= X(^i);

следовательно,

^ < ^ * .

Но

тогда,

в силу ранее доказанного,

функции

ф(?)

и

X (t)

должны

совпадать

на

некотором

интервале

11— 1Л|

г,

и точка

^

не

может быть

точной

верхней

гранью

мно­

жества N. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Итак, теорема 2 доказана.

Выделим

теперь

в виде

отдельного

предложения некоторые

фак­

ты, установленные при доказательстве теоремы 2 и нужные в дальнейшем:

Г) Предположим,

что

правые части системы

(1) (или, в вектор­

ной

форме, уравнения (3))

определены

и

непрерывны

вместе со свои-

ми

частными

dfi

на

открытом

множестве Г. Пусть

производными -j~j

(^07 Яо) — некоторая

точка

множества

Г, a q и а — такие положитель­

ные

числа, что множество П, состоящее из всех

точек,

удовлетворя­

ющих неравенствам

(14), содержится в Г. Пусть,

далее,

М и К — та­

кие

положительные

числа,

что для

всех

точек

(t,

х),

удовлетворяю­

щих

неравенствам (14), выполнены

неравенства

(15).

Пусть,

наконец,

г — какое-либо положительное

число, удовлетворяющее

неравенствам

(16),

(19), (22). Тогда решение

уравнения (3) с начальными значения­

ми (t0,

х 0) определено на

интервале

— ^о|<С г-

Более того, оно на

отрезке

11—

1^ г

получается как предел последовательности функ­

ций (23), индуктивно заданных соотношением (24),

причем

для

этих

функций выполнено

неравенство (25).

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3

Перейдем

к доказательству

теоремы

3, утверждающей,

что

для

нормальной линейной системы

& = 2 aj (*)^ + ь ‘ w = f (*» *’■• • •, Х п),	i =	(27)
j=i